(共22张PPT)
第2课时
“角边角”
“角角边”
问题
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
三角形全等的判定(“角边角”)
1
先任意画出一个△ABC，再画一个△A
′
B
′
C
′
，
使A
′
B
′
=AB，
∠A
′
=∠A，
∠B
′
=∠B
(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A
′
B
′
C
′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B
'=∠A，∠EB'A
'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
“角边角”判定方法
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′
（已知），
AB=A′
B′
（已知），
∠B=∠B′
（已知），
在△ABC和△A′
B′
C′中，
所以
△ABC≌△
A′
B′
C′
（ASA）.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝
∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
所以△ABC≌△DCB（ASA
）.
B
C
A
D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例1
如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,
∠B=∠C,试说明：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角
），
AC=AB（已知），
∠C=∠B
（已知
），
所以
△ACD≌△ABE（ASA)，
所以AD=AE.
例2
问题
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
用“角角边”判定三角形全等
2
60°
45°
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
75°
两角分别相等且其中一组对角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′
（已知），
AC=A′C
′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
所以
△ABC≌△
A′
B′
C′
（AAS）.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝
∠E，BC=EF.求说明：△ABC≌△DEF．
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
所以△ABC≌△DEF（ASA
）.
所以
∠C＝180°－∠A－∠B.
同理
∠F＝180°－∠D－∠E.
又
∠A＝∠D，∠B＝
∠E,
所以
∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
例3
如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：(1)△BDA≌△AEC；
解：(1)因为BD⊥m，CE⊥m，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°，
所以∠ABD＋∠BAD＝90°.
因为AB⊥AC，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
所以△BDA≌△AEC(AAS).
例4
(2)DE＝BD＋CE.
所以BD＝AE，AD＝CE，
所以DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
解：因为△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
1.
△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使
△ABC≌△DEF
，则下列补充的条件中错误的是
（
）
A．AC＝DF
B．BC＝EF
C．∠A＝∠D
D．∠C＝∠F
2.
在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝
67°，∠C′＝69°
，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那
么这两个三角形（ ）
A．一定不全等
B．一定全等
C．不一定全等
D．以上都不对
A
B
3.
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，
判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一
个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
∠B=∠E
或∠A=∠D
或
AC=DF
（ASA）
（AAS）
（SAS）
AB=DE可以吗？
×
AB∥DE
5.已知：如图，
AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
试说明：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
解：
因为
AB⊥BC，AD⊥DC，
所以
∠
B=∠D=90
°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2
（已知），
∠
B=∠D（已证），
AC=AC
（公共边），
所以
△ABC≌△ADC（AAS)，
所以AB=AD.
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?
如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
3
2
1
解：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
【能力提升】已知：如图，△ABC
≌△A′B′C′
，AD、A′
D′
分别是△ABC
和△A′B′C′的高.试说明AD＝
A′D′
，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
解：因为△ABC
≌△A′B′C′
，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
全等三角形对应边上的高也相等.
边角边
角角边
内容
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成
“ASA”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别(共26张PPT)
第1课时
“边边边”
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
三角形全等的判定(“边边边”)
1
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60o
300
不一定全等
探究活动2：两个条件可以吗？
3cm
4cm
不一定全等
300
60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
（1）有三个角对应相等的两个三角形
60o
300
300
60o
90o
90o
探究活动3：三个条件可以吗？
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′
,使A′B′=
AB
,B′C′
=BC,
A′
C′
=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
A
B
C
A
′
B′
C′
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B',A
'C
'.
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△
DEF中，
所以
△ABC
≌△
DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
如图，有一个三角形钢架，AB
=AC
，AD
是连接点A
与BC
中点D
的支架．是说明：（1）△ABD
≌△ACD
．
C
B
D
A
解题思路：
先找隐含条件
公共边AD
再找现有条件
AB=AC
最后找准备条件
BD=CD
D是BC的中点
例1
证明：因为
D
是BC中点，
所以 BD
=DC．
在△ABD
与△ACD
中，
所以△ABD
≌
△ACD
（
SSS
）．
C
B
D
A
AB
=AC
(已知）
BD
=CD
（已证）
AD
=AD
（公共边）
准备条件
指明范围
摆齐根据
写出结论
(2)∠BAD
=
∠CAD.
由（1）得△ABD≌△ACD
，
所以
∠BAD=
∠CAD.
（全等三角形对应角相等）
【练习】如图,
C
是BF
的中点，AB
=DC,AC=DF.
试说明:△ABC
≌
△DCF.
在△ABC
和△DCF
中，
AB
=
DC，
所以
△ABC
≌
△DCF
(已知)
(已证)
AC
=
DF，
BC
=
CF，
解：因为C是BF中点，
所以BC=CF.
(已知)
(SSS).
【变式】如图,点B、E、C、F在同一直线上
,
AB
=
DE
,
AC
=
DF
,BE
=
CF
.试说明:
（1）△ABC
≌
△DEF；
（2）∠A
=∠D.
解:
所以
△ABC
≌
△DEF
(
SSS
).
在△ABC
和△DEF中，
AB
=
DE，
AC
=
DF，
BC
=
EF，
(已知)
(已知)
(已证)
因为
BE
=
CF，
所以
BC
=
EF.
所以
BE+EC
=
CF+CE，
（1）
（2）因为
△ABC
≌
△DEF（已证），
所以
∠A=∠D（全等三角形对应角相等）.
E
A
C
B
D
解：因为D是BC的中点，
所以BD=CD.
