(共19张PPT)
2.3
平行线的性质
第1课时
平行线的性质
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图的角.
任选一组同位角、内错角或同旁内角，度量这些角，把结果填入下表：
角
∠1
∠2
∠3
∠4
度数
角
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
b
1
2
a
c
平行线的性质
观察
各对同位角、内错角、同旁内角的度数之间
有什么关系？说出你的猜想：
猜想
两条平行线被第三条直线所截，同位角＿＿＿，
内错角＿＿＿＿＿，同旁内角＿＿＿＿＿.
相等
相等
互补
a
b
d
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
一般地，平行线具有性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
所以∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
因为a∥b（已知）
应用格式:
如图，已知a//b,那么?2与?3相等吗？为什么?
解：因为a∥b(已知),
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
又因为∠1=∠3(对顶角相等),
所以
∠2=∠3(等量代换).
b
1
2
a
c
3
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
b
1
2
a
c
3
所以∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
因为a∥b（已知）
应用格式:
如图,已知a//b,那么?2与?4有什么关系呢？为什么?
b
1
2
a
c
4
解：
因为a//b（已知）,
所以?1=
?2
（两直线平行，同位角相等）.
因为?1+?
4=180°（补角定义）,
所以?
2+
?
4=180°（等量代换）.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
因为a∥b（已知）
所以∠2+∠4=180
°
（两直线平行，内错角相等）
应用格式:
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：因为梯形上.下底互相平行，
所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.
所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.
于是∠D=180
°－∠A
=180°－100°=80°,
∠C=
180
°－∠B=180°－115°=65°.
例1
已知∠3=45
°，∠1与∠2互余，
试说明:AB//CD？
解：由于∠1与∠2是对顶角，
所以∠1=∠2.
又因为∠1+∠2=90°(已知),
所以∠1=∠2=45°.
因为
∠3=45°(已知),
所以∠2=∠3.
所以
AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
例2
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从
∠1=110o可以知道∠2
是多少度?为什么？
(2)从∠1=110o可以知道
∠3是多少度？为什么？
(3)从
∠1=110o可以知道∠4
是多少度？为什么？
2
E
1
3
4
A
B
D
C
解：（1）∠2=110o
，因为两直线行，内错角相等；
（2）∠3=110o,因为两直线平行,同位角相等；
（3）∠4=70o,因为两直线平行,同旁内角互补.
2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第
一次拐的角∠B是142o，第二次
拐的角∠C是多少
、
度？为什么？
Ｂ
Ｃ
解：∠C=142o
,
因为两直线平行,内错角相等.
3.如图直线a∥b,直线b垂直于直线c，则直线a垂
直于直线c吗?
a
b
c
解：
a⊥b
.因为两直线平行,
同位角相等.
4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（
）
A.
内错角相等
B.
同位角相等
C.
同旁内角互补
D.以上都不对
D
5.∠1
和∠2是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内
角,要使这两条直线平行,必须
(
)
A.
∠1=
∠2
B.
∠1+∠2=90o
C.
2(∠1+∠2)=360o
D
.∠1是钝角,
∠2是锐角
C
解:
∠A
=∠D.理由：
因为AB∥DE(
)
所以∠A=_______
(
)
因为AC∥DF(
)
所以∠D=______
(
)
所以∠A=∠D
(
)
6.如图,若AB∥DE
,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间
的数量关系，并说明理由.
P
F
C
E
B
A
D
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知(共16张PPT)
2.3
平行线的性质
第2课时
平行线的性质与判定的综合运用
根据如图所示回答下列问题：
（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
解：（1）∠1与∠2是内错角，
若∠1=∠2，则根据“内错角相等，两直线
平行”，可得EF∥CE;
平行线性质与判定的综合运用
例1
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
（3）若∠2
+∠3=180°，可以判定哪两条直线平
行？根据是什么？
∠2与∠M是同位角，若∠2=∠M，则根据“同位角相等，两直线平行”，可得AM∥BF;
∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180°，
则根据“同旁内角互补，两直线平行”，
可得AC∥MD.
