京改版八年级上册12.7直角三角形(1) 教学设计

课程基本信息
课题
直角三角形(1)
教科书
书名：北京市义务教育课程改革实验教材
数学
八年级上册
出版社：北京出版社
出版日期：2014年7月
教学目标
教学目标：
探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形两个锐角互余；
能应用直角三角形的性质定理找到图形中互余的角、相等的角；
能应用直角三角形的性质定理进行简单的角的计算与证明.
教学重点：探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形两个锐角互余.
教学难点：如何分析题目，寻找恰当的方法解决问题是教学难点.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
50″
3′30″
3′
8′30″
6′
2′30″
10″
复习回顾
探究直角三角形的性质
直角三角形性质定理的应用
课堂小结
布置作业
一、复习回顾
前面，我们研究了一般三角形，又研究了特殊的三角形，有等腰三角形和等边三角形。
今天我们继续研究特殊的三角形：直角三角形。
二、探究直角三角形的性质
（一）探究直角三角形的性质
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.
直角三角形可以表示为Rt△.
例如：直角三角形ABC也可以表示为Rt△ABC.
动手操作：画一个直角三角形ABC，∠C=90°.
观察与归纳：观察所画的直角三角形，你有什么发现呢？
发现角之间的关系：∠A与∠B和为90°.
归纳：直角三角形的两个锐角互余.
我们对自己的发现进行一下证明：首先，要根据所画图形，写出已知、求证，再进行证明.
已知：Rt△ABC，∠C=90°.
求证：∠A与∠B互为余角.
证明：∵直角三角形ABC
∴∠A+∠B＋∠C＝180°
∵∠C=90°
∴∠A+∠B＝180°－∠C
=90°
即∠A与∠B互为余角.
经过证明，我们就得到了直角三角形性质定理：直角三角形的两个锐角互余.
用符号语言表示为：
在直角三角形ABC中
∵∠C=90°（已知）
∴∠A与∠B互为余角（直角三角形的两个锐角互余.）
辨析：直角三角形的两个角互余。这样说对吗？
直角三角形的三个内角中有两个锐角，一个直角，如果只说两个角，可能是两个锐角，也可能是一个锐角一个直角，两个锐角互余，一个锐角、一个直角不是互余的。所以，我们在叙述定理时一定要说清直角三角形两个锐角互余。
三、直角三角形性质定理的应用
应用（一）
例
在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A＝20°.求∠B的度数.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形性质定理）
∵∠A＝20°，
∴∠B=70°.
教师点评：在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以直接求出另外一个锐角的度数；
变式
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A比∠B小50°.求∠B的度数.
分析：
由条件在Rt△ABC中，∠C=90°，这样就能得到
∠A+∠B=90°；
由∠A比∠B小50°，可以得到∠B－∠A＝50°.
这样我们就得到了关于∠A和∠B的二元一次方程组：
解：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B
=90°.
∵∠A比∠B
小50°，
∴∠B-∠A
=50°.
∴
∠A＋∠B＝90°
∠B－∠A＝50°
解得∠B=70°，∠A＝20°
教师点评：在知道两个锐角之间的关系的时候，也可以通过方程或方程组，分别求出这两个锐角的度数。
应用二
请同学们再来画一个Rt△ABC，∠C=90°.
1.在AC上取一点E，且点E不与A点和C点重合，过点E作ED⊥AB于点D，图中有____对互余的角？
要找互余的角，我们首先要找一找图中的直角三角形，图中可以找到两个直角三角形，分别是Rt△ABC和Rt△AED.
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A和∠B互为余角；
在Rt△AED中，∵∠AED＝90°，∴∠A和∠1互为余角；
图中共有两对互余的角：∠A和∠B互为余角；∠A和∠1互为余角；
你还有什么结论吗？
∵∠B和∠1都和∠A互余，∴∠B＝∠1.
2.当点E与点C点重合时，图中有几对互余的角？
分析：图中共有三个直角三角形，
在Rt△ABC
∵∠ACB＝90°，
∴∠A和∠B互为余角；
∠1和∠2互为余角；
在Rt△BDC中，
∵∠CDB＝90°，
∴∠1和∠B互为余角；
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，
∴∠2和∠A互为余角；
综上所述：互为余角有四对，分别是∠1和∠2；∠A和∠B；∠1和∠B；∠2和∠A.
相等的锐角有两对，分别是：∠1＝∠A；∠2＝∠B
3.当点E在AC上时，过点E作ED⊥AB于点D，试着画一画，展示一下你所画出的图形，可以出现哪些情况？
当点E在射线AC上移动时,除了前面研究的情况,还可以在画出三种情况.这三种情况中,后两种其实和前面研究的一样,我们只对第一个图形进行研究.
