2016年安徽师大附中高中自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（8分）设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）
A．M＝P
B．M＞P
C．M＜P
D．不能确定
2．（8分）已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，则函数y＝ax+b与y＝同一坐标系中的图象一定不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（8分）如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA＝DC，∠BCO＝15°，则∠AOC等于（ ）
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
4．（8分）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则b+a的值为（ ）
A．﹣23
B．23
C．13
D．﹣13
5．（8分）如果二次方程x2﹣px﹣q＝0（其中p，q均是大于0的整数）的正根小于3，那么这样的二次方程有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
6．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共48分）
7．若函数f（x）＝定义域为一切实数，则实数k的取值范围为
．
8．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是
．
9．已知a、b、x、y都为实数，且y+|﹣2|＝1﹣a2，|x﹣4|＝3y﹣3﹣b2．则a+b+x+y的值为
．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边外的一点，满足：CE∥BD，BE＝BD，则CE＝
．
11．实数x，y，z满足x+y+z＝5，xy+yz+zx＝3，则z的最大值是
．
12．如图，已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2，⊙O2经过点O1，且两圆相交于点A、B，C为⊙O2上的点，连接AC交⊙O1于点D，再连接BC、BD、AO1、AO2、O1O2有如下四个结论：①∠BDC＝∠AO1O2；②＝③AD＝DC④BC＝DC，其中正确结论的序号为
．
三．解答题（本题共3小题，每小题16分，共54分）答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（16分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.3]＝4，[﹣4，3]＝﹣5．化简：++…+（结果用n表示，其中n是大于0的整数）．
14．（18分）如图，在梯形PMNQ中，PQ∥MN，对角线PN和MQ相交于点O，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．试判断S1+S2和S3+S4的大小关系，并证明你的结论．
15．（18分）如图，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为
；用含t的式子表示点P的坐标为
；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
第4页（共4页）2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）
一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）化简，结果是（ ）
A．6x﹣6
B．﹣6x+6
C．﹣4
D．4
2．（5分）方程3x2+y2＝3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（5分）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（ ）
A．弘
B．德
C．尚
D．学
二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）
4．（5分）若p和q为质数，且5p+3q＝91，则p＝
，q＝
．
5．（5分）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为
．
6．（5分）直线y＝m与函数y＝x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为
．
7．（5分）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有
种不同的涂色方法．
8．（5分）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是
．
9．（5分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是
．
10．（5分）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是
．
11．（5分）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是
．
三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
12．（12分）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．
（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．
加分
人数
10
30
20
90
30
150
60
30
小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？
（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．
（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？
（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？
13．（16分）如图，直线OB是一次函数y＝2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．
14．（14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN＝CN．
15．（18分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往
A，B两地区收割水稻，其中30台派往
A地区，20台派往
B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
（1）设派往
A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；
（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
第4页（共4页）2016年江西省南昌市传媒职业学院高考数学单招试卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（ ）
A．?
B．[﹣1，+∞）
C．[﹣1，]
D．[，+∞）
2．（5分）命题“?x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．（5分）已知0＜a＜1，函数f（x）＝ax﹣|logax|的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2或3或4
4．（5分）设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（ ）
A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
6．（5分）已知曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为（ ）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣2
7．（5分）函数f（x）＝ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积是（ ）
A．2ln2
B．
C．
D．
9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
10．（5分）对任意的实数a、b，记．若F（x）＝max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y＝f（x）在x＝l时有极小值﹣2，y＝g（x）是正比例函数，函数y＝f（x）（x≥0）与函数y＝g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y＝F（x）的说法中，正确的是（ ）
A．y＝F（x）为奇函数
B．y＝F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）
C．y＝F（x）在（﹣3，0）上为增函数
D．y＝F（x）的最小值为﹣2且最大值为2
11．（5分）如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x＝t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s＝f（t）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间E，如果存在x0∈E，使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，则我们称函数f（x）与g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（ ）
A．f（x）＝x2．g（x）＝2x﹣3
B．（x）＝，g（x）＝x+2
C．f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣
D．f（x）＝lnx，g（x）＝x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．
13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m＝
．
14．（5分）若函数f（x）＝alog2x+blog3x+2，且，则f（2012）的值为
．
15．（5分）已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是
