九年级数学下册知识讲义-28锐角三角函数（附练习及答案）-人教版

初中数学
锐角三角函数
学习目标
一、考点突破
1.
初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中，一个锐角固定时它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都是定值，两条直角边的比值也是定值。
2.
探究一个锐角三角形中三边比值的规律，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，了解同一个锐角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3.
探索直角三角形中三边的数量关系，进一步领会数形结合的思想方法。
二、重难点提示
重点：三个锐角三角函数的意义，以及它们之间的几个简单关系。
难点：运用锐角三角函数的概念进行有关计算，根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间的几个简单关系。
考点精讲
一、三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记做sinA，即sinA＝。把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记做cosA，即cosA＝。把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记做tanA，即tanA＝。
对于锐角A的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数。同样地，cosA，tanA也是∠A的函数。
易错点：
（1）三角函数是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，是数值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关。
（2）在表示三角函数时，三角函数的名称和角的名称是一个完整的符号，如tanA，记号里省去了“∠”，当用三个大写字母表示一个角时，“∠”不能省略，如tan∠ABC。
二、三角函数间的关系
（1）互余两角的正弦和余弦之间的关系：sinA＝cosB，sinB＝cosA；
（2）同角间的正弦和余弦之间的关系：sin2A＋cos2A＝1；
（3）正切与正弦、余弦间的关系：tanA＝，tanB＝＝，tanA·tanB＝1。
【重要提示】
注意互余两角的正弦和余弦之间的关系，适用于两角互为余角的情况，它们不一定是同一直角三角形的两个锐角。
典例精讲
例题1
a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝1：：，则cosB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路分析：先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函数的定义求解。
答案：∵a：b：c＝1：：，∴b＝，c＝，∴a2＋b2＝a2＋（）2＝3a2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴cosB＝，故选B。
技巧点拨：本题考查了勾股定理的逆定理和余弦函数的定义，注意三角函数值是直角三角形中两边的比值，确定直角三角形是一个必要条件。
例题2
如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）线段CD的长为__________；
（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是__________，则它所对应的正弦函数值是__________；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是__________。
思路分析：（1）画AD∥BC时注意点D在格点上；第（2）题根据勾股定理可求；第（3）题可选择∠CAD或∠ADC。
答案：（1）如图所示：
（2）；
（3）∠CAD，sin∠CAD＝（或∠ADC，sin∠ADC＝）
根据题意可得AB＝，BC＝5，AC＝2，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，
由作图可知四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝∠ACB，∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，sin∠ACB＝＝，sin∠ABC＝，
∴sin∠CAD＝，sin∠ADC＝；
（4）∵点E是BC中点，∴AE＝BE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，
∴tan∠CAE＝tan∠ACE＝＝。
技巧点拨：解决与网格有关的问题时有一个便利条件，那就是可以利用网格及勾股定理求线段的长度。本题正是利用网格的这一特性和平行四边形的性质、直角三角形的性质将三角函数转化为求网格中线段的长度。
例题3
如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点。
（1）求证：∠CED＝∠DAG；
（2）若BE＝1，AG＝4，求sin∠AEB的值。
思路分析：（1）根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CED＝∠ADE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG＝DG，然后根据等边对等角求出∠DAG＝∠ADE，从而得证；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AGE＝∠ADG＋∠DAG＝2∠DAG，然后求出∠AED＝∠AGE，根据等角对等边可得AE＝AG，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解。
答案：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠CED＝∠ADE，
又∵点G是DF的中点，∴AG＝DG，∴∠DAG＝∠ADE，∴∠CED＝∠DAG；
（2）在△ADG中，∠AGE＝∠ADG＋∠DAG＝2∠DAG，又∵∠AED＝2∠CED，∴∠AED＝∠AGE，∴AE＝AG，∵AG＝4，∴AE＝4，在Rt△AEB中，由勾股定理AB＝，∴sin∠AEB＝。
技巧点拨：本题是一道综合题，主要考查三角函数的定义，这类问题一般要求出能表示三角函数值的线段的长度，求线段的长度可综合的知识点就非常多了，本题涉及到矩形的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质等。
提分宝典
【高频疑点】
锐角的三角函数值是一个比值，比如sinA＝，是指∠A的对边和斜边的比是2∶3，而不是说∠A的对边是2，斜边是3。
矫正训练：已知在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求sinA的值。
错解：由三角函数定义，得a＝5，b＝12，∴c＝＝13，∴sinA＝。
错因：这里tanA＝，并非就是a＝5，b＝12。
正解：本题可由tanA＝设a＝5k，b＝12k（k＞0），则c＝13k，∴sinA＝＝。
【技巧突破】
（1）在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1；
（2）在锐角三角函数中，∠A是自变量，其取值范围是0°＜A＜90°：
当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；
当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应。
同步练习
（答题时间：15分钟）
1.
在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正切值（
）
A.
没变化
B.
扩大2倍
C.
缩小2倍
D.
不能确定
2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是（
）
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
3
4.
如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为__________。
6.
已知∠A为锐角且7sin2A－5sinA＋cos2A＝0，则tanA＝__________。
7.
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3b，求∠B的各三角函数值。
8.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）。
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值。
答案
1.
A
解析：不要误认为随着直角三角形各边长都扩大2倍，锐角三角函数值也扩大2倍，事实上，锐角三角函数值只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在直角三角形的大小无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也分别确定。
2.
D
解析：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，则sinA＝，故选D。
3.
C
解析：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB＝3，OB＝t，又∵tanα＝，∴t＝2。
4.
D
解析：作AC⊥OB于点C，则AC＝，AO＝＝，OC＝，∴AC2＋OC2＝AO2，即△AOC是直角三角形，则sin∠AOB＝，故选D。
5.
解析：∵sin2A＋cos2A＝1，即sin2A＋（）2＝1，∴sin2A＝，∴sinA＝或－（舍去），∴sinA＝。
6.或
解析：∵7sin2A－5sinA＋cos2A＝0，sin2A＋cos2A＝1，∵7sin2A－5sinA＋1－sin2A＝0，∴6sin2A－5sinA＋1＝0，∴sinA＝或sinA＝，∴cosA＝＝，cosA＝＝，∴tanA＝＝，tanA＝＝。
7.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3b，则c＝，∴sinB＝；cosB＝；tanB＝。
8.
解：（1）∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝EF，在Rt△ACE与Rt△AFE中，，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；
（2）由（1）可知△ACE≌△AFE，∴AC＝AF，CE＝EF，设BF＝m，则AC＝2m，AF＝2m，AB＝3m，∴BC＝＝＝。∴在Rt△ABC中，tan∠B＝，在Rt△EFB中，EF＝BF·tan∠B＝，∴CE＝EF＝，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝。