中考数学总复习专题知识要点
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文档简介
第一章数与式
§
1.1实数
知识清单直
对应学生用书起始页码2页
考点清单
考点一实数的相关概念
1.实数的分类
正整数
1正实数I正有里数〔正分数
(正无理数
:
6.二次根式的相关概念
:
(1)形如扃(的式子叫做二次根式.
:
(2)被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这
；样的二次根式是最简二次根式.
:
(3)几个二次根式化为⑦最简二次根式后,如果被开方数
:相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
:
(4)二次根式的性质：(扃)2=［(a30)；J若二丨a
I.
(念着工用源J负整数
〔负实数I负有里数〔负分数
负无理数
实数大小的比较
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数①迭:
左边的点表示的数小.
:考点二实数的运算
1.运算律和运算顺序
:
(1)有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘
:法交换律，加法结合律，乘法结合律，乘法分配律，等等.
'
(2)混合运算时，要先算乘方、开方，再算乘除,最后算加减；
:有括号的，先算括号里面的.同一级运算，要从左到右依次运算.
'
2.二次根式的运算
(1)二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二
:次根式，然后把⑧同类二次根式合并.
正数大于零,负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；:
两个负数，绝对值大的②壺小
.
作差法比较两个实数的大小
设a、b是任意两个实数，若a~b〉0,则a>b
；若a~b=0,则a
毎若a~b<0,则■③<
b.
数轴
数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线.数轴上的;⑨
点与④实数——对应.
4?相反数、倒数、绝对值
:考点三科学记数法与近似数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.互为相反数的:
两个数，和等于。?
'
乘积是1的两个数互为⑤直婪
一般地,数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的:
绝对值.
(a(
a"。)，
I
a
I
二
~a{a<0).
5.实数的乘方与开方
n
是正整数)，
L二丄(n是正整数，■尹。)，
an
?°
=
1(
■尹0).
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数;正数的任:
何次幕都是正数;。的任意正整数次幕都是0.
:〉0,四尹1,"〉0).
如果一个数的平方等于正数［，则这个数就叫做。的平i
方根，记作⑥兰丘.正数有两个互为相反数的平方根,。的平方:
根是。，负数没有平方根.正数。的正的平方根叫做算术平方根，:
。的算术平方根是0.
:
如果一个数的立方等于数■，则这个数就叫做。的立方:
根.每个实数只有一个立方根.
；
(2)二次根式的乘除法则：亦xTT
=
Vab
(
［30,630)；—
4b
（［30,6〉0）.
1.表示数据时，有时很难取得准确值,或者不必使用准确值
:时,我们可以用近似数来表示.
:
2.科学记数法:把一个数表示成?xlO"的形式，其中1WI
q
I
:<10,口为整数.
知识拓展
:
“新定义”问题是指在问题中定义了初中没有学过的一些概
i念、运算或符号，要求学生读懂题意，找到新旧知识之间的联系，
i并结合已有知识进行推理、迁移的一种题型.
例
(2016四川宜宾,15,3分)规定：心(口〉0,［尹1,6〉。)
■表下a,b之间的一种运算.
log。M
现有如下的运算法则：k)g0二。,1細"=
(a〉。,■尹1,四
例如：1咯2七3,1咯5二譬则1曙心1
000
一
一岫。2
logl0l
000
login103
3
解析
k〉g
kJ
000
二
二
―?二—
loglo100
logl0l^
2
题型方法套
一、用数轴上的点表示数
数轴是数形结合的基础，能把数与直线上的点生动形象地:
联系起来.有了数轴，任何一个实数都可以用数轴上的一个确定j
的点来表示.
:
例〔（2019吉林长春，1,3分）如图，数轴上表示-2的点A
:
到原点的距离是
-3
-2
-1
0
1
A.-2
B.2
1
1
C.
D.—
2
2
解析表示-2的点到原点的距离是2.故选B.
答案B
针对训练1
（2019内蒙古包头，2,3分）实数a、b在数轴上［
的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
a
b
-3
'
-2
=4
0
1
_
2
A.a>b
B.a>-b
C.—a>b
D.—a答案c
解析
由数轴可知一3—
2,
l—2<
—
b<
:
-1
—a>b.故选
C.
:
=-2+6-(1-271+3)
二2疗
三、实数的混合运算
结合特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数籍、零指
数籍、二次根式的性质等基础知识，运用实数的运算律，进行实
数混合运算.运算过程中，注意数字的符号和运算顺序.
（2019
山西，16
（
1）,5
分）计算：727
+
3tan
60。+（亓一7^"）°.
解析
原式二3疗+4-3TT+1
（4分）
二5.
（5
分）
针对训练3
（
2018云南，15,6分）计算：V18-2COS
45。+
=
271+2.
二、二次根式的运算
如果二次根式的被开方数含有分母，那么可以利用
—（a>0）进行化简;如果被开方数中有因数（或因式）能开方开:
a
:
得尽,那么可以利用丿/=
la
I
=
。>°）、'将这些因数（或因；
-a{a<0）
:
式）开方，从而将二次根式化简.
:
例2
（2018重庆A卷,7,4分）估计（2丿気
的值应在
A.1和2之间
C.3和4之间
B.2和3之间
D.4和5之间
W30^-^^/24x
二2，一2,而2W=
J存子二技。，丿免在4和5之间，所以誓-:
2在2和3之间，故选B.
:
答案B
!
针对训练2
（
2019内蒙古呼和浩特，17
（
1
）,5分）计算：:
卜阵…
解析（2丿気-丿有）x
四、用科学记数法表示实数
科学记数法就是把一个数写成0X10'的形式，其中iwl
0
1<
10,口为整数.
L当要表示的数的绝对值大于1时，口为非负整数，其值等
于原数中整数部分的位数减去1,如1
315=1.315x10七
2.当要表示的数的绝对值小于1时，□为负整数，其值等于
原数中从左起第一个非零数字前面所有零（包括小数点前的零）
的个数的相反数，如0.002
03
=
2.03xl0T.
