(共18张PPT)
第2课时
线段垂直平分线的性质
按照下面的步骤做一做：
（1）在纸片上画一条线段AB，
A
B
对折AB使点A，B重合；
折痕与AB的交点为O；
O
（2）在折痕上任取一点C，
C
沿CA将纸折叠；
（3）把纸展开，
A
O
得到折痕CA和CB.
B
C
线段垂直平分线的性质
C
A
B
C
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？
能说明你的理由吗？
垂直
AO=BO
CA=CB
想一想
（3）在折痕上另取一点，再试一试.
A
O
B
C
O
1.线段是轴对称图形，它的一条对称轴就是
对折后能使之完全重合的那条折痕；
2.线段的对称轴过线段AB的
点；
中
3.线段的对称轴与线段AB
；
（位置关系）
垂直
4.线段的对称轴上的任意一点C到线
段AB的两端点A,B的距离______.
A
A
B
B
O
C
相等
A
A
B
B
O
C
线段的对称轴上任意一点到这条线段的两端点的距离相等.
A
B
O
1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作
这条线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线
2.线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的
距离相等.
3
线段的对称轴是这条线段的垂直平分线.
利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
?
?
A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
例1
如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，
BC＝10厘米，则△BCD的周长为( )
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
解析：根据线段垂直平分线的性质
得CD＝AD，故△BCD的周长为BD
＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋
BC＝12＋10＝22(厘米)．
A
例2
如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?
例3
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，
交AB于E.
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等，
所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使
到两个小区的路程一样长．
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为
直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为
（
）
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
P
A
B
C
D
B
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平
分线交AB于点D，交边AC于点E,
△BCE的
周长等于18cm,则AC的长是
.
10cm
A
B
C
D
E
3.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平
分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,
BD=6cm,那么EA=_______,
DA=_______.
A
B
E
D
C
4cm
6cm
解：因为DE是△ABC边AB的垂直平分线,
所以EB=EA,
所以△AEC的周长
=AC+CE+EA
=AC+CE+EB
=AC+BC
=4+5
=9.
4.如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、
BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长.
A
D
B
E
C
解：因为AD⊥BC，BD
=DC，
所以AD
是BC
的垂直平分线，
所以AB
=AC．
因为点C
在AE
的垂直平分线上，
所以AC
=CE．所以AB
=AC
=CE．
所以AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.
5.如图，AD⊥BC，BD
=DC，点C
在AE
的垂直
平分线上，AB，AC，CE
的长度有什么关系？
AB+BD与DE
有什么关系？
A
B
C
D
E
6.如图,A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供
水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中
标出供水站的位置P，请给予说明理由.
A
●
B
●
C
●
提示：连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线，两线交于一点，这点即为所求的点P.
线段垂直平分线的性质
内容
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等(共20张PPT)
第3课时
角平分线的性质
问题
如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
做一做
请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
尺规作角平分线
1
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当
长为半径画弧，交OA于
点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB
的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的
长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
2
验证猜想
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
试说明：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
解：
因为
PD⊥OA,PE⊥OB，
所以
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
所以
△PDO
≌△PEO(AAS).
所以PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
因为OP
是∠AOB的平分线，
所以PD
=
PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）因为
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
所以
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)因为
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
所以
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
试说明：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
解：因为AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
所以
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
所以
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
所以
EB=FC.
例1
如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
例2
A
B
C
P
变式：如
图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
【变式】如图，在Rt
△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距离
是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足
分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB
=
60°，则
∠EBF=
度，
BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所
示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
D
B
C
E
A
D
解析：过点D作DF⊥AC于F，
因为AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
所以DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与
∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
因为
AD∥BC，
所以
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
因为
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
所以
PM=
PE.
同理，
PN=
PE.
所以
PM=
PN=
PE=3.
所以
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
6.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点.
DE⊥AC，
DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解：因为CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
所以Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
所以CE＝CF.
CD=CD,
DE=DF,
因为
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段(共26张PPT)
第1课时
等腰三角形的性质
如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形.
它的各部分名称分别是什么？
A
B
C
(1)相等的两条边都叫腰;
腰
腰
底边
(2)另一边叫底边;
顶角
底角
底角
(3)两腰的夹角∠A叫顶角;
(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角.
等腰三角形的性质
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC
是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B
与∠C.
∠BAD
与∠CAD
∠ADB
与∠ADC
猜一猜：
由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)∠B
=∠C.
(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线.
(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高.
(5)BD=CD，AD为底边上的中线.
A
B
C
D
现象
A
B
C
D
解：在ΔABC中，因为AD是角平分线,
所以∠BAD=∠CAD.
在ΔABD和ΔACD中,
因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD，
所以ΔABD≌ΔACD.
所以BD=CD,
∠ADB=∠ADC=90?.
所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.
三线合一吗？
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.
等腰三角形的两个底角相等.
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
1.按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开.
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.
议一议
2.你能尝试用圆规吗？
等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角
形的底角的大小是( )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
A
例1
解：
因为AB=AC,
BD=BC=AD,（已知）
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角）
设∠A=x°,因为∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
又因为∠BDC+∠ADB=180°，
所以∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.
因为∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，
所以x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）
解得
x=36
.所以∠A=36°，∠C=72°.
如图，在ΔABC中，AB=AC
,
点D在AC上，且
BD=BC=AD
,
求∠A和∠C的度数.
C
D
B
A
例2
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：因为AB=AD=DC
所以
∠B=
∠ADB，∠C=
∠DAC
设
∠C=x，则
∠DAC=x，
∠B=
∠ADB=
∠C+
∠DAC=2x，
在△ABC中，
根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
所以
∠C=
x=38.5°，
∠B=2x=77°.
针对练习
已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：
AF⊥BC.
图②
图①
例3
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
因为AB＝AC，AD＝AE，
所以BG＝CG，DG＝EG，
所以BG－DG＝CG－EG，
所以BD＝CE；
(2)因为BD＝CE，F为DE的中点，
所以BD＋DF＝CE＋EF，
所以BF＝CF.
因为AB＝AC，所以AF⊥BC.
图②
图①
G
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
1.填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是
；
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的
顶角的度数是_________
；
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这
个三角形的最小内角等于____________
.
20°或50°
100°
45°
(4)△
ABC中，AB=AC,∠A=
36?,则∠B=
______，
∠C=
____.
(5)△
ABC中，AB=AC,∠B=
36?,则∠A=
______，
∠C=
____.
72°
72°
108°
36°
方法总结：等边对等角！
2.如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，
请找出它的对称轴.
解：因为OA=AB，
所以∠ABO=∠O=15°，所以∠BAO=150°,
所以∠BAC=∠ABO+∠O=30°.
因为AB=BC，
所以∠ACB=∠BAC=30°，
所以∠CBO=135°，所以∠CBD=∠O+∠ACB=45°.
因为BC=CD，所以∠D=∠CBD=45°，所以∠BCD=90°,
所以∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°.
3.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
4.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D,
E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度
数.
C
E
D
B
A
解
:因为AB=AC,所以∠B=∠C，
所以∠B=∠C=（180°－120°）÷2=30°.
又因为BD=AD,所以∠BAD=∠B=30°.
同理，∠CAE=∠C=30°.
所以∠DAE=∠BAC－∠BAD
－∠CAE=120°－30°－30°
=60°.
5.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方
形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点
的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
A
B
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）.
