初二【数学(北京版)】12.6等腰三角形(4) 教学设计

课程基本信息
课题
等腰三角形（4）
教科书
书名：
义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：北京出版社
出版日期：2014年7月
教学目标
教学目标：
1.探究等边三角形的判定定理并会证明；
2.能够运用等边三角形的判定定理解决简单的几何问题；
3.经历探索等边三角形判定方法的过程，体会分类讨论思想以及特殊几何图形的研究问题的思路，增强符号意识，发展抽象思维；
4.经历观察，实验，猜想，证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地，清晰地阐述自己的观点；
5.积极参与数学学习活动,在活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志建立自信心。
教学重点：探究等边三角形的判定定理。
教学难点：归纳，推理证明等边三角形的判定方法，以及运用等边三角形的判定解决相关问题。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1’
2’
30”
3’
50”
课前探究
得出猜想
课前探究
得出猜想
教师分享学生课前探究任务：尝试探究等边三角形的判定方法
方法一，画图法：
学生1.
1.画一条线段后，用两三角板固定另外两条边，并让其与底边相等
分析：第一位同学的做法，画一条线段后，用两三角板固定另外两条边，并让其与底边相等，便得到了等边三角形，本质上运用的是等边三角形的定义，三边相等的三角形是等边三角形进行的判定。
画一条边后，用量角器或者用60°的三角板以线段的端点为顶点做两个60°的角.
分析：第二位位同学这样做的：
画一条线段后，用量角器或者用60°的三角板以线段的两个端点为顶点，以线段所在直线为一边，做两个60°的角，他认为这样作出来的三角形是等边三角形。从图形来看这位同学就是先画了∠B=60°，又画了∠C=60°，就可以确定A点的位置，这样画出的三角形三个角都相等，它就是等边三角形。
得到猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形
画一条线段确定长度后，用量角器或者用60°的三角板做一角后，再确定另一边长.
分析：第三位同学画一条线段确定其长度后，用量角器或者用60°的三角板做一个60°的角，再确定角的另一边和画好的线段相等，连接后得到等边三角形。从图形上来看，首先他先确定了BC边的长，然后画了∠B=60°，用刻度尺取BA=AC，最后连接AC，相当于在等腰三角形的基础上添加了顶角是60°，他认为这样画出来的三角形也是等边三角形。
得到猜想2：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形
综合后面两种画图方法，得到两个判定三角形是等边三角形的猜想。
猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形
猜想2：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形
7’
20”
14’
50”
论证猜想
得出定理
论证猜想
得出定理
论证猜想1
为了便于快速的找到题设和结论，首先先将这个命题改写成如果那么的形式
如果三角形的三个角都相等，
那么这个三角形是等边三角形.
根据图形语言，写出符号语言的已知和求证，并证明结论
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，
∴BC=AC，AB=AC.
∴AB=BC=AC.
∴△ABC是等边三角形
（三边都相等的三角形是等边三角形）.
得到判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
小结：等边三角形的判定方法：
定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
将猜想2：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.改为如果……那么……的形式，以便于分析题设和结论。
如果等腰三角形的顶角是60°，
那么这个等腰三角形是等边三角形.
根据图形语言写出符号语言，分析并证明。
已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°.
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形
（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
提出问题将顶角60°的等腰三角形换为：有一个底角是60°的等腰三角形是否也成立呢？
经过分析发现依然成立，从而得到判定定理2
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°
（或∠B=60°，或∠C=60°），
∴△ABC是等边三角形
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
小结：
三种判定等边三角形的方法
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
种判定方法分别从三角形和等腰三角形的角度，对等边三角形进行判定。
18’
5”
例题讲解
巩固新知
例1.在△ABC中，AB=AC=5，∠C=60°，则△ABC的周长为
15
分析：AB=AC
△ABC是等腰三角形，∠C=60°
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
△ABC是等边三角形
△ABC周长为15
例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.
分析并证明
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
22’
变式练习
熟练运用
变式练习
熟练运用
变式：若把条件DE∥BC换成其他条件，那么添加什么条件才能使△ADE是等边三角形
已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为AB，AC上的点，
（请你添加一个条件），求证：△ADE是等边三角形.
分享学生的变式结果
变式一：
已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为AB，AC上的点，∠ADE=∠B，求证：△ADE是等边三角形.
分析发现：∠ADE和∠B是一对同位角，这个条件刚好可以得到DE//BC这个被我拿掉的条件，所以添加∠ADE=∠B一定可以证得△ADE是等边三角形。相类似还可以添加∠AED=∠C，
∠B+∠BDE=180°等等能够使DE与BC平行的条件。
变式二：
已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为AB，AC
上的点，∠ADE=∠AED，求证：△ADE是等边三角形.
分析：
方法1：
∠A=60°我们就可以得到∠ADE=∠AED=60°，从而在△ADE中的三个角相等，同样根据判定定理1，三个角相等的三角形是等边三角形，就可以得到结论。
方法2：
根据∠ADE=∠AED这个条件就可以得到AD=AE，也就是三角形AED是等腰三角形，结合前面得到的∠A=60°就可以利用判定定理2，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来证明△ADE是等边三角形。相类似我们只要添加能够使△ADE是等腰三角形的条件即可，比如∠A=∠AED，AD=DE等等。
完成该方法的证明过程：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°（等边三角形的性质）.
∵∠ADE=∠AED，
∴AD=AE（等角对等边）.
∴△ADE是等边三角形
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
变式三：
已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为AB，AC上的点，点D，E分别为AB，AC边上的中点，求证：△ADE是等边三角形.
分析：
发现如果点D，E分别为AB，AC边上的中点，那么AD是AB的一半，AE是AC的一半，因为AB，AC是相等的所以也可得到AD=AE，这样与前面的证明方法就相同了，运用了等边三角形的判定定理2即可证明。
23’
30”
课堂小结
总结提升
课堂小结
首先在三角形的基础上，添加三边相等的条件，通过定义可以得到这个三角形是等边三角形，通过探究我们发现，在三角形的基础上添加三个角都相等的条件，也能得到等边三角形，这就是我们本节课所学习的判定定理1
在等腰三角形的基础上，添加一个角为60度的条件，那么这个等腰三角形就变成了等边三角形，这是我们本节课所学习的判定定理二。在一般图形“三角形”的基础上分别通过边特殊化，角特殊化，得到特殊的三角形等边三角形；在一般的等腰三角形的基础上通过角特殊化得到特殊的等腰三角形即
等边三角形，渗透了一般与特殊的关系.
在探究时,同学们经历了观察，实验，猜想，证明的过程。从画图入手，通过合情推理得到猜想，通过演绎推理最终得到判定定理，这是研究一个图形常用的方法。在以后的学习中，同学们会有更深的体会。在解题中，也希望同学们重视分析问题的方法，既可以从已知入手，也可以从结论入手，陪养自主变式探究的意识，不断提升自己。
24’
课后作业
课后作业
教材104页8
已知：如图，△ABC为等边三角形DEF分别是AB，BC，CA上一点，且AD=BE=CF.
求证：△EDF是等边三角形.
开放性题目
已知：如图，△ABC为等边三角形，过点A作射线AM∥BC，
D，E分别为AM，AC上的点，
。
求证：△ADE是等边三角形。
(说明：在横线上填写需要添加的条件，并完成证明)