例4
（
2019四川成都，3,3分）2019年4月10日，人类首
张黑洞照片面世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中
心，距离地球约5
500万光年.将数据5
500万用科学记数法表示
为
（
）
A.5
500x10"
B.55X106
C.5.5X107
D.5.5x10s
解析
5
500
万=55
000
000
=
5.5x10,.故选
C.
答案C
针对训练4
（2019黑龙江齐齐哈尔，11,3分）预计到2025
年我国高铁运营里程将达到38
000千米.将数据38
000用科学
记数法表示为
.
答案
3.8x10，
解析
38
000=3.8xl0\
§
1.2整式
。对应学生用书起始页码7页
考点清单
考点一代数式
像3(.-1)+2,湖，十等都是用基本的运算符号把数或表示
数的字母连接而成的式子，这样的式子都是代数式，单独一个数
或一个字母也是代数式.
考点二整式及其运算法则
同类项
所含字母相同，并且相同字母的①_也相同的项叫同
类项.
合并同类项
只把系数②业如_，所含字母及字母的指数不变.
整式的运算
(!)整式的加减运算实际就是合并同类项.
整式的乘法：(a+b)
(
m+n)
=
am+an+bm+bn.
整式的除法:单项式除以单项式时，把系数、同底数籍分
别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母,则连同
字母的指数照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项
分别除以单项式,再把所得的商相加.
矗的运算性质
同底数幕相乘法则
为整数加乂0)
幕的乘方法则
(V)
mg
为整数，。乂0)
积的乘方法则
(泌)几为整数，湖乂0)
同底数幕相除法则
:/
=为整数，。乂0)
考点三乘法公式
公式名称
公式表述
平方差公式
(a+b)(=
a2~b2
完全平方公式
(a±b)2-a2±2ab+b2
考点四
因式分解
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项
式因式分解.
方法
(!)提公因式法:ma+mb+mc
=
m(
a+b+c).
公式法:a2-b2
=
(
a+b)
(
a—b)
；
a2±2ab+b2
=
(
a±b)
~.
十字相乘法：尸
+
(
p+q)
x+pq
=
(
x+p)
S+g).
知识拓展
数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的
精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题
相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.常见借助数轴、统计
图表、函数图象、几何图形来解决代数问题，使代数问题几何化.
或者运用代数式恒等变形、建立方程或不等式、面积转换等求解
几何问题,使几何问题代数化.
例(2018吉林长春外国语学校期末，18)如图，四边形
ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB
=
a,DE3(a〉b)
,BM
=
CH,BH
=
FH.
(!)写出AG的长度(用含字母a,b的代数式表示)；
观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积
时，你能否获得一个因式分解公式？请将这个公式写出来；
如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16,
它们的面积相差960,试利用(2)中的公式，求a,b的值.
解析(l)AG=
a-b.
能.阴影部分的面积可表示为
宀或■顷一b)
+
b
-
(a-b)；
a2-b2=a
■
(a—b)+b
■
(a—b)=(a+b)(a—b),
即
a2-b2
=
(
a+b')
(
a~b).
由题意，得a-b
=16①，
a2-b2
=
(
a+b)
(
a—b)=
960,
a+b
=
60②，
由①、②解得a
=
38,6
=
22.
三、整式的运算
在运用公式或运算法则进行运算时，要先判断式子的结构
特征，再确定解题思路，使解题更加方便、快捷.
例3
（2019吉林长春,15,6分）先化简，再求值：（20+1广-
4a（
a-1），其中
a二二
O
解析（2a+1）
2-4a（
a-1）
=4a2+4a+l-4a2+4a
=8a+l.
当
a
=——时，原式=8x
―
1
=
2.
8
8
针对训练3
（2018江西，13（
1）,3分）计算：（a
+1）（
a-1）
■
_（0_2广.
:
解析
原式二/一1一（/一4。+4）
二
4。一5.
:四、分解因式
?
1.看项数选公式，“两项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全
:平方公式.
:
2.分解因式的试题中一般采用“一提取”“二公式”的方法进
:行因式分解，即如果整式中含有公因式，那么要先提取公因式，
:再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止.
:
当多项式是四项或五项时,可能需要先合理分组，再提公因
i式或用公式法进行分解.
:
例3
（2019湖北黄冈，11,3分）分解因式：3尸-27站=_
解析
3x~—27y~
=
3{x~—9y~)=
3(%+3y)
(%-3y).
答案
3(%+3y)
(%-3y)
针对训练4
(
2018湖北黄冈，8,3分)因式分解：尸-以
答案
光(光+3)
(%-3)
解析
x3-9x
=
x(x~-9)二
%(%+3)
(%-3).
§
1.3分式
。对应学生用书起始页码11页
考点清单
考点一分式的有关概念与基本性质
4
整式A除以整式8,可以表示成；的形式，如果除式B中
D
A
含有①字母，那么；3
0)称为分式.
D
当②分母等于0时,分式无意义；当分子等于0且分母不
等于0时，分式的值为0.
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，
分式的值不变.
考点二分式的运算
分式的加、减运算
(!)通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
最简公分母的判断方法:系数取各个分母的系数的③睥
全
_;因式取分母中含有的所有因式，注意：相同的因式留一
个，每个因式的指数取最高指数.
同分母分式相加减，分母不变,把分子相加减.
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后
加减.
分式的乘、除运算
(!)约分的关键是确定分子、分母的公因式.
公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的④壺大公
纣_;因式取分子、分母都含有的因式(即分子、分母中相同的
因式)，注意:相同因式的指数取最低指数.
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为
积的分母.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除
式相乘.
■
3.分式的混合运算顺序
:
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面
:的;最后的结果能约分的要约分，化为最简.
i考点三
分式的化简求值
:
分式通过化简后，代入适当的值解决问题.注意代入的值要
j使分式的分母不为0.
分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值
时千万不可任性.总的来说有以下两类：
当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分
式的分母不为0；
当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使
原分式的分母不为0,还要使除式不为0.
