八年级上册数学人教版知识要点汇总
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文档简介
第十一章
三角形
1.
三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点
是三角形的顶点。
三角形
ABC
用符号表示为△ABC.三角形
ABC
的顶点
C
所对的边
AB
可用
c
表示,顶点
B
所对的边
AC
可用
b
表示,顶点
A
所对的边
BC
可用
a
表示.
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC
是三角形
ABC
的符号标记，单独的△没有意义．
2、（1）三角形按边分类：
(
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)
(
第
10
页
)
三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形
不等边三角形
（2）三角形按角分类：
直角三角形
三角形
3、三角形的三边关系
斜三角形
锐角三角形钝角三角形
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差小于第三边。
注意：
（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；
（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．
4、和三角形有关的线段：
A
三角形的中线
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段
B
D
C
表示法：1、AD
是△ABC
的
BC
上的中线.
2、BD=DC=0.5BC.
3、AD
是?ABC
的中线；
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；
A
(
2
1
)③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
B
D
C
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。
表示法：1、AD
是△ABC
的∠BAC
的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC.
3、AD
平分?BAC，交
BC
于
D
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
A
三角形的高
三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,
表示法：1、AD
是△ABC
的
BC
上的高。
2、AD⊥BC
于
D。3、∠ADB=∠ADC=90°。
4、AD
是△ABC
的高。
B
D
C
注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．（而．锐．三．角．形．的．三．条．高．的．交．点．在．三．角．形．的．内．部．，．直．角．三．角．形．三．条．高．的．交．
战．在．角．直．角．顶．点．，．钝．角．三．角．形．的．三．条．高．的．交．点．在．三．角．形．的．外．部．。．）．
4、三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于
180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形内角外角的关系：
三角形三个内角的和等于
180?;
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
6、三角形的外角的定义：
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD、∠BCE
都是△ABC
的外角，且∠ACD=∠BCE，
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
7.
三角形外角的性质
(
1
2
)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
A
M
三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
B
C
D
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作
CM∥AB
由于
B、C、D
共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即
∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。
8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形内角和公式：n
边形的内角和等于（n-2）·180°
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的外角和：多边形的内角和为
360°。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
多边形对角线的条数：
（1）从
n
边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n
边形共有
n(n
-
3)
条对角线。
2
（2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
9、．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。
第十二章
全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
：全等三角形的周长相等、面积相等。
：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路：
二、角的平分线：
1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
：时刻注意图形中的隐含条件，如
“公共角”
、“公共边”、“对顶角”
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合
的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端
点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形
ABC
全等于三角形
DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有
HL
定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
对称变换：将图形沿某直线翻折
180°，这种变换叫做对称变换。
旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
第十二章
轴对称
一、轴对称图形
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于
x
轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于
y
轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x,
y）关于
x
轴对称的点的坐标为
.
点（x,
y）关于
y
轴对称的点的坐标为
.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
600
。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是
600
的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于
300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论
1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论
2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于
60°。
等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于
45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
b
③等腰三角形的三边关系：设腰长为
a，底边长为
b，则
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—
2∠B，∠B=
∠
180?
?
?A
C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理
常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论
1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论
2：有一个角是
60°的等腰三角形是等边三角形。
推论
3：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质
等腰三角形判定
中线
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；
2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条
边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；
2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；
2、三角形中两个角的平分线相等，那么
这个三角形是等腰三角形。
高线
1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；
2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；
2、有两条高相等的三角形是等腰三角
形。
角
等边对等角
等角对等边
边
底的一半<腰长<周长的一半
两边相等的三角形是等腰三角形
4、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论
1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论
2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论
4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论
5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第十四章
整式乘除与因式分解
一．回顾知识点
1、主要知识回顾：
幂的运算性质：
am?an＝am＋n
（m、n
为正整数）
(
?
?
a
)同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
m
n
＝
amn
（m、n
为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
?ab
?n
?
an
bn
（n
为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
am
?
an
＝
am－n
（a≠0，m、n
都是正整数，且
m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的概念：
a0＝1
（a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于
l．
负指数幂的概念：
a－p＝
ap
（a≠0，p
是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p
是正整数）指数幂，等于这个数的
p
指数幂的倒数．
?
?
?
?
?
也可表示为：
?
m
?
?
n
?
（m≠0，n≠0，p
为正整数）
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数
作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为
商的一个因式．
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
2
倍．
3、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
因式分解必须是恒等变形；
因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
掌握提公因式法的概念；
提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式：
a2－b2＝
（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
3.十字相乘法
第十五章
分式
知识点一：分式的定义
一般地，如果
A，B
表示两个整数，并且
B
中含有字母，那么式子
B
叫做分式，A
为分子，B
为分母。
知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为
0（
B
?
0
）
②分式无意义：分母为
0（
B
?
