人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用 教学设计

课程基本信息
课题
乘法公式的综合运用
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013
年
6
月
教学目标
教学目标：
1、熟练运用平方差公式与完全平方公式进行计算；
2、根据题目要求选择不同的乘法公式进行运算；
3、提高学生对乘法公式综合运用的能力以及分析问题、解决问题的能力.
教学重点：正确选择乘法公式进行运算.
教学难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
4min
一、复习引入
【问题】回顾以下知识并填空：
(1)平方差公式是什么？
(2)完全平方公式是什么？
(3)m?3n+2a?b
=
m+(
)；
(4)a?2b?4c+5=(a?2b)?(
)．
【答案】
(1)
(a+b)(a?b)=a2?b2；
(2)
(a±b)2
=
a2±2ab+b2；
(3)
m?3n+2a?b=m+(?3n+2a?b)；
(4)
a?2b?4c+5=(a?2b)?(4c?5)．
18min
二、新课教学
【例】运用乘法公式计算：
(1)(x+y+1)(x+y?1)
；
(2)(x+y?1)(x?y+1)
．
【分析】(1)(x+y+1)(x+y?1)
这个式子是两个三项式的乘积，我们可以直接使用多项式乘多项式的法则进行运算，但由于是两个三项式相乘，运算起来会非常的复杂，那么有什么方法能够简化运算步骤呢？我们来观察这两个多项式，分别是(x+y)+1和(x+y)?1的形式，如果我们将x+y看做整体，那么整个式子就相当于a+b与a?b乘积的形式，利用平方差公式运算，得到(x+y)2?1，再用两数和的完全平方公式进行化简，从而得到结果.
【答案】解：
(1)(x+y+1)(x+y?1)=[(x+y)+1][(x+y)?1]
=(x+y)2?1
=x2+2xy+y2?1．
【分析】
(2)(x+y?1)(x?y+1)
这道题依旧是两个三项式的乘积，有了解决（1）的经验，我们先观察这两个多项式，我们发现如果把这两个式子中的x和y?1分别看做整体，那么整个式子就可以转化为[x+(y?1)][x?(y?1)]，符合平方差公式的形式，借助平方差公式进行化简，就可以得到x2?
(y?1)2再利用两数差的完全平方公式对(y?1)2进行化简，最后去括号，从而得到结果.
【答案】解：
(2)(x+y?1)(x?y+1)
=[x+(
y?1)][x?(y?1)]
=x2?
(y?1)2
=x2?(y2?2y+1)
=x2?y2+2y?1
=x2+2y?y2?1．
【归纳总结】
遇到两个不同的多项式相乘，如果项数过多，并且两个多项式中的各项只有符号的区别，可以考虑利用添括号法则将各项进行分组，再从整体的角度判断是否满足平方差公式的形式，找准哪个数或者式子相当于公式中的a和b，以便简化运算过程.
【例】运用乘法公式计算：
(1)
(x+2)
(x2+4)
(x?2)
；
(2)
(x+2y)2(x?2y)2；
(3)(x+y)2?
(x?y)2．
【分析】(1)
(x+2)
(x2+4)
(x?2)
这个式子是三个多项式相乘，可以利用多项式乘多项式的法则按照运算顺序进行计算，但如果我们仔细观察这三个式子，发现第一个式子(x+2)和第三个式子(x?2)的乘积正好满足平方差公式的形式，于是利用将这三个多项式分别看成三个整体，利用乘法交换律将二、三项交换，从而得到(x+2)(x?2)(x2+4)，再利用平方差公式得到(x2?4)(x2+4)，而这个式子也满足x2与4的和乘以x2与4的差的形式，再次运用平方差公式，最终得到结果.
【答案】解：
(1)
(x+2)
(x2+4)
(x?2)=
(x+2)(x?2)(x2+4)
=
(x2?4)(x2+4)
=
x4?16．
【分析】
(2)
(x+2y)2(x?2y)2
这道题从形式上看是x+2y两数和的完全平方与x?2y两数差的完全平方的乘积，根据之前所讲的内容，我们可以通过完全平方公式对两个平方式分别进行计算，得到(x2?4xy+4y2)(x2+4xy+4y2)，再利用多项式乘多项式的法则对式子进行化简，从而得到结果.但是，最后一步由于是两个二次三项式相乘，运算会比较复杂，那么我们有什么方法可以降低运算量呢？
再来观察这个式子，如果我们把x+2y和x?2y都看做整体，这个式子就是形如a2b2的形式，那么逆用积的乘方公式，a2b2=(ab)
2，原式就可以转化为[(x+2y)(x?2y)]2，其中括号里面的式子满足两数和与这两数差的积的形式，利用平方差公式计算得到(x2?4y2)2，而这个式子又可以看做x2与4
y2这两数差的完全平方，利用完全平方公式计算出答案.
【答案】解：
(2)
(x+2y)2(x?2y)2
方法一：(x+2y)2(x?2y)2=(x2?4xy+4y2)(x2+4xy+4y2)
=x4?8x2y2+16y4；
方法二：(x+2y)2(x?2y)2=[(x+2y)(x?2y)]2
=(x2?4y2)2
=x4?8x2y2+16y4．
【分析】
(3)(x+y)2?
(x?y)2
这道题的形式是x+y两数和的完全平方减去x?y两数差的完全平方，我们可以通过完全平方公式对两个式子分别进行计算，从而得到(x2+2xy
+
y2)
?
(x2?2xy
+
y2)，再去括号，并且合并同类项对式子进行化简，得到结果.
当然，如果我们换个角度再观察这个式子，将x+y和x?y
分别看做整体，那么整个式子就可以看成两数的平方差，先逆用平方差公式，得到[(x+y)+(x?y)][(x+y)
?