例
先化简，再求值:。+
(a-1-艾：)，并从-1,0,1,2四
个数中选一个合适的数代入求值.
a
a~
—
1a
a
a+1
a+1
a(a-2)
]
。+1尹0且。尹0且。一2尹0,
二。尹一1且。尹0
且。尹2,
a
=1,
当a
=1时，原式=
分式的化简求值
灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分,一般要:
先分解因式.化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技:
巧，三要注意代入的值要使分式有意义.
:
针对训练（2019福建，19,8分）先化简，再求值：（光-1）
一
-癸二），其中
=71+1.
解析
原式二顷-1）
A'）
例（2018新疆，17,8分）先化简，再求值：（土+1卜检3，j
,
、—2x+1
二(%-!)+
%
_
/
］、.(I)'
二(%-i；
X
v
%2+3%
=
0,.'.
%
=
0
或
%
=
-3.
当%
=
0时，原式无意义，故%
二
一3,此时原式二代+1
=
-2.
■
（8
分）:
第二章
方程(组)与不等式(组)
7
第二章
方程(组)与不等式(组)
§
2.1
一次方程(组)
知识清单直
-
(ii)把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，
:得到一个一元一次方程；
:
(iii)解这个一元一次方程；
L定义：只含有①二，并且未知数的次数是1,这!
(2)将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方
样的整式方程叫做一元一次方程.
：程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解?
2?解一元一次方程的主要步骤去分母；(2)去括号；：考点三二元一次方程组的应用
问题模型
常用等量关系
鸡兔同笼
鸡的头数+兔的头数二头的总数；
鸡脚的总数+兔脚的总数二脚的总数
增收节支
总收入-总支出二总利润
数字问题
变化前，两位数(或三位数)各数位上的数字之间的
大小关系；
变化后，新旧两数之间的大小关系
移项；(4)②合并同类项；(5)未知数的系数化为1.
类型
基本数量关系
数字问题
设某三位数的个位数字为十位数字为b,百位数字为
。，则这个三位数应表示为③IOOq+106+c
利润问题
利润二售价-成本；
利润率二钏X100%
储蓄问题
利息二。本金X利率X期数；
本息和二本金+利息二本金x(l+利率x期数)
行程问题
路程二速度X时间；
相遇问题:甲车行驶的路程+乙车行驶的路程二初始距离；
追及问题:快车行驶的路程-慢车行驶的路程二追及路程
常见应用问题
:
不定方程(组)是数论中的一个古老分支，内容极其丰富，我
:国对不定方程的研究已延续数千年，“百鸡问题”“五家共井问
:题”等一直流传至今,秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理
■论联系起来.如果二兀一次方程ax
+奶二c(
a、b为互质的整数，c
{x
=豹)，
(x
=
Xn+bk.
那么它有通解{
_
°_
(
k为整数).
I—兀一体力侔：日石网丁木相钗，且日石木相钗的顼的久：
尸&'
'尸贝厂以
数都是［的整式方程
1
-
(2°19黑龙江齐齐哈尔，8,3分)学校计划购买A和B
2.把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组:两种品牌的足球'已知一个A品牌足球60兀'一个B品牌足球
成了一个二元一次方程组
：75元.学校准备将1
500元钱全部用于购买这两种足球(两种足
二元一次方程纟話解法
:球都买)，该学校的购买方案共有
()
(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤
:“二种、B.4种一
C：种
,6
⑴从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含;p解析、、设恰好用免ZOO兀'可购买。个A品牌足球和6个
有⑤另一个未知数的代数式表示出来；
:B品牌足球’
将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到:
含有另一个未知数的一元一次方程；
:
解这个一元一次方程,求出一个未知数的值；
:
将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程:
中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
:
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤
:
(i)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为:
相反数且不相等，就用适当的数去乘方程的两边,使两方程中同:
一个未知数的系数相等或⑥互为相反数；
；
解析L/分
4%+y
=
10,②
②一①，得3%
=
9,解得%
=
3.
把%
=
3代入①，得3+y=l,
解得y
=
-2.
二、列二元一次方程组解应用题
一般步骤：
第一步
审,明确文字中表述的两个等量关系和两个未知数;
第二步
设,用字母表示未知数；
:
第三步列，用含未知数的代数式表示等量关系中各部分
:的数量，并将等量关系转化成方程，联立成方程组；
:
第四步解,解所列方程组，求出方程组的解；
:
第五步
验，检验方程组的解是否符合题意；
:
第六步答，规范写出答语.
:
例2
（2018湖北黄冈，16,6分）在端午节来临之际，某商
!店订购了
A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,8型粽子
:24元/千克，若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20千克，购
!进两种粽子共用了
2
560元，求两种型号粽子各多少千克.
:
解析
设A型粽子%千克，8型粽子y千克，
由题意得"=27,解得广=4饥
l28%+24y
=2
560,
ly
=60.
答:A型粽子40千克，8型粽子60千克.
针对训练2
（2018江西，9,3分）中国的《九章算术》是世
:界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，
:直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有
:牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问
:牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金两、y两，依题意，
:可列出方程组为
.
:
欠安戶+2尸10
：口案屋+5尸8
解析
毎头牛值金
两，毎头羊值金y两，根据“牛5头，羊
!
2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，可
!得（5x+2r=i°，
2%+5y
=8.
§
2.2
—兀二次方程
。对应学生用书起始页码20页
考点清单
考点一
一元二次方程及其解法
定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是①纟的方程叫做一元二次方程.
常用解法
(!)直接开平方法：对于形如尸二b
(
b
30)或(g
+
b广二
c(
c^O)的方程，直接开平方为②兰或ax+b
=
±Jc
；
配方法：将一元二次方程ax2+
bx
+
c
=
0(
a尹0)配方为
(x+m)
2=
n(
口30)的形式，再用直接开平方法求解.
公式法:一元二次方程ax2+bx+c
=
0(。尹0)的求根公式
~b±\/b~
~4ac
,,
、
为③
%
=
(
b~_4acm0).
