【同步提优常考题专训】5.1 相交线（含解析）
文档属性
| 名称 | 【同步提优常考题专训】5.1 相交线（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-03 15:15:04 | ||
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文档简介
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2020-2021学年人教版七年级数学下册同步提优常考题专训
第五章
相交线与平行线
5.1
相交线
一．选择题
1．（2020秋?朝阳区期中）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠4+∠5
D．∠2＜∠5
2．（2020秋?南沙区期中）下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，则∠EOD＝（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
4．（2020秋?邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个
B．135个
C．190个
D．200个
5．（2020春?宁德期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2019秋?昭平县期末）如图，OA⊥OB，若∠1＝55°30′，则∠2的度数是（ ）
A．34°
B．34°30′
C．35°
D．35°30′
7．（2019秋?扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
8．（2020春?澧县期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．（2020春?营山县期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°
B．55°
C．20°或125°
D．20°或55°
二．填空题
10．（2020春?东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为
cm．
11．（2020秋?南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝
．
12．（2020秋?南岗区期中）∠1＝75°，则∠1的邻补角的邻补角等于
．
13．（2019秋?卫辉市期末）如图，∠AOC为平角，已知OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，AC与DF相交于点O，∠AOD＝25°，则∠BOE的度数为
．
14．（2020春?盐池县期末）如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是
．
15．（2019秋?阳江期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为
．
16．（2020春?永川区期末）如图，两条直线相交成四个角，已知∠2＝3∠1，那么∠4＝
度．
17．（2019秋?卧龙区期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是
（只填序号）．
18．（2019秋?建湖县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有
．（填序号）
19．（2019秋?南岗区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝
．
三．解答题
20．（2020秋?金牛区校级期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠BOC∠AOC，∠BOM＝80°，ON平分∠DOM，求∠BOC和∠MON．
21．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF为射线，且OF⊥AB，OE平分∠AOC，∠COE+∠BOD＝57°．
（1）求∠DOF的度数；
（2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
22．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
23．（2019秋?余杭区期末）直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；
（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；
②若OF平分∠AOE，∠AOF∠DOF，求∠BOD的度数．
24．（2019秋?东海县期末）如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE∠EOC．
（1）若OE⊥AC，垂足为O点，则∠BOE的度数为
°，∠BOD的度数为
°；在图中，与∠AOB相等的角有
；
（2）若∠AOD＝32°，求∠EOC的度数．
25．（2019秋?工业园区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是
；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由；请说明理由．
26．（2019秋?高明区期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
27．（2019秋?建湖县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，
（1）如图1，若∠BOD＝75°，求∠BOE；
（2）如图2，若OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC+12°，求∠EOF．
28．（2019秋?沛县期末）已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝
．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A．∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故本选项不符合题意；
B．∵∠2是△AOD的外角，
∴∠2＞∠3，
故本选项不符合题意；
C．∵∠1是△OBC的外角，
∴∠1＝∠4+∠5，
故本选项符合题意；
D．∵∠2是△OBC的外角，
∴∠2＞∠5，
故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；
选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；
选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
故选：B．
3．【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD∠AOD＝70°．
故选：D．
4．【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，11×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+22×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+33×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+44×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）20×19＝190．
故选：C．
5．【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
C是由两条直线相交构成的图形，正确，
故选：C．
6．【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°
∵∠1＝55°30′，
∴∠2＝90°﹣55°30′＝34°30′，
故选：B．
7．【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
8．【解答】解：根据直角三角形的性质得：PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
9．【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x°，
x＝3x﹣40
解得，x＝20，
故∠A＝20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣40＝180，
所以x＝55，
3×55°﹣40°＝125°
故∠A的度数为：20°或125°．
