人教版八年级上册 第十四章整式的乘法与因式分解全章复习-教学设计

教学设计文本
课程基本信息
课题
整式的乘法与因式分解全章复习
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级
上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年6月
教学目标
教学目标：
1.巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题；
2.通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系.
教学重点：熟练地运用整式的乘法法则进行运算.
教学难点：灵活运用整式的乘法法则解决有关问题.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2
分钟
一、
本章知识结构
本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法.整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法，还学习了特殊形式，乘法公式等.利用“除法是乘法的逆运算”，学习了简单的除法，掌握了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形.这是本章的知识结构图.
我们这节课主要复习整式的乘法，因式分解的具体内容下节课再复习.
22分钟
二、
典例
选讲
在整式的运算中，幂的运算是基础，有着至关重要的作用,下面我们通过具体的例题来看一下.
【例1】判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？
（1）a2·a3=a6；
（2）(b4)3=b7；
（3）a10÷a2=a5；
（4）(-2ab2)3=-8a3b6.
【分析】
（1）明确运算法则；（2）法则具体内容.
【答案】解：（1）a2·a3=a6，×，改正：a2·a3=a5；
（2）(b4)3=b7，×，改正：(b4)3=b12；
（3）a10÷a2=a5，×，改正：a10÷a2=a8；
（4）(-2ab2)3=-8a3b6，√，(-2ab2)3=(-2)3a3(b2)3=-8a3b6.
【小结】
1.幂的运算法则：
（1）am·an=am+n(m,n都是正整数)；
（2）(am)n=amn(m,n都是正整数)；
（3）am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；
（4）(ab)n=anbn(n都是正整数).
2.使用法则时，要明确法则和具体内容.
【例2】已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
【分析】
要想求102m+3n的值，可以先求m，n的值，10的多少次方等于5呢？10的多少次方等于3呢？就我们现在来说是求不出来的.观察题目中已知条件与所求值的代数式的特点，都是幂的形式，并且底数相同都是10，指数不同，用10m，10n如何表示102m+3n呢，102m+3n是指数相加的形式，我们不难想到同底数幂相乘，逆用就得到am+n=am·an，所以102m+3n=102m·103n，而102m与103n是指数相乘的形式，我们想到幂的乘方，逆用得到amn=(am)n=(an)m，102m=(10m)2，103n=(10n)3，这道题就可以解决了.
【答案】解：102m+3n=102m·103n=(10m)2·(10n)3.
将10m=5，10n=3代入，原式=52×33=675.
【巩固练习】
计算：
【分析】
运算中有乘、乘方，按照运算顺序，先算乘方，但是计算比较复杂，观察式子的特点，底数虽然不同，但是0.125与-8乘积等于-1，逆用anbn=(ab)n，但是指数需要相同，所以逆用am+n=am·an后就解决问题.
【答案】解：原式
【小结】
幂的运算算法则不仅可以正用，也可以逆用.
（1）am+n=am·an(m,n都是正整数)；
（2）amn=(am)n(m,n都是正整数)；
（3）am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；
（4）anbn=(ab)n(n都是正整数).
在复习了幂的运算的基础上，我们来看一道例题.
【例3】若定义一种新运算，a
b=2ab-b2，求x
(x+2y).
【分析】
这道题定义了一种新运算，两数
运算，它的法则是什么？=2ab-b2，也就是这两数乘积的2倍与后一个数的平方的差，转化为我们已经学过的整式的运算,关键是确定这两数.
【答案】解：（1）∵a
b=2ab-b2，
法一：
∴x
(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2
（单×多）（完全平方公式）
=2x2+4xy-(x2+4xy+4y2)
=2x2+4xy-x2-4xy-4y2
=x2-4y2；
此题是化简，结果应为一个整式，注意和因式分解结果的区别.同学们，这道题还有其他的方法化简吗？
法二：∴x
(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2
=(x+2y)[2x-(x+2y)]
=(x+2y)(2x-x-2y)
=(x+2y)(x-2y)（平方差公式）
=x2-4y2；
我们不仅可以利用整式乘法化简，也可以利用分解因式达到化简的目的.
【巩固练习】
先化简再求值：(ab+2)(ab-2)-(a2b2-4ab)÷ab，其中a=-3，b=.
分析：明确运算顺序，运算法则.按照要求对代数式先化简，运算有加、减、乘、除，按照运算顺序，先算乘除，后算加减.
解：原式=a2b2-4-(ab-4)（平方差公式）（多÷单）
=a2b2-4-ab+4
=a2b2-ab
将a=-3，b=代入，原式=(ab)2-ab=.
【小结】
1.明确运算顺序：
（1）有括号要先算括号里的；
（2）先乘方，再乘除，最后加减.
2.明确运算法则：
（1）整式的运算法则，单项式的乘除法是关键；
（2）新定义的运算法则，一般转化为学过的运算法则.
3.运算中正确使用乘法公式：
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2；
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
【例4】如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
(1)观察图2，请写出(a+b)2，(a-b)2，ab之间的数量关系；
(2)应用：根据(1)中的结论，若x+y=5，，求x-y的值.
【分析】
(1)结合图2，(a+b)2表示的是大正方形的面积，ab是一个小长方形的面积，而(a-b)2呢？观察图2发现，中间阴影部分的图形是正方形，边长是a-b，所以(a-b)2是中间阴影小正方形的面积.由图2发现，大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积；
(2)由(1)得到，a+b，a-b，ab的关系，整体代入，可以解决.
【答案】解：(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab；
(2)由(1)得：(a+b)2=(a-b)2+4ab，
∵x+y=5，，
∴52=(x-y)2+4×.
∴(x-y)2=16.
对于(a+b)2=(a-b)2+4ab这个关系，我们不仅可以通过图形之间的面积关系得到，也可以通过完全平方公式变形得到.
【小结】
完全平方公式既可以直接使用，也可以变形使用，通过这些关系式，a+b，a-b，ab，a2+b2，知二求二.
【巩固练习】
已知长方形ABCD的周长为20，面积为28，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？
【分析】
我们一起画一下示意图，为了使条件更加直观，设长为x，宽为y，则2(x+y)=20，xy=28，要求的是x2+y2的值.直接求x，y的值，就现在的知识还不能解决，那么x2+y2，x+y，xy之间有什么关系呢？利用完全平方公式的变形，解决问题.
【答案】解：设这个长方形的长为x，宽为y，则
，
.
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×28=44.
∴分别以长方形的长和宽为边长的
正方形面积之和是44.
1
分钟
三、
归纳
总结
这节课复习了整式的乘法，并灵活运用，相信同学们对这一章有了比较清晰的认识.
对于运算问题：明确法则，理清顺序；
使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；既可以直接用，也可以变形用.
四、
课后
练习
1.计算：
（1）(2a)3·b4÷12a3b2；
（2）(2a+3b)(2a-b)；
（3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)；（4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y.
2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.