2020-2021学年第一学期苏科版七年级数学上册第6章平面图形的认识（一） 综合 培优训练卷（1）（word有答案）

2020-2021苏科版七年级数学上册第6章平面图形的认识（一）
综合培优训练卷（1）
一、选择题
1、如图，下列不正确的几何语句是（
）
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.射线OA与射线AB是同一条射线
D.线段AB与线段BA是同一条线段
2、下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；
③两条不相交的直线叫做平行线；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；
⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角.
其中错误的有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3、如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（　
　）
A.BC＝AB－CD
B.BC＝AD－CD
C.BC＝（AD+CD）
D.BC＝AC－BD
4、当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（　　）
A．115°
B．120°
C．105°
D．90°
5、一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
6、如果∠α与∠β是邻补角，且∠α>∠β，那么∠β的余角是（
）
A.（∠α+∠β）
B.∠α
C.（∠α－∠β）
D.不能确定
7、如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（
）
A.∠1＝∠3
B.∠1＝180°－∠3
C.∠1＝90°＋∠3
D.以上都不对
8、下列说法正确的是（
）
A.在同一平面内，不相交的两条线段平行
B.
在同一平面内，不相交的两条射线平行
C.
不相交的直线一定是平行线
D.
在同一平面内，两条直线的关系只有两种:平行或相交
9、如图，已知ON⊥L，OM⊥L，所以OM与ON重合，其理由是（
）
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D.垂线段最短
10、如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为点D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是
(
)
A．垂线最短
B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．以上说法都不对
11、如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，AC＝5，有下列说法:
(1)点B到直线l1的距离等于4
（2）点C到直线l1的距离等于5
（3）点A到直线l2间的距离等于4
（4）点B到直线AC的距离等于3
其中正确的说法有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12、如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
13、已知线段AB=1
996
cm，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1
200
cm，线段BP=1
050
cm，
则线段PQ=___________.
14、已知线段AB=10
cm，BC=5
cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=_
_.
15、如图，线段AB=BC=CD=DE=1
cm，那么图中所有线段的长度之和等于________cm.
16、如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，
则∠COD=_________，∠BOE=__________．
17、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC=
°
18、如图，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，则∠DOG＝________°.
　
19、如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=
__________.
19、35.15°＝　
　°　
　′　
　″；12°15′36″＝　
　°．
20、已知射线OA，从O点再引射线OB，OC，使∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，
则∠AOC的度数为　
21、如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝　
　．
22、如图，O是直线AB上的一点，OC，OD，OE是从点O引出的三条射线，
且∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4，则∠5=　　　　°.?
23、如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，若∠AOE
=
70°，
则∠DOG
=
_________
.
24、如图所示，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山﹣济南﹣淄博﹣潍坊﹣青岛，那么要为这次列车制作的火车票有
________种．
三、解答题
25、如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB＝18cm，且AC：CD：DB＝1：2：3，求线段MN的长．
26、已知点C，线段AB．
（1）如图，若点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是　
　；
（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，改为点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；
（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
27、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF＝2∠BOE.求∠DOB的度数．
28、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数.
29、如图，射线OC的端点O在直线AB上，OE⊥OC于点O，且OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，
若∠BOC＝70°，分别求∠DOE与∠DOF的度数．
30、已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小.
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
31、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）
（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
32、如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON？请说明理由．
2020-2021苏科版七年级数学上册第6章平面图形的认识（一）
综合
培优训练卷（1）（答案）
一、选择题
1、如图，下列不正确的几何语句是（
）
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.射线OA与射线AB是同一条射线
D.线段AB与线段BA是同一条线段
解析：射线OA与射线AB不是同一条射线，因为端点不同.故选C
2、下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；
③两条不相交的直线叫做平行线；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；
⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角.
其中错误的有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个，故选C．
3、如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（　
　）
A.BC＝AB－CD
B.BC＝AD－CD
C.BC＝（AD+CD）
D.BC＝AC－BD
解析：∵
B是线段AD的中点，∴
AB=BD=AD.
A.BC=BD－CD=AB－CD，故本选项正确；
B.BC=BD－CD=AD－CD，故本选项正确；
D.BC=AC－AB=AC－BD，故本选项正确．只有C选项是错误的．
4、当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（　　）
A．115°
B．120°
C．105°
D．90°
【解答】解：时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3份，
时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度30°115°，
或时针与分针的夹角是120°﹣10×（）°＝115°；
故选：A．
5、一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，
解得α＝35°．
故选：B．
6、如果∠α与∠β是邻补角，且∠α>∠β，那么∠β的余角是（
）
A.（∠α+∠β）
B.∠α
C.（∠α－∠β）
D.不能确定
解析：因为∠α与∠β是邻补角，所以∠α+∠β＝180°，（∠α+∠β）＝90°.
