_京改版八年级数学上册 12.8基本作图(1) 教学设计

课程基本信息
课题
基本作图
教科书
书名：义务教育教科书
七年级
下册
出版社：北京出版社
出版日期：
2014
年
7
月
教学目标
教学目标：
1.
能用尺规作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，并且了解作图的道理；
2.
会运用两个基本作图，在已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下作三角形，经历分析作图思路，思考作图的合理性的过程，发展空间想象能力和推理能力；
经历将尺规作三角形转化为作线段和角的过程，体会作一条线段等于已知线段，作一个
角等于已知角是完成其他尺规作图的基础，领悟利用已有的知识来解决未知的问题时蕴
含的转化思想，体验解决问题时策略的多样性、严谨性，增强思维的灵活性．
教学重点：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.
教学难点：分析作一个角等于已知角的作图思路，探索作法.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1’30”
引入
同学们，大家好！几何作图是我们学习几何必备的一项技能.前面我们已经学习了用刻度尺和量角器的测量功能画线段和角，利用三角尺的直角作垂线等等，今天我们来学习另一种作图方法——尺规作图.
尺规作图起源于公元前五世纪的古希腊，当时的古希腊人比较注重逻辑思维的训练，所以对作图工具有严格的限制，要求只能用直尺和圆规作图，他们所谓的直尺是没有刻度的.同学们可能会有疑问：一把没有刻度的尺子和一副圆规，能画出什么样的图形呢？
我们经常见到的五角星，还有一些用几何图形构造出的漂亮的图案，都是可以用尺规作图制作出来的，还有这只犀牛，你能想到它是怎么画出来的吗？对，它也是尺规作图制作出来的，利用尺规还能作出很多意想不到的图案。我们今天就一起来学习尺规作图，先看它的定义.
19’
新课
尺规作图的定义
利用直尺（不允许利用上面的刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.
分析：根据定义，我们不能用直尺上的刻度，那么直尺就只能用来画直线或射线，或者连接两点作线段；而圆规是用来画圆或者画弧的，由于圆周上的点到圆心的距离相等，所以我们可以利用圆规截取长度相等的线段.
基本作图
作一条线段等于已知线段.
已知：线段a.
求作：一条线段，使它等于线段a.
分析：要作一条线段，关键是要确定它的两个端点.
作法：（1）作射线OA；
（2）以O为圆心，a为半径作弧交OA于B.
所以线段OB就是所求作的线段.
注意：对于作图题首先要根据文字叙述写出“已知”、“求作”、“作法”.
尺规作图要求保留作图痕迹，并写出结论.
总结反思：利用圆规截取等长的线段避免了测量时的误差，使作图更准确.
练习：作一条线段等于两条线段之和.
已知：线段a、b
求作：线段OC，使OC=a+b.
作法：（1）作射线OA；
（2）在射线OA上顺次截取OB=a，BC=b.
线段OC就是所求作的线段.
练习：作一条线段等于两条线段之差.
已知：线段a、b
求作：线段OD,使OD=
b-
a.
作法：（1）作射线OA；
（2）以O为圆心，b为半径作弧交OA于B；
（3）以B为圆心，a为半径作弧交线段OB于D.
线段OD就是所求作的线段.
学习了作一条线段等于已知线段，它能帮助我们解决哪些作图问题呢？
思考：当已知三条线段时，如何用尺规作出以它们为边的三角形呢？
已知：线段a，b，c.
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.
分析：作三角形的关键是确定三角形的三个顶点.三角形三个边的长度都已知，我们可以利用画一条线段等于已知线段先作出任意一条边，如作线段BC=a，这样就可以确定出三角形的两个顶点了，怎样确定第三个顶点呢？通过画草图分析，第三个顶点到点B的距离为c，到点C的距离为b，我们可以利用圆规作弧求交点，就是三角形的第三个顶点.
作法：(1)作线段BC=a；
(2)分别以B，C为圆心，以c，b长为半径作弧，两弧交于点A；
(3)分别连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的三角形．
由于三角形的三边是确定的，根据有三边分别相等的两个三角形全等这一基本事实，故我们得到的三角形是唯一确定的.