2a
因式分解法:将一兀二次方程通过分解因式变为3-。)
■(
x-b)
=
0的形式，进而得到x-a
=
0或x-b
=
0来求解.
考点二根的判别式、根与系数之间的关系
—'兀二次方程ax2+bx+c
=
0(。尹0)的根的判别式是A
=b~-4ac.
(!)厶〉0。一元二次方程有两个④不相等的实数根；
A=0。一元二次方程有两个相等的实数根；
厶＜0。一元二次方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系
，
如果方程ax2+bx+c
=
0(
a尹0)的两个实数根为那么■
b
c
:
X
I
+%2
—
,%|
%2
=
.
!
一、解一元二次方程
掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化
为一元一次方程的转化思想;用适当的方法解一元二次方程，一
般先考虑直接开平方法和因式分解法,再考虑公式法和配方法.
例1
（
2018黑龙江齐齐哈尔，19,5分）解方程：2（%-3）二
3%（x—3）.
解析原方程可化为2（
-3）
-3
（
-3）
=0,
（1分）
整理得，（
-3）（2-3罚=0,
（2
分）
即
x-3
=
0
或
2-3%
=
0,
（3
分）
2
解得"i=3,%二亍
（5分）
针对训练1
（2019黑龙江齐齐哈尔，19,5分）解方程:尸+
:
6%
二
一7.
:
解析解法一：（配方法）
:
%2+6%+9
=
-7+9,
（1
分）［
（光+3广二2,
（2
分）;
%+3
=
±^2
,
（3
分）:
%,二-3+^2
,%2
--3-^2.
（5
分）：
解法二：（公式法）
：
v
%2+6%+7
=
0,。=1,6
=
6,c
=
7,
;
二△
=
b2-4-ac
=
62-4x!x7
=
8>0,
（2
分）■
-6土_6±^/2-
:
%-—二—=
,
:
2
2'
:
二光|
二-3
W2
,%2
--3_互.
（5
分）■
二、根的判别式、根与系数之间的关系
在用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，有时要!
先用配方法把bFc的结果写成完全平方式的形式，再利用完!
全平方式的非负性进行判断.注意区分这个配方法和解一元二次!
方程的配方法.
1
在一元二次方程有根的情况下，利用根的判别式求参数
取值（或范围）时,注意二次项系数不为0.在用根与系数的关系
求参数取值（或范围）后，要用根的判别式进行检验，若则
所求参数取值（或范围）符合题意;若△
<0,则所求参数取值（或
范围）不符合题意，应舍去.
例2
（2018四川遂宁，19,8分）已知关于x的一元二次方
程x2-2x+a
=
0的两个实数根%,如
满足光I死+光I
+光2〉0,求a的
取值范围.
解析
V关于%的一元二次方程2%
+
a
=
0有两个实
数根，
二△二
b2-4-ac
3
0,即（-2）
2-4x1x。30,
4_4a
30,
aWl.
又由根与系数的关系可得叫x2=
a,xt+x2
=
2,
,/
叫
%2+%!
+%2>0,
/.
a+2〉0,
/.。〉—2".
—2针对训练2
（2019山东潍坊，10,3分）关于%的一元二次方
程x2+2mx+m2+m
=
0的两个实数根的平方和为12,则m的值为
（
）
A.m
二
一2
B.
m
=
3
C.m
=
3
或
m
二
一2
D.m
=
-3
或
m
=
2
答案A
解析
设光|，光2是x~+2mx+m~+m
=
0的两个实数根，
由题意知△=
4m2-4（
m2
+m）
=
-4m
30".
m^O.
,/
=
=
m~+m,
x^+%1
=（叫
+%2
）
2
—
2%I%2
—
4m2
—
2m2
—
2m
=
2m2
—
2m
=
12,
m
=
3
或
m
=
-2.
又
m
WO",
m
=
-2.故选
A.
§
2.3分式方程
。对应学生用书起始页码24页
考点清单
考点一分式方程及其解法
①分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本方法:分式方程
②整式方程.
一般地,解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可
能使原方程中分母为零，因此应进行如下检验:将整式方程的解
代入③壺度会分里，若最简公分母的值不为零，则整式方程的
解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是
增根.
去分母解分式方程的一般步骤
(!)适当变形，通常是对分母分解因式，找到最简公分母；［
将方程两边同乘最简公分母，约去分母,得到一个整式
方程；
解这个整式方程；
验根.
考点二分式方程的应用
常见题型有行程问题和工程问题.
用分式方程解应用题时,检验分为两步，先检验所求根是不
是④原方程的根,再检验方程的根是否符合题意,缺一不可.
易混易错
%_3
（2018内蒙古呼和浩特，17（
2）
,5分）解方程:—+1
%—2
3
2—x
x—3
3
x—2
2—x,
x-3+x-2
=
-3，解得
x
=
L
检验：当%
二1时，光一2尹0,
所以?
=1是原分式方程的解.
针对训练1
（
2019江苏南京，18,
7分）解方程土
-
1
%—
1
3
x2-l
解析方程两边乘（光-1）（光+1）,
得
%（%+!）
-（%-!）
（%+!）=
3.解得
%
=
2.
检验：当%
二
2时，（光一1）（光+1）尹0.
所以，原分式方程的解为先=2.
:
例2
（
2018内蒙古包头，23,10分）某商店以固定进价一
:次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2
400元,
:为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售，
:结果销售量增加30件，销售额增加840元.
:
（!）求该商店3月份这种商品的售价是多少元；
!
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么
:该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
:
解析（1）设该商店3月份这种商品的售价为光元.
2
400
2
400+840
“风
:
根据题意，得
二
——
30，解得
先=
40.
:
%
（）.
9%
经检验?
=
40是所得方程的解，且符合题意.
!
答:该商店3月份这种商品的售价为40元.
:
（2）设该商品的进价为。元.
2
400
:
根据题意，得（4（）一a）
^—=900,解得0
=
25.
