【同步提优常考题专训】5.2 平行线及其判断（含解析）
文档属性
| 名称 | 【同步提优常考题专训】5.2 平行线及其判断（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 470.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-03 15:16:44 | ||
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文档简介
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2020-2021学年人教版七年级数学下册同步提优常考题专训
第五章
相交线与平行线
5.2
平行线及其判断
一．选择题
1．（2020秋?雁塔区校级期中）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠3＝∠A
B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2
D．∠A+∠ACD＝180°
2．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3＝∠6；②∠1＝∠8；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠1＝180°．其中能判断a∥b的是（ ）
A．①③④
B．①②③
C．②④
D．①②
3．（2020春?工业园区校级期中）如图，下列推理中正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD
B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD
C．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC
D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD
4．（2020春?江阴市期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3
B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠1＝∠A
5．（2020春?老城区校级月考）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．②③④
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②④
6．（2020春?涿鹿县期中）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．（2019秋?昌平区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135°
B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45°
D．以上都有可能
8．（2019春?西湖区校级月考）下列语句中，正确的有（ ）
（1）两点之间直线最短
（2）同位角相等
（3）不相交的两条直线互相平行
（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行
（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．（2019春?西湖区校级月考）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，下列结论正确的是（ ）
A．AC⊥CD
B．AB∥CD
C．∠D＝50°
D．AD∥BC
10．（2019春?西湖区校级月考）下列结论错误的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
二．填空题
11．（2020春?瀍河区校级期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是
．
12．（2020春?金平区期末）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是
度．
13．（2020春?平川区校级期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有
个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
14．（2020春?三台县期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有
．（填序号）
15．（2020春?夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有
．（填序号）
16．（2020春?江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝
时，CD∥AB．
17．（2020春?邳州市期中）如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是
．
18．（2020春?莱州市期末）如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°．如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为
．（只填一个即可）
19．（2020春?新余期末）如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第
秒时，边CD恰好与边AB平行．
20．（2020春?定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有
．（填序号）
21．（2019春?西湖区校级月考）如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为
．
三．解答题
22．（2020春?江夏区月考）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠D，∠4＝∠5，运用平行线性质和判定证明：AE∥BF，要求写出具体的性质或判定定理．
23．（2020春?雨花区校级月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝
°（
）
因为∠2+∠3＝180°
（
）
所以∠3＝∠4（
）
因为
（
）
所以∠1＝∠4（等量代换）
所以AB∥DE（
）
24．（2020春?南开区校级月考）填空：已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．
证明：∵∠2＝∠E
∴
（内错?相等，两直线平?）
∴∠3＝
（两直线平?，内错?相等）
∵∠3＝∠4
∴∠4＝∠DAC（
）
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，（
）
即∠BAF＝
∴∠4＝∠BAF
∴AB∥CD（同位?相等，两直线平?）
25．（2020春?浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，
（1）与棱AD平行的棱为
；
（2）与棱CD平行的平面为
；
（3）与平面ADHE垂直的平面为
．
26．（2019秋?遂宁期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．
（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
27．（2019秋?达川区期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是
；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是
；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是
；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图
来证明．
28．（2020春?岱岳区期末）如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD∥CE．
29．（2020春?环江县期中）看图填空：如图，∵∠1＝∠2
∴
∥
，
∵∠3+∠4＝180°
∴
∥
，
∴AC∥FG，
．
30．（2020春?襄州区期末）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：DE∥AC．
31．（2020春?鄄城县期末）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2＝90°．试说明CD∥AB．
参考答案与试题解析
一．选择
1．【解答】解：A、由∠3＝∠A不能判断BD∥AC，故本选项不合题意；
B、∵∠D＝∠DCE，∴BD∥AC，故本选项符合题意；
C、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项不合题意；
D、∵∠A+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故本选项不合题意．
故选：B．
2．【解答】解：①∵∠3＝∠6，
∴a∥b，本选项符合题意；
②∵∠1＝∠7，∠1＝∠6，
∴∠7＝∠8，
∴a∥b，本选项符合题意；
③∵∠4+∠7＝180°，∠4＝∠6，
∴∠6+∠7＝180°，
∴a∥b，本选项正符合题意；
④∵∠5+∠1＝180°，
不能判定a∥b，本选项不符合题意，
则其中能判断a∥b的是①②③．
故选：B．
3．【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误；
