沪教版（上海）初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数与一元二次方程 教案

二次函数与一元二次方程教案
本节课的主要内容是二次函数与一元二次方程之间的关系，要求用方程的根体会函数与x轴的交点，用函数的观点看方程，渗透数形结合的思想。
【教学目标】
经历复习二次函数与一元二次方程关系的过程，进一步体会方程与函数之间的互相转化，能
够用函数的观点看方程。
2、
掌握二次函数与
x
轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，掌握何时方程有两个不等的实
根、两个相等的实根和没有实根，并熟练的用于解题中。
3、
掌握二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）图象与直线y=m公共点的横坐标,就是一元二次方程
ax?+bx+c=m（a≠0）的根。
【教学重点】
1、掌握方程与函数之间的联系.
2.
掌握一元二次方程的实数根个数与二次函数与x轴公共点个数的对应关系，根据具体的函数图
像解决有关问题；
掌握二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）图象与直线y=m公共点的横坐标,就是一元二次方程
ax?+bx+c=m（a≠0）的根。
【教学难点】
1、掌握二次函数与x
轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
探索方程与函数之间的联系的过程.
2、掌握由函数图像与x轴交点情况，确定参数的取值范围。
【教学方法】
讲练法，教师引导启发，学生合作探索
【教学过程】
复习提问
一元二次方程的根判别式是什么
方程根的情况是：，
，
，
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像条
自主学习一：
二次函数图像与x轴交点个数有几种情况？想一想，画一画
分开口向上；开口向下分别作图。
三种可能：①两个交点
②一个交点
③没有交点。
自主学习二：
二次函数与x轴交点个数与一元二次方程的根个数有什么关系?
二次函数y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,y=x2-2x+3的图象如图：
(1)一元二次方程x2-2x-3=0的△
0，有
根，分别是
图象y=x2-2x-3与x轴有
个交点，分别是
(2)一元二次方程x2-2x+1=0的△
0，有
根，分别是
图象y=x2-2x+1与x轴有
个交点，分别是
(3)一元二次方程x2-2x+2=0的△
0，
根
图象y=x2-2x+3与x轴
交点
结论：1、
2、
3、
4、交点的横坐标是一元二次方程的根
适时小结：
二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）
与
一元二次方程（a≠0）
图像
与x轴的公共点
判别式：
△=b2-4ac
ax?+bx+c=0的根
与x轴有两个不同的公共点
（x1，0）（x2，0）
△
＞0
有两个不同的根
x=x1，x=x2
与x轴有唯一个公共点（x0，0），这个公共点是顶点。
△
=0
有两个相等的根
x1=
x2=
x0
与x轴没有公共点
△
＜0
没有实数根
随堂练习：
1.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，
则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
抛物线y=x2-4x+4与x轴有
个交点，坐标是
3.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（
）
A
两个交点
B
一个交点
C
没有交点
D
画出图象后才能说明
例题讲解：
例1.次函数y=ax?+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，
（1）ax?+bx+c=0有几个根？
（2）ax?+bx+c=5的解是？
（3）若ax?+bx+c=m
当m取何值时，方程有两相等的实数根?
当m取何值时，方程有两个不等的实数根?
当m取何值时，方程没有实数根？
例2.若函数y=mx2+4x+1的图象与x轴只有一个公共点，那么m的值为？
例3.如图二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为多少？
拓展：抛物线上是否存在另外的点P使得△ABP的面积和△ABC面积相等，若存在求出点P的
坐标，若不存在，说明理由。
课堂小结：
1.
一个关系：二次函数图象与一元二次方程根的关系:
二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）图象与x轴公共点的横坐标,就是一元二次方程（a≠0）的根。
2.
两种题型：函数图象与x轴的交点、与平行于x轴直线y=m的交点。
3.
三种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想：分类讨论的思想。