:
40
4月份的售价；40x0.9
=
36（元），
:
2
400+840
:
4月份的销售数量:一-—二
90（件）.
36
:
4
月份的利润：（36-25）
x90
=
990（元）.
:
答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.
:
针对训练2
（2018云南曲靖，18,6分）甲乙两人做某种机
!械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与
!乙做100个所用的时间相等,求甲乙两人每小时各做几个零件.
解析
设甲每小时做%个机械零件，则乙每小时做（%-4）个
:机械零件，根据题意列方程得也=判,
解得为=
24,经检验?
=
24是原分式方程的根,且符合题意，
因此
24-4
=
20（个）.
答：甲每小时做24个机械零件，乙每小时做20个机械零件.
§
2.4
一元一次不等式（组）
。对应学生用书起始页码30页
考点清单
考点一不等式的性质及一元一次不等式
不等式的有关概念
（1）
一般地,用符号“<”（或“W”）">”（或“N”）连接的式
子叫做不等式.
（2）
把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（3）
把使不等式成立的未知数的①翌坦苞邑
叫做不等式
的解的集合，简称解集.
不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向②.
不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个③三
也,不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个④旦
红,不等号的方向改变.
一元一次不等式
（!）定义:含有一个未知数，未知数的次数是1的⑤不等式，
叫做一元一次不等式.
（2）解法:与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式
的两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变.
考点二
一元一次不等式组
定义:类似于方程组，把几个含有相同未知数的⑥二^
次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组.
解集:一般地，几个不等式的解集的⑦公共部分，叫做由
这几个不等式所组成的不等式组的解集.
解法:先求出各个不等式的解集，然后求出解集的公共部
分,可借助于数轴确定它们的公共部分.
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情:
形如下表：
：
不等式组
（设
a图示
解集
口诀
(x^a
lx》b
a
o
x^b
大大取大
(x^a
(x
6
a
b
xWa
小小取小
(x^a
(x
6
a
b
⑧
aWxW
b
大小小大
中间找
(x^a
(x
6
——
空集
大大小小
无处找
考点三一元一次不等式（组）的应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤
（!）审:认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中
的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于”“小于”
“不大
于”“至少”“不超过”“超过”等；
（2）
设:设出适当的未知数；
（3）
列:根据题中的不等关系列出不等式（组）；
（4）
解:求出所列不等式（组）的解集，并在解集中找出满足
题意的解；
（5）
答:完整写出答语.
重难清单
对于含有参数的不等式（组），常常会给出它的解集情况（如
有解、无解等），求参数的取值范围；或者具体给出解集,求参数
的值.解答过程主要有以下几步：L解不等式（组）；2.由解的情况
判断参数的取值范围（或值），常常借助数轴和口诀来判断;3.验
证第2步中的端点值是否符合题意；4.写出正确的答案.
例1已知关于%的不等式组厂一
0’们
的解集是3W次
2x-a<2b+l
则纟的值是
（
）
a
-2
B.-丄
C.-4
D.-—
2
4
I
%m
a+b,
a+2b+!
X<
_2_'
?丁原不等式组的解集是
I
a+b
=
3,
_
a+2b+l
解得（
A
—
=
-^
=
-2.
-^—=5,
\b
=
6.
a
-3
答案A
例2
（
2018内蒙古呼和浩特，15,
3分）若不等式组
（2光+。〉0,
{
1
a
的解集中的任意
都能使不等式
-5>0成立，则a
1
2
4
的取值范围是
.
a
%>一5,
2
a
%>
2.
解析由不等式组可得<
a
2
解不等式%-5>0得为>5,
由题意可知-;+235,解得aW-6.
答案aW-6
一、解一元一次不等式组的方法
先求出每个不等式的解集，找到各个不等式解集的公共部
分,写出不等式组的解集.也可借助数轴来确定.
例1
(2018天津,19,8分)解不等式组［X+3^［，?
4%Wl+3%.②
请结合题意填空，完成本题的解答.
解不等式①,得
;
解不等式②,得
；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
-3
-2
-1
0
1
2
原不等式组的解集为
.
解析(1)光3-2.
光
WL
，I
，.二.
.
-3
-2
-1
0
1
2
-25WL
针对训练1
(
2019四川成都，15(
2
),6分)解不等式
(3(光-2)
W4y-5,①
组：\5%—2
1
?②
解析解不等式①得解不等式②得
<2.
入原不等式组的解集为-1W光<2.
二、用一元一次不等式(组)解应用题
用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式
(组)的知识解答应用题和方案设计型问题.
例2
(2018四川绵阳，21,11分)有大小两种货车，3辆大
货车与4辆小货车一次可以运货18吨,2辆大货车与6辆小货
车一次可以运货17吨.
(!)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多
少吨？
(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车
共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费130
元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排
车辆最节省费用？
解析(1)设1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一
次可以运货y吨.根据题意可得
(3%+4y
=
18,
为=4,
(2x+6y
=
17,
y
=L5.
答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运
货L5吨.
:
(2)设货运公司安排大货车m辆，则需要安排小货车(10-
m)辆，根据题意可得4m+1.5(
10-m)
=33,
:
解得
:
V
m为正整数，且m
W10,
:
m
可以取
8,9,10.
:
当m
=8时，该货运公司需花费130x8+2x100=1
240元；
:
当m
=
9时，该货运公司需花费130x9+100=1
270元；
:
当m
=10时，该货运公司需花费130x10=1
300元.
:
lT
240<1
270<1
300,
:
当该货运公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少.
憲思路分析
(1)设1辆大货车与1辆小货车一次分别可
:以运货吨、y吨.根据条件建立方程组求出其解即可.
?
(2)设货运公司安排大货车m辆，则需要安排小货车(10-
m)辆，根据(1)的结论可得出不等式4m+l.
=33，进而
:得出所有的情况，然后计算出每种情况的花费，从而得出结论.
:
飕审题技巧优化方案问题首先要列举出所有可能的方
:案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，从
:中选择最优.