故选：C．
二．填空题
10．【解答】解：因为∠C＝90°，
所以AC⊥BC，
所以A到BC的距离是AC，
因为线段AC＝9cm，
所以点A到BC的距离为9cm．
故答案为：9．
11．【解答】解：∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，
∴∠BOC＝180°144°，∠AOB＝180°36°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝18°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，
如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，
故答案为：72°或108°．
12．【解答】解：如果∠1＝75°，那么∠1的邻补角的邻补角等于∠1，就是75°，
故答案为：75°．
13．【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOB∠AOB，∠COF＝∠BOF∠BOC，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°
∴∠EOB+∠BOF＝∠EOF＝90°
∵∠AOD＝25°＝∠COF，
∴∠BOE＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65°．
14．【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
15．【解答】解：由题意，得
∠COM＝∠AOM＝35°．
由ON⊥OM，得
∠CON＝∠MON﹣∠COM＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
16．【解答】解：∵∠2＝3∠1，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝135°，
则∠4＝∠2＝135°，
故答案为：135
17．【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
18．【解答】解：∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；
由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
19．【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．
三．解答题
20．【解答】解：∵∠BOC∠AOC，
∴∠AOC＝5∠BOC
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
∵∠BOM＝80°，
∴∠COM＝∠BOM﹣∠BOC＝50°，
∴∠DOM＝180°﹣∠COM＝130°，
∵ON平分∠DOM，
∴∠MON∠DOM＝65°．
答：∠BOC为30°；∠MON为65°．
21．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝90°
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE∠AOC，
又∵∠AOC＝∠BOD，∠COE+∠BOD＝57°．
∴∠AOE＝∠COE57°＝19°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∴∠DOF＝∠BOD+∠BOF＝38°+90°＝128°，
（2）由对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC，
由角平分线的定义可得∠AOE＝∠COE，
∵∠BOE+∠AOE＝180°＝∠DOE+∠COE，
而∠AOE＝∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE，
故图中相等的角有∠AOE＝∠COE，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠∠BOC，∠BOE＝∠DOE．
22．【解答】解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，
答：∠BOD的度数为32°．
23．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，
∴∠AOD＝∠BOC＝150°，
∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝25°
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．
答：∠AOE的度数为155°
（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°
∴∠BOE+∠AOF＝90°
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE
∴∠DOE+∠AOF＝90°
∠DOE+∠DOF＝90°
∴∠AOF＝∠DOF
∴OF是∠AOD的平分线；
②∵∠AOF∠DOF，
设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝5x
∴∠DOE＝2x
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝4x
5x+3x+4x＝180°
∴x＝15°．
∴∠BOD＝4x＝60°．
答：∠BOD的度数为60°．
24．【解答】解：（1）∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝∠COE＝90°，
∵∠BOE∠EOC，
∴∠BOE90°＝30°；
∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BODAOB＝30°；
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝∠DOE；
故答案为：30，30，∠EOD；
（2）∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOD．
∵∠AOD＝32°，
∴∠AOB＝64°．
∴∠COB＝180°﹣∠AOB＝116°．
∵∠BOE∠EOC，
∴∠EOC∠COB116°＝87°．
25．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF90°＝60°，∠COE90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，
∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，
∴∠COE+∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
26．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC∠AOF140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°∠AOF＝90°﹣90°∠AOE∠AOE．
27．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣75°＝105°，
∠COE∠AOC75°＝45°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝105°+45°＝150°；
（2）∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠BOF，
∵∠BOF＝∠AOC+12°＝∠EOF，
∴∠FOC+∠COE＝∠AOE+∠COE+12°，
即：∴∠FOC＝∠AOE+12°，
设∠AOE＝x°，则∠FOC＝（x+12）°，∠COEx°，
∵∠AOE+∠EOF+∠BOF＝180°
∴x+（x+12x）×2＝180，
解得，x＝26，
∴∠EOF＝∠COE+∠COFx°+x°+12°＝77°
28．【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠BOC＝50°，
∴∠COE＝40°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，
∴5x＝40，
∴x＝8，
即∠COD＝8°
∴∠BOD＝58°．
（4）如图，
分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
5t＝140，
t＝28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
5t＝320，
t＝64．
所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．