B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误；
D、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确；
C、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误．
故选：C．
4．【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
5．【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
6．【解答】解：当∠B+∠BCD＝180°，AB∥CD；当∠3＝∠2时，AB＝BC；当∠1＝∠4时，AD＝DC；当∠B＝∠5时，AB∥CD．
故选：B．
7．【解答】解：如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故选：B．
8．【解答】解：（1）两点之间直线最短．错误．应该是两点之间线段最短．
（2）同位角相等，错误．条件是两直线平行．
（3）不相交的两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．
（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行，错误，条件是同一平面内．
（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线，错误，应该是过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．
故选：A．
9．【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC，
故选：D．
10．【解答】解：A、两直线平行同位角相等，正确．本选项不符合题意．
B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，条件是在同一平面内．本选项符合题意，
C、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．正确．本选项不符合题意．
D、直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．正确，本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：①由∠∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．
12．【解答】解：如图，∵∠2＝105°，
∴∠3＝∠2＝105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75．
13．【解答】解：（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；
（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；
故答案为：1．
14．【解答】解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD
（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
15．【解答】解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤
16．【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
17．【解答】解：由题意：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）
故答案为：内错角相等两直线平行．
18．【解答】解：可以添加：∠1＝30°或∠C＝120°即可．
理由：∵∠1＝30°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠1，
∴BC∥AE．
∵∠C＝∠2＝120°，
∴BC∥AE．
故答案为：∠1＝30°或∠2＝120°．
19．【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°＝10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角为270°+10°＝280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°＝28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为：10或28．
20．【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
21．【解答】解：∵∠4＝∠2+∠3，∠2＝34°，∠3＝36°，
∴∠4＝34+36°＝70°，
∵∠1＝70°，
∴∠4＝∠1，
∴a∥b．
故答案为a∥b．
三．解答题
22．【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠BCE，（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠D，
∴∠D＝∠BCE，
∴AD∥BC，（同位角相等，两直线平行），
∴∠6＝∠5，（两直线平行，内错角相等），
又∵∠4＝∠5，
∴∠4＝∠6，
∴AE∥BF（内错角相等，两直线平行）．
23．【解答】解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180°
（邻补角的意义）
因为∠2+∠3＝180°
（已知）
所以∠3＝∠4
（同角的补角相等）
因为∠1＝∠3（已知）
所以∠1＝∠4
（等量代换）
所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
24．【解答】证明：∵∠2＝∠E，
∴AD∥BC（内错?相等，两直线平行），
∴∠3＝∠DAC（两直线平行，内错?相等），
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠DAC（等量代换），
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质），
即∠BAF＝∠DAC，
∴∠4＝∠BAF，
∴AB∥CD（同位?相等，两直线平行）．
故答案为：AD∥BC，∠DAC，等量代换，等式性质，∠DAC．
25．【解答】解：（1）与棱AD平行的棱为棱EH，FG，BC．
（2）与棱CD平行的平面为平面ABFE，平面EHGF．
（3）与平面ADHE垂直的平面为平面ABFE，平面ABCD，平面CDHG，平面EFGH．
故答案为：棱EH，FG，BC．平面ABFE，平面EHGF．平面ABFE，平面ABCD，平面CDHG，平面EFGH．
26．【解答】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）存在，
当∠ACE＝30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D，
∴AD∥BC；
当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，
∴BE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴AC∥BE；
当∠ACE＝120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：
∵∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥CE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：
∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图5所示：
∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴BE∥AD．
27．【解答】解：（1）①BD∥FM；
②BD⊥FM；
③BD⊥FM；
（2）选择①证明：
∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠A＝∠CEM，
∴∠CME＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AME＝180°（三角形的内角和等于180°），
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠AMF+∠ABD＝90°，
∴∠AFM＝∠ABD，
∴BD∥FM（同位角相等，两直线平行）．
28．【解答】证明：∵∠B＝∠1，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠E，
∴∠E＝∠ADE，
∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）．
29．【解答】解：∵∠1＝∠2
∴AC∥DE，内错角相等，两直线平行；
∵∠3+∠4＝180°
∴DE∥FG，同旁内角互补，两直线平行，
∴AC∥FG，平行于同一直线的两直线平行．
故答案为：AC；DE；内错角相等，两直线平行；DE；FG；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
30．【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，
∴AD∥EF．
∴∠1＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3．
∴DE∥AC．
31．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠2∠BAC，∠1∠ACD．