:
针对训练2
(
2018贵州贵阳，19,10分)某青春党支部在
:精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让
:其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买
:乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.
:
(!)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；
?
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50
:棵.此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了
10%，乙种树
:苗的售价保持不变.如果此次购买两种树苗的总费用不超过
:1
500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
:
解析(1)设甲和树苗每棵的价格是为元，则乙和树苗每棵
■的价格是(%+10)元.
:
根据题意，得——
，解得光-30.
:
%+10
%
!
经检验?
=
30是原方程的解且符合题意，
:
当
%
=
30
时
?+10
=
40.
:
答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是30元、40元.
j
(2)设他们再次购买乙和树苗y棵，则购买甲和树苗(50-
")棵.
:
由题意得
30x(l-10%)(50-y)
+40yWl
500,
:
解得
:
y是整数，
:
他们最多可以购买11棵乙种树苗.
第三章变量与函数
§
3.1位置的确定与变量之间的关系
。对应学生用书起始页码37页
考点一
平面直角坐标系内点的坐标特征
各象限点的坐标的符号特征
点到坐标轴的距离
点P（%,y）到算轴的距离为Iy
I,到y轴的距离为②
成丨,到
坐标原点的距离为
广.
特殊点的坐标特征
（!）坐标轴上点的坐标特征
光轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；原点的坐标
为（0,0）.
（2）
象限角平分线上的点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标③座外
_
-
（3）
平行于轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相
等,平行于y轴（或垂直于轴）的直线上的点的横坐标相等.
直角坐标系内点的对称和平移
（!）点P
3,
y）关于算轴对称的点的坐标为（心-
y
）；点
P（%,y）关于y轴对称的点的坐标为④上土丄；点尸（心们关于
■原点对称的点的坐标为（-光，-y）-
:
（2）将点PS,y）向右（或向左）平移a
（
a〉0）个单位，得到
■对应点
P'（（或（光-a,y））；
:
将点PS,y）向上（或向下）平移6（
b〉0）个单位，得到对应
［点
P'S,y+6）（或（x,y~b））.
i考点二
函数的概念及三种表示方法
j
1.函数的定义
:
一般地，在一变化过程中有两个变量光与y,如果对于光在
!某一范围内的每一个值,y都有唯一的值与它对应，那么就说y
:是的函数，其中是自变量.
:
2.函数值的定义
:
对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x
=
0时，函
:数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做%
=
0时的函数值.
:
3.函数的表示方法
解析法,列表法和⑤图象法.
:
4.函数图象的画法
列表、⑥描点、连线.
i考点三与函数有关的应用型问题
根据题意直接写出函数解析式，或根据函数图象分析现实
j情境是常考题型，在实际问题中自变量常受限制，所以一般要在
:函数解析式后注明自变量的取值范围.
一、在平面直角坐标系内求点的坐标
1.利用对称、平移的性质求点的坐标.
例〔(2019湖北黄冈，5,3分)已知点A的坐标为(2,1),
将点A向下平移4个单位长度，得到的点A'的坐标是
(
)
A.(6,l)
B.(-2,l)
C.(2,5)
D.(2,-3)
解析
将点A向下平移4个单位长度可得A，(
2,-3),故
选D.
答案D
针对训练1
(
2018四川成都，4,3分)在平面直角坐标系
中，点尸(-3,-5)关于原点对称的点的坐标是
(
)
A.(3,-5)
B.(-3,5)
C.(3,5)
D.(-3,-5)
答案C
:二、函数图象的判断及其应用
；
对于函数图象，(1)要弄清函数图象上一些特殊点的意义，
:如起点、终点、临界点、交点等；(2)要认识图象的变化趋势，上升
j或下降，直线或曲线；(3)有关实际问题的函数图象，要清楚横、
■纵坐标表示的意义和单位.
:
座
(2019重庆A卷，17,4分)某公司快递员甲匀速骑车
:前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在
:公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲.乙刚出发2分钟时，
:甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分
:钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续
:原路原速赶往某小区送物件.甲、乙两人相距的路程y(米)与甲
:出发的时间以分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间
解析
由题意可得u甲=4
000-?(12-2-2)
=
500米/分，吃二
由于甲、乙相遇时，乙走了
4分钟，所以当乙回到公司时，也
用了
4分钟，此时甲离公司的路程为500x(12-2)-500x2+500x
4=6
000
米.
答案
6
000
针对训练3
(2019湖北黄冈，8,3分)已知林茂的家、体育
场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是:林茂从家
跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后
再走回家.图中表示时间,y表示林茂离家的距离.依据图中的
信息，下列说法错误的是
A.体育场离林茂家2.5
km
体育场离文具店1
km
林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50
m/min
林茂从文具店回家的平均速度是60
m/min
答案C
解析
由题图可知15
min时林茂到达体育场，故体育场离
林茂家2.5
km，故A正确；30
min时林茂离开体育场，45
min时
到达文具店，路程为2.5-1.5=1
km,故B正确；林茂从体育场出
发到文具店的平均速度是(2.5-；：：：」000
=
200皿/队皿，故C
45—3()
3
错；林茂从文具店回家的平均速度是60
m/min,故D
90—65
§
3.2
一次函数
。对应学生用书起始页码44页
考点一
一次函数的图象与性质
-次函数的定义
一般地，如果y=kx+b（
k尹0,、b是常数），那么y叫做算的
一次函数.当6
=
0时，一次函数y=kx也叫做正比例函数.
一次函数的图象与性质
图象
^>0
心
正比例函数y
二kx｛化尹0）
~7
y
A
一次函数y
-
kx+b｛化尹0）
6>0
6<0
6>0
4
图象经过
第一、二、三
象限
图象经过第
①一、三、
四象限
图象经过
第一、二、四
象限
图象经过
第二、三、四
象限
性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而②减小
-
5.—次函数图象的平移
一次函数y-kx+b（&尹0）的图象可以看作由直线y-kx｛&尹
:0）向上（下）平移I们个单位长度得到.当6>0时,将直线y=kx（
k
:尹0）向上平移I
b
I个单位长度；当6<0时,将直线广触（E0）向
:下平移I
b
I个单位长度.