0
）
?B
?
0
③分式值为
0：分子为
0
且分母不为
0（
?
）
?B
?
0
?B
?
0
④分式值为正或大于
0：分子分母同号（
?
(
B
?
0
)?
⑤分式值为负或小于
0：分子分母异号（
?
或?
）
(
或
?
)
(
）
)?B
?
0
⑥分式值为
1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于
0
的整式，分式的值不变。
?
字母表示：
B
?
B
?
C
，
B
B
?
C
，其中
A、B、C
是整式，C
?
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
(
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)
(
第12页
)
B
?
?
B
?
?
B
?
?
?
B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C
?
0
这个限制条件和隐含条件
B
?
0。知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同
因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分
①
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分
式的通分。
②
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ
取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ
单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ
相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ
保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①
分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
b
?
d
?
b
?
d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
?
?
?
d
b
c
?
b
?
c
②
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
?
?
?
b
bn
?
?
③
分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
?
?
c
c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
?
?
b
d
bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为
1
的分式，再通分。
④
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质
量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无
错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点六整数指数幂
①
引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂
(
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)
(
第
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页
)
一样适用。即
★
a
m
?
an
?
am?n
?a
m
?n
?
a
mn
(
★
)
(
★
)?ab?n
?
a
nbn
★
a
m
?
an
?
am?n
（
a
?
0
）
?
?
?
n
a
?n
?
★
?
b
?
b
★
a
n
（
a
?
0
）
★
a
0
?
1
（
a
?
0
）
（任何不等于零的数的零次幂都等于
1）
其中
m，n
均为整数。
科学记数法
若一个数
x
是
0的数，则可以表示为a
?10n
（1
?
a
?
10
，即
a
的整数部分只有一位，n
为整数）的形式，
n
的确定
n=从左边第一个
0
起到第一个不为
0
的数为止所有的
0
的个数的相反数。如
0.000000125=1.25
?10-7
7
个
0
若一个数
x
是
x>10
的数则可以表示为a
?10n
（1
?
a
?
10
，即
a
的整数部分只有一位，n
为整数）的形式，n
的确定
n=比整数部分的数位的个数少
1。如
120
000
000=1.2
?108
9
个数字
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为
0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为
0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为
0。知识点八列分式方程
基本步骤
①
审—仔细审题，找出等量关系。
②
设—合理设未知数。
③
列—根据等量关系列出方程（组）。
④
解—解出方程（组）。注意检验
⑤
答—答题。
(
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(
第
14
页
)
三角形
1.
三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点
是三角形的顶点。
三角形
ABC
用符号表示为△ABC.三角形
ABC
的顶点
C
所对的边
AB
可用
c
表示,顶点
B
所对的边
AC
可用
b
表示,顶点
A
所对的边
BC
可用
a
表示.
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC
是三角形
ABC
的符号标记，单独的△没有意义．
2、（1）三角形按边分类：
(
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(
第
10
页
)
三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形
不等边三角形
（2）三角形按角分类：
直角三角形
三角形
3、三角形的三边关系
斜三角形
锐角三角形钝角三角形
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差小于第三边。
注意：
（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；
（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．
4、和三角形有关的线段：
A
三角形的中线
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段
B
D
C
表示法：1、AD
是△ABC
的
BC
上的中线.
2、BD=DC=0.5BC.
3、AD
是?ABC
的中线；
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；
A
(
2
1
)③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
B
D
C
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。
表示法：1、AD
是△ABC
的∠BAC
的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC.
3、AD
平分?BAC，交
BC
于
D
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
A
三角形的高
三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,
表示法：1、AD
是△ABC
的
BC
上的高。
2、AD⊥BC
于
D。3、∠ADB=∠ADC=90°。
4、AD
是△ABC
的高。
B
D
C
注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．（而．锐．三．角．形．的．三．条．高．的．交．点．在．三．角．形．的．内．部．，．直．角．三．角．形．三．条．高．的．交．
战．在．角．直．角．顶．点．，．钝．角．三．角．形．的．三．条．高．的．交．点．在．三．角．形．的．外．部．。．）．
4、三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于
180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形内角外角的关系：
三角形三个内角的和等于
180?;
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
6、三角形的外角的定义：
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD、∠BCE
都是△ABC
的外角，且∠ACD=∠BCE，
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
7.
三角形外角的性质
(
1
2
)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
A
M
三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
B
C
D
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作
CM∥AB
由于
B、C、D
共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即
∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。
8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形内角和公式：n
边形的内角和等于（n-2）·180°
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的外角和：多边形的内角和为
360°。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
多边形对角线的条数：
（1）从
n
边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n
边形共有
n(n
-
3)
条对角线。
2
（2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
9、．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。
第十二章
全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
：全等三角形的周长相等、面积相等。
：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路：
二、角的平分线：
1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
：时刻注意图形中的隐含条件，如
“公共角”
、“公共边”、“对顶角”
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合
的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端
点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形
ABC
全等于三角形
DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有
HL
定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
对称变换：将图形沿某直线翻折
180°，这种变换叫做对称变换。
旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
第十二章
轴对称
一、轴对称图形
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于
x
轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于
y
轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x,
y）关于
x
轴对称的点的坐标为
.