．
16．（5分）已知函数，若对?x1∈[﹣1，3]，?x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
18．（12分）求抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的平面图形的面积．
19．（12分）已知f（x）＝x2+2（a﹣2）x+4，
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）若f（x）对一切实数x都有f（x+8）＝﹣f（﹣2﹣x），且x＞3时，f（x）＝x2﹣7x+4．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）若，当x＜3时，求h（x）的单调递增区间．
21．（12分）已知函数．
（1）设两曲线y＝f（x）与y＝g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）＝f（x）+g（x）﹣（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知a∈R，函数，g（x）＝（lnx﹣1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
第4页（共4页）2016年江西省南昌市服装学院高考数学单招试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
2．（5分）定义运算＝ad﹣bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞8
B．0＜x0≤1或x0＞8
C．0＜x0＜8
D．﹣1＜x0＜0或0＜x0＜8
4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：
①m′⊥n′?m⊥n；
②m⊥n?m′⊥n′；
③m′与n′相交?m与n相交或重合；
④m′与n′平行?m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂．
A．55986
B．46656
C．216
D．36
6．（5分）已知正整数a，b满足4a+b＝30，使得+取最小值时，则实数对（a，b）是（ ）
A．（5，10）
B．（6，6）
C．（10，5）
D．（7，2）
7．（5分）?cos10°+sin10°tan70°﹣2cos40°＝（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）
A．0.6小时
B．0.9小时
C．1.0小时
D．1.5小时
9．（5分）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）计算的结果是（ ）
A．4π
B．2π
C．π
D．
11．（5分）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为（ ）
A．π
B．2π
C．π
D．π
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．
13．（5分）实数x、y满足不等式组，则m＝的取值范围为
．
14．（5分）如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于
15．（5分）对正整数n，设抛物线y2＝2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于An，Bn两点，则数列的前n项和公式是
．
16．（5分）对下面四个命题：
①若A、B、U为集合，A?U，B?U，A∩B＝A，则?UA??UB；
②二项式（2x﹣）6的展开式中，其常数项是240；
③对直线l、m，平面α、β，若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
④函数y＝（x+1）2+1，（x≥0）与函数y＝﹣1+，（x≥1）互为反函数．
其中正确命题的序号是
．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（12分）已知O为坐标原点，＝（2asin2x，a），＝（1，﹣2sinxcosx+1），（a＜b且a≠0）．
（1）求y＝f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的定义域为，值域[2，5]，求a，b的值．
18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3．点E在棱PA上，且PE＝2EA．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；
（Ⅱ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．（用反三角函数表示）．
19．（12分）当n为正整数时，区间In＝（n，n+1），an表示函数f（x）＝x3﹣x在In上函数值取整数值的个数，当n＞1时，记bn＝an﹣an﹣1．当x＞0，g（x）表示把x“四舍五入”到个位的近似值，如g（0.48）＝0，g（）＝1，g（2.76）＝3，g（4）＝4，…，当n为正整数时，cn表示满足g（）＝n的正整数k的个数．
（Ⅰ）求b2，c2；
（Ⅱ）
求证：n＞1时，bn＝cn；
（Ⅲ）当n为正整数时，集合Mn＝{|g（）＝n，k∈N+}中所有元素之和为Sn，记Tn＝（2n+2﹣n）Sn，求证：T1+T2+T3+…+Tn＜3．
20．（12分）设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅲ）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且?＝0．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（ex+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）＝λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程＝x2﹣2ex+m的根的个数．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．
求证：（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE?DC＝AE?BD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．设过原点O的直线与圆C：（x﹣1）2+y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
[选修4-5：不等式选讲]
24．解不等式|x2﹣3x﹣4|＞x+1．
第6页（共6页）2016年江西省南昌市工程职业学院高考数学单招试卷
一、选择题（每小题5分，计40分）
1．（5分）“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（5分）函数y＝loga（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）＝24，则其前13项和为（ ）
A．13
B．26
C．52
D．156
4．（5分）若x∈（e﹣1，1），a＝lnx，，c＝elnx，则（ ）
A．b＞c＞a
B．c＞b＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c
5．（5分）数列{an}中，a1＝2，an+1+an＝1，n∈N
，设Sn为前n项和，则S2011等于（ ）
A．1005
B．1006
C．1007
D．1008
6．（5分）曲线f（x）＝xlnx的最小值为（ ）
A．
B．e
C．﹣e
D．
7．（5分）已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y＝ln（x+2）﹣x，当x＝b时取到极大值c，则ad等于（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
8．（5分）命题“?x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
二、填空题：（每空5分，计30分）
9．（5分）在等比数列{an}中，首项，a4＝（1+2x）dx，则公比为
．
10．（5分）＝
；点（x，y）是函数y＝图象在第一象限的点，则x+y的最小值为
．
11．（5分）已知数列{an}中，，则an＝
．
12．（5分）定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）＝x，h（x）＝ln（x+1），φ（x）＝cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是
．
13．（5分）设，则f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值是
．
14．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为
．
三、解答题
15．（10分）已知数列{an}满足递推关系式an＝2an﹣1+1，（n≥2）其中a4＝15
（1）求a1，a2，a3
（2）求数列{an}的通项公式
（3）求数列{an}的前n项和S．
16．（10分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3+b5＝21，a5+b3＝13．
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
17．（15分）数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N
，总有成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（15分）已知f（x）＝x3+ax2+bx+c，在x＝1与x＝﹣2时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[﹣3，2]都有f（x）＞恒成立，求c的取值范围．
19．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
20．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣k）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．
第3页（共3页）2016年江西省南昌市工商职业技术学院高考数学单招试卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（ ）
A．?