所以∠β的余角是90°－∠β＝（∠α+∠β）－∠β＝（∠α－∠β），故选C.
7、如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（
）
A.∠1＝∠3
B.∠1＝180°－∠3
C.∠1＝90°＋∠3
D.以上都不对
解析：∵
∠1+∠2=180°，∴
∠1=180°－∠2.
又∵
∠2+∠3=90°，∴
∠3=90°－∠2.
∴
∠1－∠3=90°，即∠1=90°+∠3，故选C．
8、下列说法正确的是（
）
A.在同一平面内，不相交的两条线段平行
B.
在同一平面内，不相交的两条射线平行
C.
不相交的直线一定是平行线
D.
在同一平面内，两条直线的关系只有两种:平行或相交
答案：D
9、如图，已知ON⊥L，OM⊥L，所以OM与ON重合，其理由是（
B
）
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D.垂线段最短
10、如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为点D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是
(
)
A．垂线最短
B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．以上说法都不对
答案：C
“垂线”是直线，不可度量；“垂线段”是线段，可以度量。
11、如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，AC＝5，有下列说法:
(1)点B到直线l1的距离等于4
（2）点C到直线l1的距离等于5
（3）点A到直线l2间的距离等于4
（4）点B到直线AC的距离等于3
其中正确的说法有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：B
由点到直线的距离的定义可知，只有说法（2）、（3）正确
12、如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故②正确；
③由∠BAE＝90°，∠CAD＝40°，根据图形可以求出
∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝90°+90°+90°+40°＝310°，故③错误；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④错误．
故选B．
二、填空题
13、已知线段AB=1
996
cm，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1
200
cm，线段BP=1
050
cm，
则线段PQ=___________.
解析：如图，由题意得：AQ+BP=AB+PQ=1
200+1
050＝2
250（cm），
∴
PQ=2
250－1
996＝254（cm）.
14、已知线段AB=10
cm，BC=5
cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=_
_.
解析：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图，有AC=AB－BC，
又∵
AB=10
cm，BC=5
cm，∴
AC=10－5=5（cm）；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，有AC=AB+BC，
又∵
AB=10
cm，BC=5
cm，∴
AC=10+5=15（cm）．
故线段AC=5
cm或15
cm．
15、如图，线段AB=BC=CD=DE=1
cm，那么图中所有线段的长度之和等于________cm.
解析：因为长为1
cm的线段共4条，长为2
cm的线段共3条，长为3
cm的线段共2条，长为4
cm的线段仅1条，
所以图中所有线段长度之和为1×4+2×3+3×2+4×1=20（cm）．
16、如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，
则∠COD=_________，∠BOE=__________．
解析：∵
∠AOC+∠COD=180°，∠AOC=28°，∴
∠COD=152°.
∵
OC是∠AOB的平分线，∠AOC=28°，∴
∠AOB=2∠AOC=2×28°=56°，
∴
∠BOD=180°－∠AOB=180°－56°=124°.
∵
OE是∠BOD的平分线，∴
∠BOE=∠BOD=×124°=62°．
17、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC=
180
°
18、如图，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，则∠DOG＝________°.
　
答案：因为∠BOF=∠AOE=70°，所以∠BOG==35°，所以∠DOG=∠BOD+∠BOG=55°。
19、如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=
__________.
解析：∵
OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴
∠AOM=∠BOM，∠CON=∠DON.
∵
∠MON=50°，∠BOC=10°，
∴
∠MON－∠BOC
=40°，即∠BOM+∠CON=40°.
∴
∠AOD=∠MON+∠AOM+∠DON=∠MON+∠BOM+∠CON＝50°+40°＝90°.
19、35.15°＝　
　°　
　′　
　″；12°15′36″＝　
　°．
【解答】解：∵0.15°＝9′，∴35.15°＝35°9′；
∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，∴12°15′36″＝12.26°，
故答案为：35，9，0；12.26．
20、已知射线OA，从O点再引射线OB，OC，使∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，
则∠AOC的度数为　
【解析】如右图所示，
①OC在OA、OB之间，∵∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝67°31′﹣48°39′＝66°91′﹣48°39′＝18°52′；
②OB在OA、OC之间，
∵∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝67°31′+48°39′＝115°70′＝116°10′；
故答案是18°52′或116°10′．
21、如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝　
　．
【解析】由折叠得，∠ABE＝∠DBE，∠CBF＝∠DBF，
∵∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC=×90°＝45°，
故答案为45°．
22、如图，O是直线AB上的一点，OC，OD，OE是从点O引出的三条射线，
且∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4，则∠5=　　　　°.?
[解析]
设∠1=x°，则∠2=2x°，∠3=3x°.依题意，得x+2x+3x=180，解得x=30，
所以∠4=4x°=120°，∠5=180°-120°=60°.