综上所述，t的值为28或64．
故答案为：40°
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精品试卷·第
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2020-2021学年人教版七年级数学下册同步提优常考题专训
第五章
相交线与平行线
5.1
相交线
一．选择题
1．（2020秋?朝阳区期中）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠4+∠5
D．∠2＜∠5
2．（2020秋?南沙区期中）下列图中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，则∠EOD＝（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
4．（2020秋?邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个
B．135个
C．190个
D．200个
5．（2020春?宁德期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2019秋?昭平县期末）如图，OA⊥OB，若∠1＝55°30′，则∠2的度数是（ ）
A．34°
B．34°30′
C．35°
D．35°30′
7．（2019秋?扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
8．（2020春?澧县期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．（2020春?营山县期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°
B．55°
C．20°或125°
D．20°或55°
二．填空题
10．（2020春?东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为
cm．
11．（2020秋?南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝
．
12．（2020秋?南岗区期中）∠1＝75°，则∠1的邻补角的邻补角等于
．
13．（2019秋?卫辉市期末）如图，∠AOC为平角，已知OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，AC与DF相交于点O，∠AOD＝25°，则∠BOE的度数为
．
14．（2020春?盐池县期末）如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是
．
15．（2019秋?阳江期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为
．
16．（2020春?永川区期末）如图，两条直线相交成四个角，已知∠2＝3∠1，那么∠4＝
度．
17．（2019秋?卧龙区期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是
（只填序号）．
18．（2019秋?建湖县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有
．（填序号）
19．（2019秋?南岗区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝
．
三．解答题
20．（2020秋?金牛区校级期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠BOC∠AOC，∠BOM＝80°，ON平分∠DOM，求∠BOC和∠MON．
21．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF为射线，且OF⊥AB，OE平分∠AOC，∠COE+∠BOD＝57°．
（1）求∠DOF的度数；
（2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
22．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
23．（2019秋?余杭区期末）直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；
（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；
②若OF平分∠AOE，∠AOF∠DOF，求∠BOD的度数．
24．（2019秋?东海县期末）如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE∠EOC．
（1）若OE⊥AC，垂足为O点，则∠BOE的度数为
°，∠BOD的度数为
°；在图中，与∠AOB相等的角有
；
（2）若∠AOD＝32°，求∠EOC的度数．
25．（2019秋?工业园区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是
；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由；请说明理由．
26．（2019秋?高明区期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
27．（2019秋?建湖县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，
（1）如图1，若∠BOD＝75°，求∠BOE；
（2）如图2，若OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC+12°，求∠EOF．
28．（2019秋?沛县期末）已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝
．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A．∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故本选项不符合题意；
B．∵∠2是△AOD的外角，
∴∠2＞∠3，
故本选项不符合题意；
C．∵∠1是△OBC的外角，
∴∠1＝∠4+∠5，
故本选项符合题意；
D．∵∠2是△OBC的外角，
∴∠2＞∠5，
故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；
选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；
选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
故选：B．
3．【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD∠AOD＝70°．
故选：D．
4．【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，11×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+22×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+33×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+44×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）20×19＝190．
故选：C．
5．【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
C是由两条直线相交构成的图形，正确，
故选：C．
6．【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°
∵∠1＝55°30′，
∴∠2＝90°﹣55°30′＝34°30′，
故选：B．
7．【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
8．【解答】解：根据直角三角形的性质得：PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
9．【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x°，
x＝3x﹣40
解得，x＝20，
故∠A＝20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣40＝180，
所以x＝55，
3×55°﹣40°＝125°
故∠A的度数为：20°或125°．
故选：C．
二．填空题
10．【解答】解：因为∠C＝90°，
所以AC⊥BC，
所以A到BC的距离是AC，
因为线段AC＝9cm，
所以点A到BC的距离为9cm．