当加=k2，们
巻2时，直线J-加光+们和直线y-k2x+b2平行.
:考点二一次函数与方程、不等式之间的联系
:
如图所示，我们可以得到如下两种关系：
:
1.-次函数与方程之间的关系
:
（1）
一次函数解析式可看作一个二元一次方程.
:
（2）直线y=kx+b（
&尹0）与%轴的交点B的横坐标是方程kx
:+危0的解.
T七小■爲研曲赤十/根据题意直接求解；
求一次函数的解析式^
用待定系数法求解.
利用一次函数的图象和性质解决最值、最优方案等问题.
利用一次函数的图象和性质解决行程问题.
题型万吳
一、求一次函数解析式
解析（］）4
000；
100.
（2分）
确定一次函数的解析式有三种常用方法.一是待定系数法,
每确定一个字母系数，就需要一个已知点或条件;把已知点的坐
标代入函数解析式，或者用已知条件列出方程，求得该字母系数
的值，写出函数解析式;二是用平移函数图象的方法得到新的函
数；三是实际问题中，根据变量之间的关系直接写出函数关系
式,如售价-进价二利润,路程二速度X时间等.
例〔（2019吉林,23,8分）甲、乙两车分别从A,B两地同
时出发，沿同一条公路相向行驶.相遇后，甲车继续以原速行驶到
B地，乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距B地的路程
y（km）与各自行驶的时间%（
h）之间的关系如图所示.
（2）
小东从图书馆到家的时间x二端二岑（min）,
/40
\
D
M
,0）.
设CD的解析式为尸尹0）,
图象过D,0）
和
C（0,4
000）两点，
M0
k+b
=
0
I3
b
=
4
000,
解得
件=
-300,
肅=4
000.
⑴
m
二
,
n
二
；
（2）求乙车距B地的路程y关于的函数解析式，并写出自
变量的取值范围；
CD的解析式为y
=
-30。光+4
000.
小东离家的路程y关于%的解析式为
-300%+4
000
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程.
?
）?
（3）设OA的解析式为
广&次时尹0）,
?丁
图象过点
4（
10,2
000）,
10k'
=
2
000,
#
=
200.
OA
的解析式为
y
=
200y（OW光W10）.
解析（1）
4；
120.
（2
分）
（2）当乙车与甲车相向行驶时，设y关于光的函数解析式为
由卩=
2。。心
y
=
-30皈+4
000,
解得
=
8,
600.
答：两人出发后8分钟相遇.
（3分）
（4分）
（5分）
（6分）
（8分）
y
二阮（0W
光
W2）.
因为函数图象过（2,120）,
所以
2k
=120,
解得k
=
60,
所以y关于%的函数解析式为尸6皈（0W.W2）.
（4分）
当乙车和甲车同向行驶时，设y关于此的函数解析式为y二
x+b（2^x
W4）.
因为函数图象过（2,120）
,（4,0）两点，
2k.+b
=120,
k,
=-60,
所以"
解得］1
4k{+b
=
0,
b
=
240.
所以y关于%的函数解析式为尸一60光+240（
2JW4）.
（6分）
（3）当
%
=
3.5
时，y
=-60x3.5+240
=
30.
所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30
km.
（8分）
针对训练1
（2018吉林,23,8分）小玲和弟弟小东分别从
家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改
为步行，到达图书馆恰好用30
min.小东骑自行车以300
m/min的
速度直接回家.两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间
Mmin）之间的函数图象如图所示.
（!）家与图书馆之间的路程为
m,小玲步行的速度
为
m/
min
；
（2）
求小东离家的路程y关于的函数解析式，并写出自变
量的取值范围；
（3）
求两人相遇的时间.
二、用一次函数的相关知识解决实际问题
用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设定实际问题中
的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；（5）作答.
例2
（2019山西，19,8分）某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一:顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人
一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.
方式二:顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为次，选择方式
一的总费用为7|（元），选择方式二的总费用为认元）-
（!）请分别写出乂，为与之间的函数表达式；
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数%在什么范围时，选
择方式一比方式二省钱.
解析（1）幻=30光+200.
（2分）
:
y2
=
40%.
（4
分）
■
（2）由
/i:
得
30%+200<40%,
（6
分）
:
解得"20.
（7分）
:
当光〉20时，选择方式一比方式二省钱.
（8分）
；
针对训练2
（2017新疆，21,10分）某周日上午8：00小宇
j从家出发，乘车I小时到达某活动中心参加实践活动.11:00时
:他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12:00前回到
:家.他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/时的平均速度快
:步返回.同时，爸爸从家沿同一路线开车接他,在距家20千米处
:接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回.设小宇离家"小
:时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与算
:之间的函数关系.
:
（!）活动中心与小宇家相距
千米,小宇在活动中心
；活动时间为
小时,他从活动中心返家时，步行用了
—
小时；
（2）
求线段BC所表示的y（千米）与
（小时）之间的函数关
系式（不好、写出
所表示的范围）；
（3）
根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能
在12：00前回到家,并说明理由.
解析(1)
22；2；0.4.
由题图知活动中心与小宇家相距22千米，
小宇在活动中心活动的时间为3-1
=
2小时，
小宇从活动中心返家时，步行所用时间为（22-20）
+5
=
0.4（小时）.
（2）
由（1）知点C的坐标为（3.4,20）.
设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k^0）,
把点B（
3,22）,点C（
3.4,20）的坐标代入尸kx+b,
得尸祁=22
广=一5，
3.4k+b
=20,
b
=
37,
y
—
—5%+37.
（3）
爸爸从家开车接上小宇，立即保持原来的车速原路返回,
小宇从活动中心返家所用时间为0.4+0.4=0.8（小时），
小宇能在12：00前回到家.
§
3.3反比例函数
考点一反比例函数的图象与性质
I-
如果两个变量叭y之间的关系可以表示为①
尸一（&尹
x
0,且
为常数），那么称y是
的反比例函数.它而集叫双
曲线.