能否用这种方法作出边特殊的三角形呢？
动手实践
用尺规作等腰三角形、等边三角形。
已知：线段a，b.
求作：等腰三角形，使底边为a，腰为b.
作法：(1)作线段BC=a；
(2)分别以B，C为圆心，以b为半径作弧，两弧交于点A；
(3)分别连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的三角形．
已知：线段a.
求作：等边三角形，使边长为a.
作法：(1)作线段BC=a；
(2)分别以B，C为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点A；
(3)分别连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的三角形．
有了等边三角形，我们就可以得到60°的特殊角了，那我们能不能用尺规来作一个角等于任意的已知角呢？
作一个角等于已知角.
已知：∠AOB.
求作：一个角，使它等于∠AOB.
分析：一个角是由两条有公共端点的射线组成的，我们可以先作一条射线O′A′，确定角的一边，怎么作出另一条边，从而得到与∠AOB相等的角呢？前面我们已经学过一些得到相等的角的方法，比如对顶角，等边对等角，或者利用平行线等等，但要想得到只有大小相等没有特殊位置的角，就可以通过构造全等三角形来获得.可原图中并没有三角形，我们该怎么办呢？对，我们可以先在原图中构造一个三角形，然后利用已知三边作三角形，在新图中再作出一个与△OCD全等的三角形，由全等三角形对应角相等的性质可知∠A′O′B′=∠AOB,所以∠A′O′B′就是所求作的角.
作法：（1）作射线O′A′；
（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
（3）以O′为圆心，OC长为半径作弧C′E′，交O′A′于C′；
（4）以C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧C′E′于D′；
（5）过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是所求作的角
．
下面我们根据作法给出严格的证明.
证明：由作法可知
在△O′C′D′和△OCD中
∵O′C′=OC,
O′D′=OD,
C′D′=CD
∴△O′C′D′≌△OCD（SSS）
∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）
接着请同学们思考下面这个问题，如何作一个角等于两个角的和呢？同学们能不能类比作线段和的方法来试一试.
练习：作一个角等于两个角的和.
已知：∠1，∠2
求作：∠AOC,使∠AOC=∠1+∠2.
作法：（1）作∠AOB=∠1；
（2）在∠AOB的外部作∠BOC=∠2.
所以∠AOC就是所求作的角.
在一些复杂的图形中，基本作图就不用详细叙述作法了.
前面我们能在已知三边的情况下作三角形，学习了作一个角等于已知角之后，我们就有更多的方法作三角形了.
三．利用基本作图作三角形
已知：线段a，b及∠α．
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α．
分析：在作图前我们先根据已知条件画出草图，由此可以发现三个条件在三角形中是两边及其夹角的关系，我们可以先作出这个角，然后在角的两边上分别截取线段a和线段b,按照先画角后画两边的顺序作图，当然我们也可以先作出一条边，再作出角和另一条边.下面我们就动手试一试.
作法：(1)作∠DCE=∠α;
(2)
以C为圆心，a为半径作弧交CD于B；
(3)
以C为圆心，b为半径作弧交CE于A,连接AB.
所以△ABC即为所求作的三角形．
根据“有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”这一基本事实，可知当一个三角形的两边及其夹角确定时得到的三角形是唯一确定的.
方法总结：通过刚才的作图可以发现，在作图前先根据已知条件画出草图，有助于我们对问题的分析，来确定作图的顺序，从而将作三角形的问题转化为作线段和角，使问题更容易解决.
2’
课堂小结
本节课的知识：
尺规作图（尺规作图的关键是定点）
基本作图：作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；
利用尺规作图作三角形.
（要求：保留作图痕迹，写出结论.）
方法总结：
分析思路：通过分析求作的图形，找出一个定理使定理的结论与图形的求作相吻合，然后通过作图实现定理的条件，从而达到求作的目的。
作图方法：作图前要先根据条件作出草图，通过分析确定作图顺序，将复杂的图形转化为基本作图来解决.
作业
用尺规完成以下作图：
1.已知：∠AOB.
求作：一个角，使它等于∠AOB.
2.已知：∠α，∠β，线段a.
求作：三角形ABC
，使AB=
α，∠A=∠α，∠B=∠β.
二．拓展阅读：查阅资料，了解尺规作图历史.