点（x,
y）关于
y
轴对称的点的坐标为
.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
600
。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是
600
的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于
300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论
1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论
2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于
60°。
等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于
45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
b
③等腰三角形的三边关系：设腰长为
a，底边长为
b，则
2∠B，∠B=
∠
180?
?
?A
C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理
常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论
1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论
2：有一个角是
60°的等腰三角形是等边三角形。
推论
3：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质
等腰三角形判定
中线
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；
2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条
边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；
2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；
2、三角形中两个角的平分线相等，那么
这个三角形是等腰三角形。
高线
1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；
2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；
2、有两条高相等的三角形是等腰三角
形。
角
等边对等角
等角对等边
边
底的一半<腰长<周长的一半
两边相等的三角形是等腰三角形
4、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论
1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论
2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论
4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论
5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第十四章
整式乘除与因式分解
一．回顾知识点
1、主要知识回顾：
幂的运算性质：
am?an＝am＋n
（m、n
为正整数）
(
?
?
a
)同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
m
n
＝
amn
（m、n
为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
?ab
?n
?
an
bn
（n
为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
am
?
an
＝
am－n
（a≠0，m、n
都是正整数，且
m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的概念：
a0＝1
（a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于
l．
负指数幂的概念：
a－p＝
ap
（a≠0，p
是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p
是正整数）指数幂，等于这个数的
p
指数幂的倒数．
?
?
?
?
?
也可表示为：
?
m
?
?
n
?
（m≠0，n≠0，p
为正整数）
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数
作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为
商的一个因式．
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
2
倍．
3、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
因式分解必须是恒等变形；
因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
掌握提公因式法的概念；
提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式：
a2－b2＝
（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
3.十字相乘法
第十五章
分式
知识点一：分式的定义
一般地，如果
A，B
表示两个整数，并且
B
中含有字母，那么式子
B
叫做分式，A
为分子，B
为分母。
知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为
0（
B
?
0
）
②分式无意义：分母为
0（
B
?
0
）
?B
?
0
③分式值为
0：分子为
0
且分母不为
0（
?
）
?B
?
0
?B
?
0
④分式值为正或大于
0：分子分母同号（
?
(
B
?
0
)?
⑤分式值为负或小于
0：分子分母异号（
?
或?
）
(
或
?
)
(
）
)?B
?
0
⑥分式值为
1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于
0
的整式，分式的值不变。
?
字母表示：
B
?
B
?
C
，
B
B
?
C
，其中
A、B、C
是整式，C
?
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
(
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(
第12页
)
B
?
?
B
?
?
B
?
?
?
B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C
?
0
这个限制条件和隐含条件
B
?
0。知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同
因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分
①
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分
式的通分。
②
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ
取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ
单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ
相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ
保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①
分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
b
?
d
?
b
?
d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
?
?
?
d
b
c
?
b
?
c
②
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
?
?
?
b
bn
?
?
③
分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
?
?
c
c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
?
?
b
d
bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为
1
的分式，再通分。
④
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质
量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无
错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点六整数指数幂
①
引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂
(
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)
(
第
13
页
)
一样适用。即
★
a
m
?
an
?
am?n
?a
m
?n
?
a
mn
(
★
)
(
★
)?ab?n
?
a
nbn
★
a
m
?
an
?
am?n
（
a
?
0
）
?
?
?
n
a
?n
?
★
?
b
?
b
★
a
n
（
a
?
0
）
★
a
0
?
1
（
a
?
0
）
（任何不等于零的数的零次幂都等于
1）
其中
m，n
均为整数。
科学记数法
若一个数
x
是
0
?10n
（1
?
a
?
10
，即
a
的整数部分只有一位，n
为整数）的形式，
n
的确定
n=从左边第一个
0
起到第一个不为
0
的数为止所有的
0
的个数的相反数。如
0.000000125=1.25
?10-7
7
个
0
若一个数
x
是
x>10
的数则可以表示为a
?10n
（1
?
a
?
10
，即
a
的整数部分只有一位，n
为整数）的形式，n
的确定
n=比整数部分的数位的个数少
1。如
120
000
000=1.2
?108
9
个数字
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为
0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为
0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为
0。知识点八列分式方程
基本步骤
①
审—仔细审题，找出等量关系。
②
设—合理设未知数。
③
列—根据等量关系列出方程（组）。
④
解—解出方程（组）。注意检验
⑤
答—答题。
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