如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB
平行吗？说说你的理由．
解：因为∠1=
∠2，
根据“内错角相等，两直线
平行”
，
所以EF∥CD.
又因为AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以EF∥AB．
例2
①
因为
∠1
=_____（已知）
所以
AB∥CE
②
因为
∠1
+_____=180o（已知）
所以
CD∥BF
③
因为
∠1
+∠5
=180o（已知）
所以
_____∥_____.
AB
CE
∠2
④
因为
∠4
+_____=180o（已知）
所以
CE∥AB
∠3
∠3
1.
如图：
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
（内错角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
练一练
2.
已知∠3=45
°，∠1与∠2互余，试说明AB//CD.
解：由于∠1与∠2是对顶角，
所以∠1=∠2.
又因为∠1+∠2=90°(已知),
所以∠1=∠2=45°.
因为∠3=45°(已知),
所以∠
2=∠3.
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，
求∠2，∠3的度数.
解：因为a∥b，
根据“两直线平行，内错角
相等”.
所以∠2=∠1=107°.
因为c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以∠1+∠3=180°，
所以∠3=
180°-∠1=180°-107°=73°.
例3
解：过点E作EF//AB.
因为AB//CD，EF//AB（已知）,
所以
//
(平行于同一直线的两直线平行）.
所以∠A+∠
=180o，∠C+∠
=180o(两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠A=100°，∠C=110°（已知）,
所以∠
=
°,
∠
=
°（等量代换）.
所以∠AEC=∠1+∠2=
°+
°
=
°.
如图，AB//CD,∠A=100°,
∠C=110°,求∠AEC
的度数.
E
A
B
C
D
2
1
CD
EF
1
2
1
2
80
80
70
70
150
F
例4
1.如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C
为( )
A．40°
B．20°
C．60°
D．70°
解析：因为∠A＝∠D,所以AB∥CD.因为AB∥CD，∠B＝20°，所以∠C＝∠B＝20°.
B
2.如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，
∠3＝70°，则∠4的度数是( )
A．35°
B．70°
C．90°
D．110°
解析：由∠1=∠2，可根据
“同位角相等，两直线平行”
判断出a∥b，可得∠3=∠5.再根据邻补角互
补可以计算出∠4的度数．因为∠1=∠2,所以a∥b，
所以∠3=∠5.因为∠3=70°，所以∠5=70°,
所以∠4=180°－70°=110°.
D
3.如图，AE∥CD，若∠1=37°，∠D=54°，求∠2
和∠BAE的度数.
解：因为AE∥CD，根据
“两直线平行，内错角相
等”，所以∠2=∠1=37°.
根据“两直线平行，同位
角相等”，所以∠BAE=∠D=54°.
4.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于
A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝
______度．
解析：过B作BF∥AE，
则CD∥BF∥AE.根据
平行线的性质即可求解．
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，所以∠BCD＋∠1=180°.又因为AB⊥AE，所以AB⊥BF，所以∠ABF
=90°，所以∠ABC＋∠BCD=90°＋180°=270°.
270
5.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=
∠2，试说明∠3=∠E.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
解：
因为∠1=∠2
所以AB∥EF
（内错角相等，两直线平行）.
(已知），
因为AB⊥BF，CD⊥BF，
所以AB∥CD
所以EF∥CD
所以
∠3=
∠E
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行，内错角相等).
6.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70
°，求∠AGD
的度数.
解：
因为EF∥AD,
(已知）
所以∠2=∠3.
又因为∠1=∠2,
所以∠1=∠3.
所以DG∥AB.
所以∠BAC+∠AGD=180°.
所以∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
（两直线平行，同位角相等）
(已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
D
A
G
C
B
E
F
1
3
2
如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）如图1,∠1＋∠2＝___
___；
（2）如图2,∠1＋∠2＋∠3＝___
__；
（3）如图3,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_
__
__；
（4）如图4,试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
=
；
180°
360°
A
B
C
D
1
2
B
A
E
C
D
1
2
3
B
A
E
C
D
F
1
2
4
3
B
A
E
C
D
N
1
2
n
540°
180°×（n-1)
图1
图2
图3
图4
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