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴CD∥AB．
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2020-2021学年人教版七年级数学下册同步提优常考题专训
第五章
相交线与平行线
5.2
平行线及其判断
一．选择题
1．（2020秋?雁塔区校级期中）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠3＝∠A
B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2
D．∠A+∠ACD＝180°
2．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3＝∠6；②∠1＝∠8；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠1＝180°．其中能判断a∥b的是（ ）
A．①③④
B．①②③
C．②④
D．①②
3．（2020春?工业园区校级期中）如图，下列推理中正确的是（ ）
A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD
B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD
C．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC
D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD
4．（2020春?江阴市期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3
B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠1＝∠A
5．（2020春?老城区校级月考）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．②③④
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②④
6．（2020春?涿鹿县期中）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．（2019秋?昌平区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135°
B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45°
D．以上都有可能
8．（2019春?西湖区校级月考）下列语句中，正确的有（ ）
（1）两点之间直线最短
（2）同位角相等
（3）不相交的两条直线互相平行
（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行
（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．（2019春?西湖区校级月考）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，下列结论正确的是（ ）
A．AC⊥CD
B．AB∥CD
C．∠D＝50°
D．AD∥BC
10．（2019春?西湖区校级月考）下列结论错误的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
二．填空题
11．（2020春?瀍河区校级期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是
．
12．（2020春?金平区期末）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是
度．
13．（2020春?平川区校级期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有
个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
14．（2020春?三台县期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有
．（填序号）
15．（2020春?夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有
．（填序号）
16．（2020春?江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝
时，CD∥AB．
17．（2020春?邳州市期中）如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是
．
18．（2020春?莱州市期末）如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°．如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为
．（只填一个即可）
19．（2020春?新余期末）如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第
秒时，边CD恰好与边AB平行．
20．（2020春?定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有
．（填序号）
21．（2019春?西湖区校级月考）如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为
．
三．解答题
22．（2020春?江夏区月考）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠D，∠4＝∠5，运用平行线性质和判定证明：AE∥BF，要求写出具体的性质或判定定理．
23．（2020春?雨花区校级月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝
°（
）
因为∠2+∠3＝180°
（
）
所以∠3＝∠4（
）
因为
（
）
所以∠1＝∠4（等量代换）
所以AB∥DE（
）
24．（2020春?南开区校级月考）填空：已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．
证明：∵∠2＝∠E
∴
（内错?相等，两直线平?）
∴∠3＝
（两直线平?，内错?相等）
∵∠3＝∠4
∴∠4＝∠DAC（
）
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，（
）
即∠BAF＝
∴∠4＝∠BAF
∴AB∥CD（同位?相等，两直线平?）
25．（2020春?浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，
（1）与棱AD平行的棱为
；
（2）与棱CD平行的平面为
；
（3）与平面ADHE垂直的平面为
．
26．（2019秋?遂宁期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．
（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
27．（2019秋?达川区期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是
；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是
；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是
；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图
来证明．
28．（2020春?岱岳区期末）如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD∥CE．
29．（2020春?环江县期中）看图填空：如图，∵∠1＝∠2
∴
∥
，
∵∠3+∠4＝180°
∴
∥
，
∴AC∥FG，
．
30．（2020春?襄州区期末）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：DE∥AC．
31．（2020春?鄄城县期末）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2＝90°．试说明CD∥AB．
参考答案与试题解析
一．选择
1．【解答】解：A、由∠3＝∠A不能判断BD∥AC，故本选项不合题意；
B、∵∠D＝∠DCE，∴BD∥AC，故本选项符合题意；
C、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项不合题意；
D、∵∠A+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故本选项不合题意．
故选：B．
2．【解答】解：①∵∠3＝∠6，
∴a∥b，本选项符合题意；
②∵∠1＝∠7，∠1＝∠6，
∴∠7＝∠8，
∴a∥b，本选项符合题意；
③∵∠4+∠7＝180°，∠4＝∠6，
∴∠6+∠7＝180°，
∴a∥b，本选项正符合题意；
④∵∠5+∠1＝180°，
不能判定a∥b，本选项不符合题意，
则其中能判断a∥b的是①②③．
故选：B．
3．【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误；
B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误；
D、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确；
C、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误．
故选：C．
