北师大版七年级下数学课件 第四章 三角形 复习课(共23张PPT)

第四章 三角形
复习课
一、三角形及其有关概念
1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：
（1）三角形任意两边之和大于第三边。
（2）三角形任意两边之差小于第三边。（三角形的第三边大于两边之差小于两边之和）
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。
（4）①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
4、三角形的内角的关系：
（1）三角形三个内角和等于180°（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。
6、三角形的分类：
(1)三角形按边分类：
(2)三角形按角分类：
7、三角形的三种重要线段：
（1）三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点（重心），交点在三角形的内部。
（2）三角形的角平分线：
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点（内心）。交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心）。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；
二、图形的全等
全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。
全等三角形
1、全等三角形及有关概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
4、三角形全等的判定：
（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）角边角：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（4）边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
5．注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等．
已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3【分析】根据三角形的三边关系满足8－3 解答即可.
例1
三角形的三边关系
考点1
1.已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则三角形
的周长是　　．
24
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
针对练习
如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B
＝180°－50° －70°＝60°.
因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
因为DE∥BC，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°，
∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
考点2
三角形的内角和
例2
2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－
∠A=∠C-∠B，则∠B= .
90°
针对练习
如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝ AC，
因为S△ABC＝12，
所以S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
因为EC＝2BE，S△ABC＝12，
所以S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)
＝S△ADF－S△BEF，
所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
2
例3
用图象表示的变量关系
考点3
解题技巧：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若
∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数
是 ，∠FBC的度数是 .
4.如图，在△ABC中，两条角平分线BD
和CE相交于点O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度数是 .
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20°
40°
84°
针对练习
已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
所以△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角
形全等”进行判定．
全等三角形的判定与性质
考点4
例4
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,
试说明：∠DEC=∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG.
例5
A
B
C
D
F
E
G
解： 因为CE⊥AD, 所以 ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC，
AG=AG，
∠EAG=∠CAG，
所以 △AGE ≌ △AGC(ASA)，
所以 GE =GC.
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，
∠ EGD=∠CGD=90 °，
DG=DG.
所以△DGE ≌△DGC(SAS).
所以∠DEG=∠DCG.
因为EF//BC,
所以∠FEC=∠ECD，
所以∠DEG =∠FEC.
解题技巧：利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF,BC=EF
B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF
C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D
D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
D
针对练习
方程思想
如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x.
因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，
所以∠3=2x, ∠4=x，
又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，x+2x+2x=180 °,
解得x=36°, 所以∠1=36 °.
例6
本章中的思想方法
考点5
解题技巧：在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
分类讨论思想
已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是　　　　　．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，
所以要分两种情况讨论：
第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；
第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
26或22
例7
化归思想
A
B
C
D
O
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
性质
判定：SAS、ASA、AAS、SSS
三
角
形
高、角平分线、中线
性质
等腰（等边）三角形的性质与判定
全等三角形
用尺规作三角形
任意两边之和大于第三边，
任意两边差小于第三边
内角和为180°