B．[﹣1，+∞）
C．[﹣1，]
D．[，+∞）
2．（5分）命题“?x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．（5分）已知0＜a＜1，函数f（x）＝ax﹣|logax|的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2或3或4
4．（5分）设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（ ）
A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
6．（5分）已知曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为（ ）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣2
7．（5分）函数f（x）＝ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．y＝|x|+|x﹣1|与y＝2x﹣1
9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝1﹣2﹣x，则不等式f（x）的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（﹣∞，﹣1）
C．[1，+∞）
D．（1，+∞）
11．（5分）如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x＝t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s＝f（t）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间E，如果存在x0∈E，使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，则我们称函数f（x）与g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（ ）
A．f（x）＝x2．g（x）＝2x﹣3
B．（x）＝，g（x）＝x+2
C．f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣
D．f（x）＝lnx，g（x）＝x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．
13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m＝
．
14．（5分）若函数f（x）对任意实数x恒有2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1，则f（x）＝
．
15．（5分）若函数f（x）＝alog2x+blog3x+2，且，则f（2012）的值为
．
16．（5分）已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
18．（12分）记函数f（x）＝lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．
（1）求A∩B和A∪B；
（2）若C＝{x|4x+p＜0}，C?A，求实数p的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）＝1，
（1）求证：f（1）＝0；
（2）求f（）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．
20．（12分）已知f（x）＝x2+2（a﹣2）x+4，
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）设两曲线y＝f（x）与y＝g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）＝f（x）+g（x）﹣（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知a∈R，函数，g（x）＝（lnx﹣1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
第4页（共4页）2016年江西省南昌市航空职业技术学院高考数学单招试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）
1．（4分）函数的定义域是
．
2．（4分）x＞1是的
条件．
3．（4分）方程log3（1+2?3x）＝x+1的解x＝
．
4．（4分）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则sin（90°+α）＝
．
5．（4分）已知函数f（x）＝，则f（5）＝
．
6．（4分）若a＞3，则a+的最小值是
．
7．（4分）若，则sinα+cosα的值为
．
8．（4分）f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3x，则f（﹣2）＝
．
9．（4分）已知A，B，C是△ABC的内角，并且有sin2A+sin2B＝sin2C+sinAsinB，则C＝
．
10．（4分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是
．
11．（4分）函数在[1，2]上单调递减，则a的取值组成的集合是
．
12．（4分）若tan，则cos（A+B+C）＝
．
13．（4分）对任意实数x，y，定义运算x
y＝ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1
2＝3，2
3＝4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x
m＝x，则m的值是
．
14．（4分）设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]?D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f（x）＝为闭函数，那么k的取值范围是
．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
15．（5分）已知集合M＝{x∈Z|x2≤1}，N＝{x∈R|﹣1＜x＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，0}
D．{1}
16．（5分）A，B是三角形ABC的两个内角，则“sinA＞sinB”是A＞B的（ ）条件．
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分又非必要
17．（5分）已知函数在区间D上的反函数是它本身，则D可以是（ ）
A．[﹣l，l]
B．[0，1]
C．（0，）
D．[，1]
18．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝loga|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．或a＞1
B．a＞1
C．
D．或a＞1
三、简答题（12+14+14+16+18＝74分）
19．（12分）已知命题P：“函数在（﹣1，+∞）上单调递增．”命题Q：“幂函数在（0，+∞）上单调递减”．
（1）若命题P和命题Q同时为真，求实数m的取值范围；
（2）若命题P和命题Q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
20．（14分）已知函数，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）＝1，，求AC边的长．
21．（14分）已知定义在区间[﹣，π]上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，当x≥时，函数y＝sinx．
（1）求f（﹣），f（﹣）的值；
（2）求y＝f（x）的表达式
（3）若关于x的方程f（x）＝a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相应a的取值范围．
22．（16分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t＝时的市场供应量曲线如图
（1）根据图象求k、b的值；
（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．
23．（18分）已知函数f（x）＝，（x≠0）（a≠0）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当a＞0时，函数在（0，）上单调递减，在上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）若函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围．
