人教版八年级数学上册 14.3.1因式分解—提公因式法 教学设计 (1)

课程基本信息
课题
因式分解--提公因式法
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年
6
月
教学目标
教学目标：1.了解因式分解的概念，理解因式分解和整式乘法之间的互逆关系；
2.掌握提公因式法因式分解；
3.经历探索提公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
教学重点：提公因式法分解因式.
教学难点：公因式的确定及灵活运用提公因式法分解因式.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2min
10min
10min
1min
0.5min
1min
0.5min
复习引入
探究新知
例题讲解
归纳总结
课后作业
拓展提升
课后作业
一．复习引入
复习旧知：请计算下列各式：
x(x+1)=
；
(x+1)(x
–
1)=
．
思考：420能被哪些数整除？你是怎么得到的？
（在小学我们知道，要解决这个问题需要把630分解成质数乘积的形式：420=22×3×5×7，所以420能被2、3、5、7整除）
类似的，在式子的变形中，有时也需要将它们写成几个整式的乘积的形式。
二．探究新知
问题：
把下列多项式写成两个整式的乘积的形式：
＝______________；
（2）＝___________．
（1）＝x(1＋x)；
（2）＝(x－1)(x＋1)．
像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做分解因式．
问题：因式分解和我们学过的整式乘法有什么关系呢？
因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式；而整式乘法是把几个整式乘积的形式化为多项式，所以因式分解与整式乘法是相反的变形．
即：
练习：下列变形中，属于因式分解的是_________(填序号）
问题:
pa＋pb＋pc这个多项式有什么特点吗？．
（一共有三项，各项都有公共的因式p）
若各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式.
练习：说出下列多项式各项的公因式：
（1）ma
+
mb；（公因式：m）
（2）-4x－8y；（公因式：-4）
（3）5y3+20y2；（公因式：5y2）
（4）a2b－2ab2+ab．（公因式：ab）
找公因式的方法：
（1）系数的最大公约数作为公因式的系数；
（2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母次数部分．
问题：你能将这个多项式因式分解吗？分解的依据是什么？
（由，可得：，
这样就把原式分解成两个因式的乘积，分解的中逆用了分配律.）
问题：分解后的各因式与原多项式有什么关系？
（其中一个因式是各项公因式p，另一个因式是a+b+c，是
pa＋pb＋pc除以p所得的商.
一般地，如果多项式中的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解的方法叫做提公因式法.
三．例题讲解
例
把下列各式分解因式分解因式:
分析：（1）中这个多项式为两项，分别是，先找出公因式再提取公因式。先从系数入手，系数分别为8和12，它们的最大公因数为4；两项字母部分都含有字母a,b，其中a最低次数为1，b最低次数为2，因此我们选定4ab2作为要提出的公因式。提出4ab2，也就是每项都除以4ab2，剩余2a2+3bc就不再有公因式了.
（2）中共有三项，同样先从系数入手，我们发现首项系数为-6，-10和-2.
当首项系数为负数时，我们通常要提出一个负号，注意提出负号后里面各项负号都改变，这里我们提取的系数为-2，对于字母，这三项均有a，且最低次数为1，所以公因式为-2a，提出-2a后，另一个因式3a2+5a+1就不再有公因式了，注意这里的+1不要丢掉.
解：
练习：
分析：(1)中相同字母为a，相同字母的最小指数为2，所以公因式为a2，提取公因式即用原式除以公因式，得到剩余因式为a-b，故分解结果为a2(a-b)；(2)中首项系数为负，可以先提取一个负号，再提取括号内的公因式为6b，得到分解因式的结果为，当然也可以直接提取公因式；(3)中有三项，其中数字最大公因数为5，相同字母为x，y且最低次数均为1，所以公因式为5xy，提出公因式后得；(4)中公因式为ab，提出公因式后得，提取公因式后，最后一项+1不要忘记写.
解：
例2:把下列各式分解因式
分析：（1）中我们先来观察数字系数和字母，显然这里没有公因式。然而我们发现这两项中均有(b+c)，那么(b+c)可以看成一个整体，即为两项中的公因式，可以直接提出.
同样，（2）中有两项，数字和字母都没有公因式，而我们观察到这两项中都含有多项式，其中b-3a和3a-b是互为相反数的关系。这二者有特殊的关系，我们可以将其中一者稍加变形，即可提出公因式。不妨我们可以调整第一项，我们知道若两个数互为相反数，则他们的平方是相等的。所以我们把(b-3a)2替换成(3a-b)2，这样原始就变为(3a-b)2-2(3a-b)，即可提出公因式3a-b，另一个因式为3a-b-2.
当然，将第二项变形也可以，可将-2(3a-b)提出一个负号，变为2(b-3a)，这样即可提出公因式b-3a，另一个因式为b-3a+2.
解：
小结：1.提公因式方法：一找，找公因式，即依次找系数的最大公约数、
相同字母及相同字母最小指数；
二提，提出公因式，用原式除以公因式得剩余
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
2.提公因式需注意：
（1）首项系数为负数，要提出“-”号
（2）某一项被整体提出后，剩余的项为1
（3）各项有互为相反数的多项式，可把原式适当变形后提出公因式
练习：下列因式分解正确的是（
C
）
分析：A选项中的公因式为a-b，提出公因式后应剩下m+n，结果应为(a+b)(m+n)，故A错；B选项中的x-y和y-x是互为相反数，可将原式的第二项-n(y-x)提出一个负号，转化成n(x-y)，则原式可提出公因式x-y，结果应为(x-y)(m+n)故B错；C选项中的公因式为mn，提出后结果应为mn(x+y+1)，故C正确；D选项中的公因式为x-y，注意第一项提出x-y后，剩下3(x-y)所以提出后结果应为(x-y)[3(x-y)+2]，化简为(x-y)(3x-3y+2).
例3:用简便方法计算
分析：利用提取公因式的想法，可提出次数最低的28，后剩余的因式为22-21-20，这项可以算出，从而得到结果.
解：
练习：分解因式
分析：多项式中共有三项，字母次数最低的为an作为公因式，提走an后，第一项剩余1，第二项根据幂的乘方运算，提走an相当于除以an，剩余的是-a2n；第三项根据同底数幂的运算，剩余的是a2，故分解因式为an(1-a2n+a2).
解：
四．归纳总结
1.因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形
叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式.
注：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
2.公因式：多项式中各项都有的公共因式，叫做多项式各项的公因式.
3.因式分解的方法--提公因式法
如果多项式的各项中有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式和另外一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
五．拓展提升
计算：
解：
六．课后作业
1.把下列各式分解因式：
2.先分解因式，再求值
3.计算