23、如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，若∠AOE
=
70°，
则∠DOG
=
____55_____
.
24、如图所示，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山﹣济南﹣淄博﹣潍坊﹣青岛，那么要为这次列车制作的火车票有
________种．
【解析】解：如图，设泰山﹣﹣济南﹣﹣淄博﹣﹣潍坊﹣﹣青岛五站分别用A、B、C、D、E表示，
则共有线段：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条，
所以，需要制作火车票10×2=20种．
故答案为：20．
三、解答题
25、如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB＝18cm，且AC：CD：DB＝1：2：3，求线段MN的长．
【解答】解：设AC，CD，DB的长分别为xcm，2xcm，3xcm
∵AC+CD+DB＝AB，AB＝18cm，
∴x+2x+3x＝18，
解得x＝3
∴AC＝3cm，CD＝6cm，DB＝9cm
∵M，N为AC，DB的中点，
∴
∴MN＝MC+CD+DN＝12cm，
∴MN的长为12cm．
26、已知点C，线段AB．
（1）如图，若点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是　
　；
（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，改为点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；
（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
【解答】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，AC＝12，BC＝8，
MC＝AC÷2＝12÷2＝6，
NC＝CB÷2＝8÷2＝4，
由线段的和差，得MN＝MC+NC＝6+4＝10．
答：线段MN的长是10，
故答案为：10；
（2）由点M、N分别是AC、BC的中点，可得，
所以
（3）线段MN的长度会变化
当点C在线段AB上时，由（2）知
当点C在线段AB上的延长线时，如图，
则AC＞BC，即a＞b．
由点M、N分别是AC、BC的中点．
可得，．
所以．
当点C在线段BA上的延长线时，如图．
则BC＞AC，即b＞a．
由点M、N分别是AC、BC的中点．可得，．
所以．
27、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF＝2∠BOE.求∠DOB的度数．
解：因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°.
因为∠BOF＝2∠BOE，所以3∠BOE＝90°，即∠BOE＝30°，所以∠AOE＝180°－∠BOE＝150°.
因为OC平分∠AOE，所以∠AOC＝∠AOE＝75°，所以∠DOB＝∠AOC＝75°.
28、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数.
解：∵
∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，
∴
∠3+∠FOC+∠1=180°，
∴
∠3=180°－90°－40°=50°．
∵
∠3与∠AOD互补，∴
∠AOD=180°－∠3=130°.
∵
OE平分∠AOD，
∴
∠2=∠AOD=65°．
29、如图，射线OC的端点O在直线AB上，OE⊥OC于点O，且OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，
若∠BOC＝70°，分别求∠DOE与∠DOF的度数．
【解答】解：∵OE⊥OC于点O，∴∠COE＝90°，
∵∠BOC＝70°，∴∠BOE＝∠COE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝20°，
∵∠AOB＝180°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣20°＝160°，
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF∠AOE＝80°，∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝80°﹣20°＝60°，
综上，∠DOE的度数为20°，∠DOF的度数为60°．
30、已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小.
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
解：（1）∵
∠AOB是直角，∠AOC=40°，∴
∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°.
∵
OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴
∠MOC=∠BOC=65°，∠NOC=∠AOC=20°．
∴
∠MON=∠MOC－∠NOC=65°－20°=45°.
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
∵
∠MON=∠MOC－∠NOC=∠BOC－∠AOC=（∠BOC－∠AOC）=∠AOB，
又∠AOB＝90°，∴
∠MON=∠AOB=45°．
31、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）
（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°﹣4°×3﹣6°×3＝150°．
（2）依题意，得：4t+6t＝180+72，解得：t．
答：当∠AOB第二次达到72°时，t的值为．
（3）当0≤t≤18时，180﹣4t﹣6t＝90，解得：t＝9；
当18≤t≤60时，4t+6t＝180+90或4t+6t＝180+270，解得：t＝27或t＝45．
答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9、27或45．
32、如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON？请说明理由．
【解答】解：（1）①如图2中，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOM∠BOC＝75°，∠AON＝180°﹣90°﹣75°＝15°，
∴t3s，
②当t＝3时，∠AON＝3t＝15°，∠CON＝30°﹣3t＝15°，∴∠AON＝∠CON，
∴ON平分∠AOC；
（2）∵∠CON＝30°﹣α＝90°﹣β，∴β＝α+60°；
（3）∵OC平分∠MON，∠MON＝90°，∴∠CON＝∠COM＝45°，
∵三角板绕点O以每秒5°的速度，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴设∠AON＝5t，∠AOC＝30+8t，
∵∠AOC﹣∠AON＝∠CON，∴30+8t﹣5t＝45，解得t＝5，
∴经过5秒OC平分∠MON．