在△ABD与△ACD中，
AB=AC（已知），
BD=CD（已证），
AD=AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（SSS），
如图,
△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，试说明：∠B=∠C.
所以∠B=∠C.
例2
动手做一做
1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架.
2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.
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三角形的稳定性
2
请同学们看看:三角形和四边形的模型,扭一扭模型,它们的形状会改变吗?
不会
会
1.三角形具有稳定性.
2.四边形没有稳定性.
发现
理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
你能举出一些现实生活中的应用了三角形稳定性的例子吗?
△ABC≌
（SSS）.
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB
是否全等？试说明理由.
解：
△ABC≌△DCB.
理由如下：
AB
=
CD,
AC
=
BD,
=
BC
CB
△DCB
1.填空题：
A
B
C
D
=
=
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，
AF=DE，要使△ABF≌△ECD
，还需要条
件_________________.
BF=CD
或
BD=FC
A
E
B
D
F
C
=
=
2.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了
(
)
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D美观漂亮
C
3.
如图，AB=AC,DB=DC,请说明∠B
=∠C成立的理由.
A
B
C
D
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
(已知），
DB=DC（已知），
AD=AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD
(SSS)，
解：连接AD.
所以
∠B
=∠C
(全等三角形的对应角相等）.
4.已知AC=AD,BC=BD,试说明：AB是∠DAC的平分线.
AC=AD(
)，
BC=BD(
)，
AB=AB(
)，
所以△ABC≌△ABD(
)，
所以∠1=∠2
所以AB是∠DAC的平分线
A
B
C
D
1
2
（全等三角形的对应角相等），
已知
已知
公共边
SSS
（角平分线定义）.
解:在△ABC和△ABD中，
三边分别相等的两个三角形
三角形全等的“SSS”判定：三边分别相等的两个三角形全等.
三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.(共22张PPT)
第3课时
“边角边”
问题
已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角形全等吗？
三角形全等的判定(“边角边”)
1
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A
（即使两边和它们的夹角对应相等）.
把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截取
A'B'=AB,在射线A'E
上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C
'.
思考：
①
△A′
B′
C′
与
△ABC
全等吗？如何验证？
②这两个三角形全等是
满足哪三个条件？
在△ABC
和△
DEF中，
所以 △ABC
≌△
DEF（SAS）．
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS
”）．
“边角边”判定方法
几何语言：
AB
=
DE，
∠A
=∠D，
AC
=AF
，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
如果AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD，那么
△
ABD
和△
CBD
全等吗？
分析:
△
ABD
≌△
CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
解：
在△ABD
和△
CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
所以
△
ABD≌△CBD
(
SAS).
BD=BD(公共边)，
例1
【变式1】已知：如图,AB=CB,∠1=
∠2.
试说明:(1)
AD=CD；
(2)
DB
平分∠
ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中，
解:
所以△ABD≌△CBD（SAS），
AB=CB
(已知），
∠1=∠2
（已知），
BD=BD
（公共边），
所以AD=CD，∠3=∠4，
所以DB
平分∠
ADC.
A
B
C
D
【变式2】已知:AD=CD，DB平分∠ADC
，
试说明:∠A=∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中，
解:
所以△ABD≌△CBD（SAS），
AD=CD
(已知），
∠1=∠2
（已证），
BD=BD
（公共边），
所以∠A=∠C.
因为DB
平分∠
ADC，
所以∠1=∠2.
已知:如图,
AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，
试说明:∠A=∠D.
解:因为
∠1＝∠2(已知)，
所以∠1+∠DBC＝
∠2+
∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
所以△ABC≌△DBE(SAS).
所以
∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
1
A
2
C
B
D
E
例2
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB
,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
画一画：
画△ABC
和△DEF，使∠B
=∠E
=30°，
AB
=DE
=5
cm
，AC
=DF
=3
cm
．观察所得的两个三角形是否全等？
?
A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
归纳：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
例3
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ
?
30?
8
cm
9
cm
Ⅵ
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅳ
Ⅳ
8
cm
5
cm
Ⅱ
30?
?
8
cm
5
cm
Ⅴ
30?
8
cm
?
5
cm
Ⅷ
8
cm
5
cm
?
30?
8
cm
9
cm
Ⅶ
Ⅲ
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅲ
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是
(
)
A.∠A＝∠D
B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C
D.∠ABD＝∠EBC
?
D
3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
试说明：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
解：
因为AD//BC，
所以
∠A=∠C，
因为AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
所以△AFD≌△CEB（SAS）.
所以AE+EF=CF+EF，
即
AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
试说明：BD=CD.
解：
因为AD是△ABC的角平分线，
所以
∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
所以△ABD≌△ACD（SAS）.
(已知），
(已证），
(已证），
所以BD=CD.
【变式1】已知：如图，AB=AC,
BD=CD，
试说明：
∠
BAD=
∠
CAD.
解：
所以
∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD（SSS）.
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
【变式2】已知：如图，AB=AC,
BD=CD，E为AD
上一点，试说明：
BE=CE.
解：
所以
∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
所以
BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
所以△ABD≌△ACD（SSS）.
所以△ABE≌△ACE
（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD,
M，N分别是CA，CB的中
点，试说明：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
解:
CA=CB
(已知）
AD=BD
（已知）
CD=CD
（公共边）
所以△ACD≌△BCD（SSS）
连接CD，如图所示；
所以∠A=∠B
又因为M、N分别是CA、CB的中点，
所以AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN
(已证）
∠A=∠B
（已证）
AD=BD
（已知）
所以△AMD≌△BND（SAS）
所以DM=DN.
边角边
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成
“SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2.
已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