故答案为：9．
11．【解答】解：∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，
∴∠BOC＝180°144°，∠AOB＝180°36°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝18°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，
如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，
故答案为：72°或108°．
12．【解答】解：如果∠1＝75°，那么∠1的邻补角的邻补角等于∠1，就是75°，
故答案为：75°．
13．【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOB∠AOB，∠COF＝∠BOF∠BOC，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°
∴∠EOB+∠BOF＝∠EOF＝90°
∵∠AOD＝25°＝∠COF，
∴∠BOE＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65°．
14．【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
15．【解答】解：由题意，得
∠COM＝∠AOM＝35°．
由ON⊥OM，得
∠CON＝∠MON﹣∠COM＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
16．【解答】解：∵∠2＝3∠1，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝135°，
则∠4＝∠2＝135°，
故答案为：135
17．【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
18．【解答】解：∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；
由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
19．【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．
三．解答题
20．【解答】解：∵∠BOC∠AOC，
∴∠AOC＝5∠BOC
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
∵∠BOM＝80°，
∴∠COM＝∠BOM﹣∠BOC＝50°，
∴∠DOM＝180°﹣∠COM＝130°，
∵ON平分∠DOM，
∴∠MON∠DOM＝65°．
答：∠BOC为30°；∠MON为65°．
21．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝90°
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE∠AOC，
又∵∠AOC＝∠BOD，∠COE+∠BOD＝57°．
∴∠AOE＝∠COE57°＝19°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∴∠DOF＝∠BOD+∠BOF＝38°+90°＝128°，
（2）由对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC，
由角平分线的定义可得∠AOE＝∠COE，
∵∠BOE+∠AOE＝180°＝∠DOE+∠COE，
而∠AOE＝∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE，
故图中相等的角有∠AOE＝∠COE，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠∠BOC，∠BOE＝∠DOE．
22．【解答】解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，
答：∠BOD的度数为32°．
23．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，
∴∠AOD＝∠BOC＝150°，
∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝25°
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．
答：∠AOE的度数为155°
（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°
∴∠BOE+∠AOF＝90°
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE
∴∠DOE+∠AOF＝90°
∠DOE+∠DOF＝90°
∴∠AOF＝∠DOF
∴OF是∠AOD的平分线；
②∵∠AOF∠DOF，
设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝5x
∴∠DOE＝2x
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝4x
5x+3x+4x＝180°
∴x＝15°．
∴∠BOD＝4x＝60°．
答：∠BOD的度数为60°．
24．【解答】解：（1）∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝∠COE＝90°，
∵∠BOE∠EOC，
∴∠BOE90°＝30°；
∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BODAOB＝30°；
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝∠DOE；
故答案为：30，30，∠EOD；
（2）∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOD．
∵∠AOD＝32°，
∴∠AOB＝64°．
∴∠COB＝180°﹣∠AOB＝116°．
∵∠BOE∠EOC，
∴∠EOC∠COB116°＝87°．
25．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF90°＝60°，∠COE90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，
∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，
∴∠COE+∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
26．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC∠AOF140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°∠AOF＝90°﹣90°∠AOE∠AOE．
27．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣75°＝105°，
∠COE∠AOC75°＝45°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝105°+45°＝150°；
（2）∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠BOF，
∵∠BOF＝∠AOC+12°＝∠EOF，
∴∠FOC+∠COE＝∠AOE+∠COE+12°，
即：∴∠FOC＝∠AOE+12°，
设∠AOE＝x°，则∠FOC＝（x+12）°，∠COEx°，
∵∠AOE+∠EOF+∠BOF＝180°
∴x+（x+12x）×2＝180，
解得，x＝26，
∴∠EOF＝∠COE+∠COFx°+x°+12°＝77°
28．【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠BOC＝50°，
∴∠COE＝40°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，
∴5x＝40，
∴x＝8，
即∠COD＝8°
∴∠BOD＝58°．
（4）如图，
分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
5t＝140，
t＝28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
5t＝320，
t＝64．
所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．
综上所述，t的值为28或64．
故答案为：40°
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