江西省奉新县第一中学2021届高三上学期第五次月考数学（理）试题 Word版含答案

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奉新一中2021届高三上学期第五次月考
数 学 （理） 试 卷 2020.12.30
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，集合，求（ ）
A． B． C． D．
2.复数z在复平面内对应点的点是，则复数（i是虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.8
4.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是( )
A． B．或 C． D．以上都不对
5.在中，若，则满足(　　)
A． B． C． D．
6.下列叙述不正确的是（ ）
A. “”是“与垂直”的充分不必要条件
B. 函数的最小值
C. 若命题，则
D. 命题：，，则是真命题
7．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8.函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确
是（ ）
A．
B．为函数的对称轴
C．向左移后的函数为偶函数
D．函数的单调递减区间为
9.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的
一个交点，若， 则（ ）
A．3 B． C． D．或
11.矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E为CD中点，沿AE把△ADE折起，点D到达点P，使得平面PAE⊥平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数在上存在导数，对，，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.已知离心率为2的双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,则=____________ .
14.已知数列的前n项和为，，且满足，若，，则的最小值为.
15．已知x，y满足约束条件且z＝ax－by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则 的最小值为__________．
16．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，cos∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为 。
三、解答题（本题共6道小题, 共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求.
18．（本小题12分）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，
（1）求角A的大小；
（2）若，，的平分线交边于点T，求的长.
19.（本小题12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值．
20.（本小题12分）如图，在四棱锥中，面．，四
边形满足，，，点为中点，点为边上的动点
（1）求证：平面．
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不
存在，说明理由．
21.（本小题12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点．
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，．证明：存在定点，使得为定值．
22.（本小题12分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）为自然对数的底数，若时，恒成立，证明：.
奉新一中2021届高三上学期第五次月考数学（理）答案：
选择题：
CBABD BACAB DD
填空题：
13、 14、 15、 16、4：29
三、解答题：
17．解：（1）设双曲线方程为：，将点的坐标代入双曲线的方程得
所以所求双曲线方程为；
（2）易知双曲线右焦点的坐标为，设点、，
直线的方程为，联立，可得，
，由韦达定理可得，.
因此，.
18．解：（1），即为，
可得，解得或（舍去） ，
由，可得；
（2），即为，可得，
由，
可得，
由得，
19.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则 ……………2分
解得，， ……………4分
所以，． ……………6分
（2）由（1）得，故，……………7分
当为奇数时，，随的增大而减小，所以；…………8分
当为偶数时，，随的增大而增大，所以，…………9分
令，，则，故在时是增函数．
故当为奇数时，； ……………10分
当为偶数时，， ……………11分
综上所述，的最大值是，最小值是． ……………12分
20 解：（Ⅰ）因为平面，所以，，又，
所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．
则，，，，点为中点，，故，
又，，所以
所以，，为共面向量，所以平面．
（Ⅱ）设，
依题意可知平面的法向量为，，
设平面的法向量为，则，令，则．
因为二面角的余弦值为，
所以，即，解得或．
所以存在点符合题意，当或时，二面角的余弦值为．
21.解：（1）由题意知：，，由椭圆定义知，所以
设椭圆的半焦距为，所以 ，所以
所以椭圆的标准方程为：
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，
将带入得：
所以
又因为，得
点到直线的距离
所以
等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为
（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，
由（ⅰ）知：
所以
所以
解得，，直线过定点或
所以在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于
所以存在定点或，使得为定值
22.（12分）
解：（1） 1分
当时，
，且在上单调递增， 2分
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增. 3分
∴当时，的递减区间为，递增区间为. 4分
在上单调递增，
∵
，，
∴存在唯一的，使，即，得. 6分
而且，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴的唯一极小值即的最小值
7分
∵恒成立，
∴，得， 8分
∴，
设 9分
10分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴极小值
即. 12分