4．【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
5．【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
6．【解答】解：当∠B+∠BCD＝180°，AB∥CD；当∠3＝∠2时，AB＝BC；当∠1＝∠4时，AD＝DC；当∠B＝∠5时，AB∥CD．
故选：B．
7．【解答】解：如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故选：B．
8．【解答】解：（1）两点之间直线最短．错误．应该是两点之间线段最短．
（2）同位角相等，错误．条件是两直线平行．
（3）不相交的两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．
（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行，错误，条件是同一平面内．
（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线，错误，应该是过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．
故选：A．
9．【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC，
故选：D．
10．【解答】解：A、两直线平行同位角相等，正确．本选项不符合题意．
B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，条件是在同一平面内．本选项符合题意，
C、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．正确．本选项不符合题意．
D、直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．正确，本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：①由∠∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．
12．【解答】解：如图，∵∠2＝105°，
∴∠3＝∠2＝105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75．
13．【解答】解：（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；
（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；
故答案为：1．
14．【解答】解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD
（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
15．【解答】解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤
16．【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
17．【解答】解：由题意：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）
故答案为：内错角相等两直线平行．
18．【解答】解：可以添加：∠1＝30°或∠C＝120°即可．
理由：∵∠1＝30°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠1，
∴BC∥AE．
∵∠C＝∠2＝120°，
∴BC∥AE．
故答案为：∠1＝30°或∠2＝120°．
19．【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°＝10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角为270°+10°＝280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°＝28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为：10或28．
20．【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
21．【解答】解：∵∠4＝∠2+∠3，∠2＝34°，∠3＝36°，
∴∠4＝34+36°＝70°，
∵∠1＝70°，
∴∠4＝∠1，
∴a∥b．
故答案为a∥b．
三．解答题
22．【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠BCE，（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠D，
∴∠D＝∠BCE，
∴AD∥BC，（同位角相等，两直线平行），
∴∠6＝∠5，（两直线平行，内错角相等），
又∵∠4＝∠5，
∴∠4＝∠6，
∴AE∥BF（内错角相等，两直线平行）．
23．【解答】解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180°
（邻补角的意义）
因为∠2+∠3＝180°
（已知）
所以∠3＝∠4
（同角的补角相等）
因为∠1＝∠3（已知）
所以∠1＝∠4
（等量代换）
所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
24．【解答】证明：∵∠2＝∠E，
∴AD∥BC（内错?相等，两直线平行），
∴∠3＝∠DAC（两直线平行，内错?相等），
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠DAC（等量代换），
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质），
即∠BAF＝∠DAC，
∴∠4＝∠BAF，
∴AB∥CD（同位?相等，两直线平行）．
故答案为：AD∥BC，∠DAC，等量代换，等式性质，∠DAC．
25．【解答】解：（1）与棱AD平行的棱为棱EH，FG，BC．
（2）与棱CD平行的平面为平面ABFE，平面EHGF．
（3）与平面ADHE垂直的平面为平面ABFE，平面ABCD，平面CDHG，平面EFGH．
故答案为：棱EH，FG，BC．平面ABFE，平面EHGF．平面ABFE，平面ABCD，平面CDHG，平面EFGH．
26．【解答】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）存在，
当∠ACE＝30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D，
∴AD∥BC；
当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，
∴BE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴AC∥BE；
当∠ACE＝120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：
∵∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥CE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：
∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图5所示：
∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴BE∥AD．
27．【解答】解：（1）①BD∥FM；
②BD⊥FM；
③BD⊥FM；
（2）选择①证明：
∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠A＝∠CEM，
∴∠CME＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AME＝180°（三角形的内角和等于180°），
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠AMF+∠ABD＝90°，
∴∠AFM＝∠ABD，
∴BD∥FM（同位角相等，两直线平行）．
28．【解答】证明：∵∠B＝∠1，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠E，
∴∠E＝∠ADE，
∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）．
29．【解答】解：∵∠1＝∠2
∴AC∥DE，内错角相等，两直线平行；
∵∠3+∠4＝180°
∴DE∥FG，同旁内角互补，两直线平行，
∴AC∥FG，平行于同一直线的两直线平行．
故答案为：AC；DE；内错角相等，两直线平行；DE；FG；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
30．【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，
∴AD∥EF．
∴∠1＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3．
∴DE∥AC．
31．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠2∠BAC，∠1∠ACD．
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴CD∥AB．
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精品试卷·第
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