2020年上海交大自主招生数学试卷
一、填空题
1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为
．
2．已知方程2x﹣sinx＝1，则下列判断：
（1）方程没有正数解
（2）方程有无穷多个解
（3）方程有一个正数解
（4）方程的实根小于1
其中错误的判断有
．
3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有
个．
4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为
．
5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为
．
6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有
种不同的取法．
7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝
．
8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为
．
9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为
．
10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是
（ ）
A．只有唯一值
B．有两个不同的值
C．有三个不同的值
D．无穷多个值
11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是
（ ）
A．|b|≤|ac|
B．|b|≤
C．b2≥|ac|
D．a2≤b2≤c2
12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：
（1）R
（2）Q
（3）?RQ
（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为
．
13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有
．
14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝
．
15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是
．
16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为
．
17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有
对．
18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有
条．
19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为
．
20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为
．
21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有
个．
22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（an+bn）＝
．
23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为
（ ）
A．ABC
B．CAB
C．CBA
D．BCA
24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是
．
第2页（共2页）2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷
一、解答题
1．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若，求p．
2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若，求p．
3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值．
二、填空题
4．已知f（x）＝asin（2πx）+bcos（2πx）+csin（4πx）+dcos（4πx），若，则在a，b，c，d中能确定的参数是
．
5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝
．
6．展开式中，常数项为
．
7．[++…+]＝
．
8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为
．
9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是
．
10．设，若，则cos（x+2y）＝
．
11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是
．
12．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为
．
三、选择题
13．已知直线m：y＝xcosα和n：3x+y＝c，则（ ）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合
D．以上都不对
四、填空题
14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为
．
15．已知点P在直线上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则点P的坐标是
．
16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为
．
17．arcsin+arcsin＝
．
18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为
．
19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为
．
20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为
．
21．定义fM（x）＝，M?N＝{x|fM（x）fN（x）＝﹣1}，已知A＝，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A?B＝
．
22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为
．
23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝
．
24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的
条件．
25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为
．
26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是
．
27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为
．
28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为
．
五、选择题
29．下列不等式恒成立的是（ ）
A．x2+≥x+
B．
C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|
D．
六、填空题
30．向量数列满足，且满足，令，则当Sn取最大时，n的值为
．
31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有
种．
32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是
．
（1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个；
（2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个；
（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个．
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