初中数学北师大版八年级下册1.1.等腰三角形第四课时课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
定理: 等腰三角形的两个底角相等
简称:等边对等角
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 (三线合一)
结论1:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°
结论2: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.
知识要点:
结论4: 等腰三角形两底角的平分线相等.
结论5: 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.
等腰三角形的性质:
结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称:等角对等边.
学习 目标
2.掌握等边三角形的判定定理。
3.了解并会应用直角三角形的特殊性质
1.了解等边三角形的性质
等边三角形的性质
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
1 .三条边相等
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
试一试：
C
B
A
几何的三种语言
回顾反思
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形1
在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
A
C
B
想一想
（1），一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？
（2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。
A
C
B
60°
A
C
B
60°
A
C
B
60°
分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
命题的证明
我能行
1
证明:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知:在△ABC,AB=AC,∠A=60°.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
已知:在△ABC,AB=AC,∠B=60°.
求证:△ABC是等边三角形.
命题的证明
我能行
1
定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°.(等边对等角)
∴∠A=60°(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=60°.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
60°
几何的三种语言
回顾反思
1
驶向胜利的彼岸
定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=60°(已知).
∴△ABC是等边三角形
(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据之一
A
C
B
60°
等边三角形的判定方法:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
驶向胜利的彼岸
命题的猜想
我能行
3
1 操作:用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
能证明你的结论吗？
30°
30°
30°
30°
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你想到，在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
驶向胜利的彼岸
命题的证明
我能行
4
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°
求证:BC= AB.
30°
A
B
C
D
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
延长BC至D,使CD=BC,连接AD
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=90°, (已知),
∴∠ACD=90°(平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
　 ∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
　∴ AD=AB
∵∠ACB=90°,∠A=30°(已知),
∴∠B=60°(直角三角形两锐角互余).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB(等式性质).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
30°
A
B
几何的三种语言
回顾反思
3
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°.
∴BC= AB.(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半).
A
B
C
30°
推论：
学无止境
例题欣赏
1
驶向胜利的彼岸
解:∵∠B=∠ACB=15°(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
A
C
B
D
15°
15°
例1 .已知:如图,等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.
求:腰上的高.
2a
2a
三角形,认识我吗
随堂练习
3
2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.
(1)求证:AB=AC;
(2)试在图中标出各个角的度数;
(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.
驶向胜利的彼岸
胜利属于敢想敢干的人！
你能与同学们交流探索证题的全过程吗
A
B
C
P
Q
H
探索腰AB与底BC的关系？
A
B
C
30°
30°
D
含30°角的直角三角形
随堂练习
2
驶向胜利的彼岸
1.已知:如图,
在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,CD⊥AB于D.
求证:BD=AB/4.
你能规范地写出证明过程吗？
你的证题能力有所提高吗
A
C
B
D
30°
1.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交于H，∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。
A
C
D
E
B
H
1
3

120°
BH=6
BD=7
CE=5
CH=2
一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；但 “对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．
想一想
命题 “在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
D
C
B
A
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC= BD．
又∵BC= AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q,
(1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQ
A
C
D
B
P
E
Q
60°
矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处,求第二次折痕BG的长.
A
B
C
E
D
G
A'
F
3
6
5.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N,
(1)求证:MD=MN
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由
A
D
C
N
E
B
M
.
A
D
C
N
E
B
M
H
H
3.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由.
A
B
C
E
F
A
B
E
C
F
回味无穷
等边三角形的判定:
定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
小结 拓展
A
C
B
D
30°
30°
30°
A
B
C
课后作业 答案:
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.是真命题吗
如果是,请你证明它.
30°
A
B
C
已知:如图,在△ABC中,
∠ACB=90°,BC=AB/2.
求证:∠A=30°.
反过来怎么样——逆向思维
在△ABD中,∵∠ACB=90°(已知),
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又∵BC=AB/2(已知),
BC=BD/2(作图),
∴AB=BD(等量代换).
∴AB=BD=AD(等式性质）.
∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义).
∴∠B=60°(等边三角形意义).
∴∠A=30°(直角三角形两锐角互余).
心动 不如行动
30°
A
B
C
D
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
回顾反思
1
这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度(30°)的根据之一.
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
在△ABC中
∵∠ACB=90°,BC=AB/2(已知),
∴∠A=30°(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°).
A
B
C
30°
成功者的摇篮
试一试P14
2
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度 你能证明你的结论吗
D
A
C
B
E
F
D
A
C
B
E
F
(1)
(2)
G
A