人教版八年级上册14.3因式分解的综合运用 教学设计

教学设计文本
课程基本信息
课题
因式分解的综合运用
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013
年6
月
教学目标
教学目标：1.掌握因式分解的思路，能够综合运用不同方法，进行多项式分解因式.
2.进一步提升学生整式的恒等变形能力.
教学重点：因式分解多种方法的综合运用.
教学难点：选择恰当方法进行因式分解，并将多项式分解因式进行彻底.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2
分钟
16分钟
3
分钟
2分钟
2分钟
问题引入
问题探究
知识拓展
归纳总结
知识提升
问题
学习了哪些多项式分解因式方法？
提公因式法，公式法
问题
学习了哪些多项式分解因式公式，它们有什么区别？
平方差公式：;
完全平方公式：.
平方差公式适合解决两项的多项式分解因式，并且能够写成两项平方的差的形式；
完全平方公式适合解决三项的多项式分解因式，并且能够写成两项平方的和，再加上或减去这两项乘积的2倍的形式.
例1选择题
(1)在下列各多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（
D
）.
分析（1）审题:不能用平方差公式
即，不可以写成两项平方的差
判断
符合；可以变形为，也符合；
也可以变形为，符合；
，不符合.故选择
(2)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（
C
）
分析(1)审题:能用完全平方公式
(2)判断:
从项数入手,排除;从符号入手,排除;从公式结构入手,排除,选择.
(3)将多项式分解因式，结果正确的是（
B
）.
分析:
=
=.
小结1:
多项式分解因式时,首先关注公因式;再关注多项式剩余部分组成的因式；多项式一定要分解到不能再分为止.
例2
分解下列因式:
(1);
(2);
(3)
;
(4).
分析(1)观察是否有公因式;提取公因式后的多项式是否可以再分解;可以使用什么方法分解
(1)
解:
=
=;
注;提取公因式，首先观察系数的最大公约数，再观察相同字母，及相同字母的最小指数.
分析(2)提取公因式后，剩余因式可以再继续分解吗？如果可以分解，需要对此多项式再做什么变形？
（2）
解:
=
=
=
=;
注:多项式按某个字母的降幂排列时，若首项含有负号,应先提取负号,再进行因式分解.
分析(3)多项式各项是否有公因式;这个三项多项式是否符合完全平方公式的形式，分解到何时结束；
(3)
解:
注:因式分解的结果中,若有相同因式,应写成幂的形式.
分析(4)此多项式各项是否有公因式;此多项式是否符合公式的形式.此多项式是否可以进行分解
(4)
解:
=
=
=
注:对于有的多项式,可以先使用整式乘法进行计算,化简后,再进行因式分解.
练习.分解下列因式
(1)
;
(2);
(3).
(1)
解：
=
=
=;
注:1)与互为“相反数”，仅相差一个负号；
2）提取公因式时，公因式需完整，此题公因式为
(2)
解:
=
=;
注:多项式分解因式一定要分解彻底,进行到每个因式不能再分为止.
(3)
解：
=
=
=;
小结2多项式分解因式的一般步骤:
提取公因式——有公因式先提取公因式;
剩余多项式——进一步观察提取公因式后,多项式剩余部分所组成的因式是否可以继续分解;
根据项数决定方法——继续分解因式时,若是两项多项式可以考虑是否使用平方差公式；若是三项多项式，可以考虑是否使用完全平方公式；
分解彻底——多项式因式分解要进行到不能再分解为止.
例3
已知是完全平方式，则=.
分析(1)多项式是完全平方式，其中含有哪两项平方的和?
=
(2)单项式可以看做什么?
=;
==;
解:
=;
;.
注(1)此题体现了灵活认识因式分解中的完全平方公式;
(2)完全平方式能写成两数的平方和,加或减这两数乘积的2倍形式，因此+m不一定是正数,故此时.
例4
在实数范围内分解因式
(1)
;
(2).
分析(1)此多项式能否写成两项平方的差;可以是哪两项平方的差
(1)
解:
=
=;
分析(2)此多项式有几项？它能怎样分解？
(2)
解:=
=.
注:本章多数情况下,多项式因式分解,在有理数范围内,若在实数范围内分解因式,会特别说明.
总结与回顾：
多项式分解因式的一般方法与步骤
多项式分解因式
提取公因式
平方差公式
完全平方公式
分解彻底
多项式分解因式的结果的一般要求
数字写在自母前;
因式之间省略乘号;
相同因式写成幂的形式;
每个因式中能合并的同类项要合并.
每一个因式分解到不能再分解为止.
观察下列式子:
;
;
;
......
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
分析:(1)观察上述等式中第一个等号左侧的式子有什么特点?
;
;
;
(2)根据上述特点,第个式子可以写成什么?
.
(3)再观察上述等式中第二个等号右侧的式子有什么特点?
;
;
;
(4)根据上述特点,第个式子可以写成什么?
.
解:由已知,可得=
证明:
法一:
;
=；即左=右.
法二:
==
课后作业
分解下列因式：
;
;
;
;
.