(x?y)]，再去括号，合并同类项，对式子进行化简，得到结果.
【答案】解：
(3)(x+y)2?
(x?y)2
方法一：(x+y)2?
(x?y)2
=(x2+2xy
+
y2)
?
(x2?2xy
+
y2)
=
4xy；
方法二：(x+y)2?
(x?y)2
=［(x+y)+(x?y)］［(x+y)
?
(x?y)］
=
(x+y+x?y)(x+y?x+y)
=
2x·2y
=
4xy．
【归纳总结】
遇到一些较为复杂的整式运算的时候，可以先利用法则、运算律将式子变形成乘法公式的形式，或者可以从整体角度观察式子中是否具备正用或者逆用乘法公式的形式，以便简化运算过程.
【巩固练习】运用乘法公式计算：
（1）(2x?3y?1)(2x+3y+1);
（2）(2a+b)2?(b?2a)2．
【答案】（1）(2x?3y?1)(2x+3y+1)
=[2x?(3y+1)][2x+(3y+1)]
=(2x)2?
(3y+1)2
=4x2?(9y2+6y+1)
=4x2?9y2?6y?1；
【答案】（2）(2a+b)2?(b?2a)2
=
[(2a+b)+(b?2a)][(2a+b)?(b?2a)]
=
2b·4a
=
8ab．
【例】求代数式的值：
(1)已知a+b=2，a2-b2=6，求a-b的值.
(2)已知x?y=6，xy=?8，求x2＋y2的值.
【分析】(1)
已知a+b=2，a2-b2=6，求a-b的值.
观察题干中给出的两个代数式，其中a2-b2是两数的平方差的形式，逆用平方差公式，a2-b2
=(a+b)(a-b)，于是得到(a+b)(a-b)=6，又因为题目给出a+b=2，算出a-b=3
【答案】解：
(1)∵a2-b2=6，
∴(a+b)(a-b)=6，
又∵a+b=2，
∴a-b=3.
【分析】(2)
已知x?y=6，xy=?8，求x2＋y2的值.
已知x?y和
xy的值，求x2＋y2的值.首先，观察这三个等式的特点，发现已知的x?y=6，形式是1次的，而所求的x2+y2形式是二次的，我们考虑把1次升到2次，于是可以把x?y=6两边同时平方，得到x2?2xy+y2=36，再把xy=?8代入式子，就可以得到x2＋y2的值.
如果我们从所求入手，利用所学过完全平方公式，可以尝试将公式变形为x2+y2=（x+y）2?2xy或者x2+y2=（x?y）2+2xy表示x2+y2，而题目中已知的是x?y和xy的值，于是选择两数差的完全平方公式的变形，从而得到结果.
【答案】解：
(2)方法一：
∵x?y=6，
∴(x?y)2=36，即x2?2xy+y2=36，
又∵xy=?8，
∴x2＋y2=20.
方法二：
∵(x?y)2=x2?2xy+y2，
∴x2+y2=(x?y)2+2xy，
又∵x?y=6，xy=?8，
∴x2＋y2=62+2×(?8)=20.
【归纳总结】
1、求代数式的值这类问题，应先观察题目中代数式的形式，是否可以进行适当变形，转化成乘法公式的形式，从而灵活运用公式进行解题.
2、对于完全平方公式，常用的变形形式：
a2+b2=（a+b）2?2ab；
a2+b2=（a?b）2+2ab；
（a+b）2=（a?b）2+4ab.
也就是说，a2+b2、ab、a+b、a?b知二求二.
【巩固练习】已知(a+b)2=7，(a?b)2=3，求a2+b2的值.
【答案】∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a?b)2=a2?2ab+b2，
∴4ab=(a+b)2?(a?b)2，
又∵
(a+b)2=7，(a?b)2=3，
∴4ab=7?3=4，
∴ab=7?3=1，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2?2ab=7?2=5
.
【例】先化简，再求值:(x+3y)2?(x+3y)(x?3y)，其中x=3，y=?2.
【分析】
这道题给出了一个整式的混合运算，首先我们通过两数和的完全平方公式与平方差公式对这个式子进行化简，得到(x2+6xy+9y2)-(x2-9y2)，之后去括号，注意括号前面是负号的时候，去掉括号和负号，括号里面的项都需要变号.合并同类项，得到最简形式.最后将题目所给的x、y的数值代入化简后的式子，得到结果.
【答案】
解：(x+3y)2?(x+3y)(x?3y)=(x+3y)2-(x2-9y2)
=(x2+6xy+9y2)
-(x2-9y2)
=x2+6xy+9y2-x2+9y2
=6xy+18y2，
当x=3，y=-2时，
原式=6×3×(-2)+18×(-2)2=36.
【归纳总结】
遇到化简求值类问题，一定注意要先对代数式进行化简，再代入题目中给出的字母数值，以便简化运算难度.
2min
三、课堂小结
1、乘法公式：
（1）平方差公式：
(a+b)(a?b)=a2?b2.
（2）完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a?b)2=a2?2ab+b2.
2、完全平方公式常用变形形式：
a2+b2=(a+b)2?2ab；
a2+b2=(a?b)2+2ab；
(a+b)2=(a?b)2+4ab.
a2+b2、ab、a+b、a?b知二求二.
3、灵活运用公式
注意：找准哪个数或者式子相当于公式中的a和b.
1min
四、课后作业
1、运用乘法公式计算：
(1)
(x+3)2?
(x+1)(x?1)
；
(2)
(3x?5)2?(2x+7)2；
(3)
[(x+2)(x?2)]2；
(4)
(x+2y?3)(x?2y+3)
．
2、先化简，再求值:(2x+3y)2?(2x+y)(2x?y)，其中x=，y=
3、已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．