(共15张PPT)
第4课时
三角形的高
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图,
线段AD是BC边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
三角形的高
1
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
(1)
你能画出这个三角形的三条高吗?
(2)
这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3)
锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示；
直角边BC边上的高是
;
直角边AB边上的高是
;
(2)
AC边上的高是
;
直角三角形的三条高
A
B
C
(1)
画出直角三角形的三条高,
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1)
你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2)
AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
例1
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例2
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
所以∠DAC＝∠BAD＝30°.
因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
所以∠B＝50°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°
＝100°.
例3
2.
如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶
点，那么这个三角形是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的高(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_______．
50°
1
2
A
C
D
B
E
4.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，
∠C=40°，
求∠DAE的大小.
解：
因为
AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
因为
∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
所以
∠DAC=180°－(∠ADC+∠C
)
=180°－90°－40°
=50°.
所以AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
所以∠CAE=41°，
所以∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=
9°.
B
A
C
D
E
三角形的高
锐角三角形的三条高
都在三角形的内部.
高的定义
高的性质
直角三角形的三条高
交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
所在直线交于一点.(共17张PPT)
第2课时
三角形的三边关系
腰
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
顶角
底角
你能找出下列三角形各自的特点吗？
三边均不相等
有两条边相等
三条边均相等
三角形按边分类
1
三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形
；
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫作等边三角形．
等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等
的三角形）
小明
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
小明家
三角形的三边关系
2
A
B
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？
解：路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到：
三角形两边的和大于第三边.
三角形两边的差小于第三边.
1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么
大小关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么
大小关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？
议一议
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度
为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长
度为13cm的木棒呢？
解题技巧：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
例1
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么
x的取值范围是( )
A．3＜x＜11
B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11
D．x＞3
解题技巧：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
解析：因为三角形的三边长分别为4，7，x，所以7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
A
例2
若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋
|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三
边，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.
所以
|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
解题技巧：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负.
例3
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（
）
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（
）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（
）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（
）
1.判断：
√
×
×
（4）等边三角形是锐角三角形.（
）
×
√
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,
则这个等腰三角形的周长为________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,
则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其
中三条线段为边长可以构成____个三角形.
3
22cm
18cm或21cm
5.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm；
（2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.
提示：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；
（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；
（3）能，因为5cm+6cm>10cm.
6.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为
8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长
度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可
以是多少？
因为x为偶数，所以小颖有5种选法.
第三根木棒的长度可以是4cm，6cm，8cm，10cm，12cm.
解：设第三根木棒长为xcm，有8-5＜x＜8+5，
即3＜x＜13.
7.已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等
于4cm，求另两边的长？
解：若底边长为4cm，设腰长为x
cm，
则2x+4=18，解得x=7.
若一条腰长为4cm，设底边长为x
cm，
则2×4+x=18，解得x=10.
因为4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形.
所以三角形另外两个边长都是7cm.
三角形中边的关系
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边(共27张PPT)
第1课时
三角形的内角和
问题1
观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次
相接所组成的图形叫作三角形.
A
B
C
三角形的概念
1
问题2
三角形中有几条线段?有几个角?
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角
形的角.
有三条线段，三个角
A
B
C
记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
△ABC
c，a，b
边c
边b
边a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
辩一辩
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾顺次相接.
三角形应满足以下两个条件：
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△
CAB,
△
ACB等.
基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠
A、
∠
B、
∠
C.
特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
5个，它们分别是△ABE,△ABC,
△BEC,△BCD,△ECD.
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B
C
D
E
(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△
ABE
、△BCE、
△CDE.
找一找
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
△
BCD、
△DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.
A
B
C
D
E
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的内角和
2
验证结论
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
所以∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
因为∠2+∠1+∠BAC=180°，
所以∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
所以∠A=∠1
.
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又因∠1+∠2+∠ACB=180°，
所∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
所以
∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
所以
∠A=∠EDF.
因为∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
所以∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
因为∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
所以∠B＝40°.
在△ABC中，
因为∠A＝46°，∠B＝40°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
例1
同学们手中有直角三角板，请再画一个内角都不是90°的三角形.
三角形按角分类
3
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形按角的大小分类
根据“三角形的内角和为180°”易得“直角三角形的两个锐角互余”.
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法判定
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，所以这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．
A
例2
如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
解：因为CE⊥AF，
所以∠DEF＝90°，
所以∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.
由三角形的内角和定理得
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，
又因为∠CDB＝∠EDF，
所以30°＋∠DBC＝40°＋90°，
所以∠DBC＝100°.
例3
1.三角形是指（
）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相
接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相
接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
2.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角
吗？为什么？
（2）60°，
40°，
90°
（3）30°，
60°，
50°
（1）3°，
150°，
27°
是
不是
不是
提醒：三角形的内角和为180°.
3.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠
B=43°，
则∠
C
=_______;
（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,
则∠A
=
_______;
（3）在△ABC中,
∠A=40°,∠A=2∠B，
则∠C
=
________.
102°
40°
120°
4.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，
∠C
比∠B
大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
设∠B为x
°，则∠A为(3x)°，∠C为(x+
15)°.
3x+x+(x+15)=180，解得
x=33.
所以
3x=99
，x+15
=48.
即∠A,∠B,∠C的度数分别为99°，33°，48°.
根据三角形的内角和等于180°，
得
解：
5.如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，
∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
因为∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
因为BD⊥AC，所以∠ADB=∠CDB=90°.
∠ABD=54°，∠ADB=90°，
所以∠A=180°－∠ABD－∠ADB
=180°－54°－90°
=36°.
解：
C
A
B
D
∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC）
=180°－36°－（54°+18°）
=72°.
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形.
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余(共17张PPT)
第3课时
三角形的中线、角平分线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).
AE是BC边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE=EC
E
三角形的中线
1
(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系?
三条中线，
交于一点
议一议
(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
折一折，画一画，并与同伴交流.
归纳：三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
例1
思考
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?
三角形的角平分线
2
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
A
D
三角形的角平分线的定义:
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
∠1=∠2
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角
形纸片各一个.
(1)
你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?
(2)
你能用折纸的办法得到它们吗?
(3)
在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
?
做一做
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的性质
解：因为AD是△ABC的角平分线，
∠BAC＝68°，
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
例2
1.AD是ΔABC的角平分线（如图），那么
∠BAC=
∠BAD；
2.AE是ΔABC的中线（如图），那么
BC=
BE.
A
D
C
B
A
B
C
E
2
2
3.如图,在△ABC中,
∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交
AC于E,F为AB上一点,CF交AD于H,判断下列说法
的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD是△ABE的角平分线(
)
（2）BE是△ABD边AD上的中线(
)
（3）BE是△ABC边AC上的中线(
)
×
×
√
4.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：因为CD是△ABC的中线，
所以BD＝AD，
所以△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
所以△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
5.如图,AE是
△ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：因为ＡE是△ABC的角平分线，
因为
∠BAC+∠B+∠C=180°,
所以∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，所以∠BAE=37.5°.
因为∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
所以∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
所以∠CAE=∠BAE=
∠BAC.
三角形中几条重要线段
角平分线：平分内角且与三角形对边相交的线段.
中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段.
