京改版八年级上册12.11勾股定理(1) 教学设计

课程基本信息
课题
勾股定理
教科书
书名：
数学
出版社：北京出版社
出版日期：
2014
年
7
月
教学目标
教学目标：经历勾股定理的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及内在联系，进一步发展学生的空间观念和推理能力。
教学重点：探索、验证勾股定理．
教学难点：勾股定理的证明．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2′
13′
8′
2′
复习回顾
实践探究
实践探究
实践探究
实践探究
实践探究
新知应用
新知应用
新知应用
课堂总结
环节一：复习回顾
1、什么是直角三角形？
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2、三角形的主要元素是边和角，三角形的边之间有什么关系？三角形的角之间有什么关系？
前面，我们学习过三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3、直角三角形的角之间有什么特殊关系？直角三角形的两锐角互余.
4、对于直角三角形，三条边的长度之间有什么样确定的数量关系吗？
环节二：实践探究
1、在无理数的学习中，我们认识了
将边长为1两个正方形，拼成一个面积为2的大正方形，其中，等腰直角三角形的斜边长为.
2、活动：
将两个边长为a
的正方形拼成边长为2a?的正方形.
拼图：
（1）这两个正方形沿对角线剪开.
（2）其中，等腰直角三角形的两直角边分别为a，斜边为.
如图，把这两个正方形沿对角线剪开，分别剪成两个等腰直角三角形，可以拼成一个面积为2a?的大正方形，此时，拼成的大正方形边长为.
（3）思考：等腰直角三角形的三边之间有什么特殊的数量关系吗？
即：以等腰三角形两直角边为边的正方形的面积之和，等于斜边所在的正方形面积。因此，得到这样一个等式：.
猜想：等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
思考：对于一般直角三角形，是否还有这样的结论呢？
3、验证猜想
作以下三个直角三角形，使它们的两直角边分别为3cm和4
cm；6
cm和8
cm；5
cm和12
cm，用刻度尺量出它们斜边的长。
通过测量，它们的斜边长分别为：5
cm，10
cm，13
cm；
它们的三边长度有这样的关系式：
；；.
我们发现，这三个直角三角形的三边长都满足关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。
猜想：直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方
4、证明猜想
猜想
直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方
题设
结论
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别
是∠A，∠B，∠C的对边．
求证：a2
+
b2
=
c2．
数
形
完全平方公式
正方形面积
(a
+
b)
2
=
a2+2ab+
b2
a2,
b2,
c2
矩形面积
或直角三角形面积
(1)动手操作
拼一拼
请同学们拿出四个全等的直角三角形（设较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c），拼一个正方形.
证法一：
在边长为C的大正方形外，拼接四个边长为a,b的直角三角形，由于直角三角形两锐角互余，所以，可以拼成一个边长为a+b的大正方形，通过大正方形的面积与四个直角三角形和边长为c的小正方形面积之和相等，可得
证明：∵
(a
+
b)
2
=
c2
+
∴
a
2
+
2
ab
+
b2
=
c2
+
2
ab
∴
a
2
+
b2
=
c2
证法二：
证明：∵
∴
a
2
+
b2
=
c2
从形和数两个角度证明了a
2
+
b2
=
c2
得出定理：
勾股定理
直角三角形，两直角边的平方和等于第三边平方.（文字语言）
（图形语言）
（符号语言）
在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴a
2
+
b2
=
c2（勾股定理）
勾股史话：我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
勾
股
注意：勾股定理前提条件是直角三角形，要明确直角，进而确定斜边.
∵∠C=90°，∴c是斜边
∴a
2
+
b2
=
c2
∵∠B=90°，∴b是斜边
∴a
2
+
c
2
=
b
2
∵∠A=90°，∴a是斜边
∴c
2
+
b2
=
a
2
所以，应用勾股定理时，一定要先确定斜边.
环节三：新知应用
例
在
Rt△ABC
中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边
分别为a，b，c.如果
a=5，b=3，求c.
解：在
Rt
△
ABC
中，
∠C=90°，
∴a
2
+
b2
=
c2，（勾股定理）.
∵
a=5，b=3，
∴
.
∴
c=
也可以用直接计算
变式
在
Rt
△
ABC
中，已知∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b
，c.如果a=5，c=6，求b.
解：在
Rt
△
ABC
中，
∠C=90°，
∴a
2
+
b2
=
c2，（勾股定理）.
∵a=5，c=6，
∴
∴b=.
也可以用直接计算.
如果已知b，c,也可以直接用计算.
例
一颗大树被大风刮倒，断的一段恰好落在地面上的A处，量得BC=5m，AC=10m，试计算大树的高度（结果精确到1m）
转化
实际问题————数学问题
已知：如图，在
Rt
△
ABC
中，∠C=90°，BC=5m，AC=10m.
求：AB
+
BC
的长.
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=5m，AC=10m.
∴BC
?
+
AC
?
=
AB
?（勾股定理）.
∴AB
?
=
5?
+
10?
=
125.
∴AB
=
(m)
.
∴AB
+
BC
=5+(m)
.
实际问题的解：
∵AB
=≈
11(m)
.
∴AB
+
BC
≈
16(m)
.
树高=AB
+
BC
≈
16(m)
.
答：大树高约16m.
环节四：课堂总结
本节课学习了什么知识？
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
a
2
+
b2
=
c2，
也可以利用以下几种变形，直接计算：
学习勾股定理时，我们用了研究哪些方法？
观察—实验—猜想—证明
如何探究勾股定理，经历了哪些过程？
从特殊到一般，探究和猜想勾股定理
思想方法的小结：数形结合的方法．
直角三角形的性质：角——直角三角形中，两锐角互余；边——直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
作业：
1.
在
Rt
△
ABC
中，已知∠C=90°，∠A，
∠B，
∠C的对边
分别为a，b
，c.如果
a=9，b=12
，求c.
2.
已知：如图，∠C=∠D=90°，AC=8，BC=6，AD=7.
求BD的长.