在这个图形中，除直角外，有几对相等的角？
图中共有四个直角三角形.
Rt△ABC,
Rt△ADE,
Rt△CEF,
Rt△DFB
很显然，BC和ED相交于点F，∠CFD和∠EFB，∠1和∠2是对顶角，对顶角相等，所以∠CFD=∠EFB，∠1=∠2。
我们再找出∠1和∠2所在的直角三角形，这样找到∠1和∠B互余，∠2和∠E互余，根据等角的余角相等，∠E=∠B。
观察一个图形可以有不同的角度，比如，前面通过对顶角及等角的余角相等，找到∠E=∠B，
也可以通过∠E和∠A互余，∠B也和∠A互余，同角的余角相等，找到∠E=∠B。
继续观察，我们还能发现这个图形中包含着前面研究过的图形类型，比如：在直角三角形ADE和直角三角形CEF中，
∠2和∠A都与∠E互余，这样∠A=∠2.因此，∠A=∠2=∠1.
找一找，你还能再发现我们研究过的图形吗？
因此，在图形中相等的角为∠A=∠2
=∠1，∠E=∠B，
∠CFD=∠EFB.
4.当点E在CA延长线上时，过点E作ED⊥AB于点D，试着画一画，还可以出现什么情况？有什么结论？
图中有两个直角三角形,可以得到∠2与∠B互余，∠1与∠E互余，∠B与∠1互余，∠E与∠2互余.
∠1=∠2，∠B=∠E，∠DAC=∠EAB.
小结：上述研究可以归纳为：
上述问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，在直线AC上有一点E，过点E作ED⊥AB于点D，可以画出哪些图形？有什么结论？
在解决问题时同学们首先要画出图形，注意题目中的条件：在直线AC上取一点E.
最终，我们对这四种图形里的直角三角形进行了研究，研究了图中互余的角，相等的角.
点的位置变化，画出的图形可能会不同，要注意画图过程中分类讨论，做到不重不漏.
应用（三）
例
已知:
如图，在△ABC中,
AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证:
∠DBC＝
∠A.
分析后解答
方法一、综合法
证明∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDC=90°,
∴∠DBC+∠C=90°
在△ABC中
∵AB＝AC
∴∠C=∠ABC
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C
=
(180°-∠A)
∴∠1+
(180°-∠A)=90°
整理得:
∠1＝
∠A.
方法二：分析法
从要证明的结论入手分析。要证∠1=
∠A，
只需找到
∠A，转化为证明两个角相等的问题。
同时，还要关注图中所出现的基本图形。
证明：过A点作AE平分∠BAC，交BC于点E.
∴
∠2=
∠BAC
在△ABC中，
∵
AB=AC，
AE平分∠BAC
，
∴
AE⊥BC
.
∴∠AEC=90°
.
∴∠2+∠C
=90°.
∵
BD⊥AC
，
∴∠BDC=90°
.
∴∠1+∠C
=90°
.
∴∠1=∠2
.
∴∠1=
∠BAC.
课堂小结：
1.直角三角形性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
用符号语言表示为：
在直角三角形ABC中
∵∠C=90°（已知）
∴∠A与∠B互为余角（直角三角形的两个锐角互余.）
直角三角形的性质定理表示了一个等量关系，我们可以应用它直接计算，也可以利用方程解决问题。
在以后的解题过程中可能会遇到一道题中有几个直角三角形的问题，找到互余的角、相等的角，这些会为我们证明全等、平行、等腰三角形等问题提供条件。
2.
我们研究了几个图形，发现图形之间都是有联系的，同学们在平时的学习中要关注基本图形，注意观察，找到图形之间的联系。对于复杂一点的图形，能分解出基本图形，这样有助于我们解决问题。
3.
在解决几何问题的时候，我们还经历了两种思考问题的方法：从条件入手分析和从结论着手思考。
从题目中已知的条件和定义等去想可以知道的一些结论，找到这些结论之间的关系，利用这些关系，逐步推导出题目要求证的未知结论，解决问题。
从结论开始思考，就是从题目要证明的结论出发，分析如果结论成立，需要什么条件，再去寻求这些条件，逐步靠拢已知。
在解题中，常将两种方法结合起来使用，在做题时可以从这两个方面来思考。
课后作业：
1.直角三角形中，一个锐角是另一个锐角度数的2倍，求较小的锐角的度数.
2.
已知：如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，
DE⊥AC于点E.求∠ADE的度数.
2