第3页（共3页）2019年北京市清华大学自主招生数学试卷
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径．
2．求值：（1﹣sinx）x2dx．
3．已知P为单位圆上一动点，A（0，2），B（0，﹣1），求|AP|×|BP|2的最大值．
4．AB为圆O的直径，CO⊥AB，M为AC中点，CH⊥MB，则下列选项正确的是
（ ）
A．AM＝2OH
B．AH＝2OH
C．△BOH∽△BMA
5．已知集合A＝{1，2，3，……，15}，B＝{1，2，3，4，5}，f是A到B的映射，若满足f（x）＝f（y），则称有序对（x，y）为“好对”，求“好对”的个数最小值．
6．若对?c∈R，?a，b，使得＝f（c）成立，则称函数f（x）满足性质T，下列函数不满足性质T的是
（ ）
A．f（x）＝x3﹣3x2+3x
B．f（x）＝
C．f（x）＝ex+1
D．f（x）＝sin（2x+1）
7．已知||＝||＝1，?＝，（﹣）（﹣）＝0，若|﹣|＝1，求||的最大值．
8．椭圆+＝1，过F
（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，点C在直线x＝3上，若△ABC为正三角形，求△ABC的面积．
9．圆x2+y2＝4上一点（x0，y0）处的切线交抛物线y2＝8x于A，B两点，且满足∠AOB＝90°，其中O为坐标原点，求x0．
10．设a为44444444各位数字和，b是a的各位数字之和，c为b的各位数字之和，求c的值．
11．实数x，y满足x2+（y﹣2）2≤1，求的最大值和最小值．
第1页（共2页）2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷
一、填空题
1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是
．
2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为
．
3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为
．
4．若a1＝1，a2＝3，an＝2+an﹣1，求an＝
．
5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝
．
6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c大小顺序
．
7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且?a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为
．
8．设a1，a2，…，an为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且ai＜aj，则称（ai，aj）为有序对子，设X为a1，a2，…，an有序对子的个数，则E（X）＝
．
9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sinx﹣cosx，x∈[0，]的值域
．
10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若?x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a取值范围为
．
11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．
第1页（共2页）2020年北京大学强基计划数学试卷
一、选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错或不选得0分.
1．（5分）正实数x，y，z，w满足x≥y≥w和x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（ ）
A．
B．
C．1
D．前三个答案都不对
2．（5分）在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（ ）
A．16
B．31
C．32
D．前三个答案都不对
3．（5分）整数列{an}n≥1满足a1＝1，a2＝4，且对任意n≥2有an2﹣an+1an﹣1＝2n﹣1，则a2020的个位数字是（ ）
A．8
B．4
C．2
D．前三个答案都不对
4．（5分）设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5＝0的4个复根，则+++的值为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．前三个答案都不对
5．（5分）设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点D，AD＞BD，则三角形BCD的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
6．（5分）设x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，已知sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，则依然成等差数列的是（ ）
A．sinx，siny，sinz
B．cosx，cosy，cosz
C．tanx，tany，tanz
D．前三个答案都不对
7．（5分）方程19x+93y＝4xy的整数解个数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．前三个答案都不对
8．（5分）从圆x2+y2＝4上的点向椭圆C：+y2＝1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
9．（5分）使得5x+12≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．前三个答案都不对
10．（5分）设P为单位立方体ABCD﹣A1B1C1D1上的一点，则PA1+PC1的最小值为（ ）
A．
B．
C．2﹣
D．前三个答案都不对
11．（5分）数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，其前n项和为Sn，则数列Sn的最大值等于（ ）
A．28
B．35
C．47
D．前三个答案都不对
12．（5分）设直线y＝3x+m与椭圆+＝1交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最大值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．前三个答案都不对
13．（5分）正整数n≥3称为理想的，若存在正整数1≤k≤n﹣1使得C，C，C构成等差数列，其中C＝为组合数，则不超过2020的理想数个数为（ ）
A．40
B．41
C．42
D．前三个答案都不对
14．（5分）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，……，D2020依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，……，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC＝α2021，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
15．（5分）函数+的最大值为（ ）
A．+
B．2+
C．+2
D．前三个答案都不对
16．（5分）方程+＝1的实根个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．前三个答案都不对
17．（5分）凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD：S△ABE的值等于（ ）
A．8：15
B．2：3
C．11：23
D．前三个答案都不对
18．（5分）设p，q均为不超过100的正整数，则含有有理根的多项式f（x）＝x5+px+q的个数为（ ）
A．99
B．133
C．150
D．前三个答案都不对
19．（5分）满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且严格递增的数列{an}（n≥1）的个数为（ ）
A．0
B．1
C．无穷多个
D．前三个答案都不对
20．（5分）设函数f（x，y，z）＝++，其中x，y，z均为正实数，则有（ ）
A．f（x，y，z）既有最大值也有最小值
B．f（x，y，z）有最大值但无最小值
C．f（x，y，z）有最小值但无最大值
D．前三个答案都不对
第4页（共4页）