反比例函数的另两种表示方式：
xy-k{&尹
0）
,y
二kx~
（&尹
0）.
反比例函数的图象与性质
（!）
&〉0
时，当
%,<%2
时,[|
>y2
；
当
%!<0<%2
时,yi<0（2）
&<0
时，当
%,<%2
时,Ti
；
当
%|<0<%2
时,[|〉0〉％-
反比例函数解析式的确定常用待定系数法.
;考点二反比例函数与一次函数的综合应用
:
1.利用函数图象确定不等式ax
+
b>—或ax
+
b<
—的解集的
X
X
:方法
:
如图，过交点A^B分别作X轴的垂线，它们连同y轴把平面
:分为四部分，相应标为i、u、m、N.
从图象可以看出，在1、山部分，反比例函数图象位于一次
I-
函数图象上方，所以不等式ax+b<—的解集为x在U、N部分,反比例函数图象位于一次函数图象下方，所
k
以不等式ax+b>
的解集为xB<%<0或
考点三
反比例函数的实际应用
根据题意找出成反比例的两个量，进而建立数学模型，解决
实际问题.
。对应学生用书起始页码53页
一、求k的值和反比例函数解析式的方法
由k的几何意义直接得出反比例函数解析式.
:
根据图象特征求出图象上某个点的坐标，然后用待定系:
数法求反比例函数解析式.特别是当图象上有两个未知坐标的点:
时,常设一个参数，根据几何图形的特征，用参数把图象上两个:
点的坐标表示出来，然后根据呀二&列方程，求出参数，得两个点:
的坐标，即可得出反比例函数解析式.
:
例1
（2019黑龙江齐齐哈尔，15,3分）如图，矩形ABOC的:
顶点B、C分别在%轴,y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标:
为（-2,0）.将线段OC绕点。逆时针旋转60。至线段。。，若反比:
k
:
例函数
尸一（5）的图象经过A^D两点，则k值为
.:
X
|
8
设点
A（0,6）（0〉O,6〉O）,则点
B（
-a,
-
b）,所以
AC
=
0,点B到直线AC的距离是2们则S△倒二;Xax2b二部二8,将点
:A的坐标代入反比例函数表达式可得k二泌二8.
:二、反比例函数的性质在几何中的应用
:
反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合
:考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征，
:列方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式，或用点的坐标表
:示线段的长度来探究几何图形的某些特征.
解析过D点作DEVx轴于E点，
?丁四边形ABOC是矩形，8（-2,0）,
...
AB
=
OC,ABlx
轴,
k
二
^4
=xb
=
_2，二
yA
=_5，
...0C
=
AB
=-—
2
■
L
:
例2
（2018湖北黄冈，19,6分）如图，反比例函数尸一3
:
光
:〉0）的图象过点4（3,4），直线AC与為轴交于点C（6,0），过点C
:作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
:
（!）求&的值与B点的坐标；
:
（2）在平面内有点。，使得以A,
B,C,
D四点为顶点的四边
:形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标.
k
由旋转知0D=0C二一亍，匕C0D
=
60。,
乙
DOE
=
30。，
k
...
DE
=
OD二
——,OE=ODcos
30。
4
D'
I-
???反比例函数尸一(
^0)的图象经过D点，
X
73
/
1
\
/.
k
—
―^k
,
I
—
k
I
:
1^3
V
&尹0,二
k=
.
k
解析（1）
反比例函数尸一（先>0）的图象过点4（3,4）,
%
厶
12
.r=4"
=12,反比例函数的解析式为
尸一
3
%
由题意易知点B的横坐标为6,
12
v点B在反比例函数y二—（%>0）的图象上，
%
针对训练2
(2019四川成都，19,10分)如图，在平面直角
坐标系xOy中，一次函数y
=
~^x+5和y
=
-2x的图象相交于点A,
I-
反比例函数y二一的图象经过点4
x
(!)求反比例函数的表达式；
k
(2)设一次函数y
二
；^+5的图象与反比例函数尸一的图
x
象的另一个交点为B,连接。B,求△AB。的面积.
解析(1)由(尸&+歸解得［=-2,
1尸-2.,
I
尸4.
.??点A的坐标为(-2,4).
k
k
把(-2,4)代入尸一中，得4
=二，代=-8.
反比例函数的表达式为y二—.
%
，］
『二y+?
3=-2,仔=-8,
(2)由｛
O解得］1
J
-
二資
顷二4,奴=L
、
技
-8,1),
直线BO的解析式为尸-丄.
O
过点A作AC!%轴交BO于点C,则片二土,
二
S^AB0
=
—
-
AC
-
(x0-%B)
=
—x(4_彳)x(0+8)
§
3.4二次函数
知识清单直
对应学生用书起始页码60页
考点一二次函数的图象与性质
:考点二
系数a、b、c的作用
概念
:
一般地，形如①y二如^+城+c
（。尹0,a,6,c为常数）的函数［
叫做二次函数.
:
二次函数的图象与性质
:
幻+"
:就是方程组卩
（幻，0）,（
,,0）；对称轴是直线
y
-
2
Q
一宀辫館姉r研卡、土
:
2.二次函数与一元二次不等式之间的关系
—久函数解析式的求法
：
，八
一一、宀十二?
,
（1）
一兀一次不等式ax~+城+c〉。（。尹。）的解集就是抛物线
方法1：侍疋系数法,母确疋一个未知系数，就需要一个已知：
.
占或条件?把已知占的坐标代入函数解析式或者用已知条件列］尸宀宀（握°）位于“轴上方的点的横坐标“的取值集合；
II，J
J
I>
Z1-八、、H
J
|/-J'
J、丿、t=U
十
1/
I
亠、，-^Ai-T=l
）
IJ
I~>
T'H
I
I
x
-J
.
—■
_.
v<
—fyfi-
［、.
r
u_-亠卜
口
jr
.
itr,
/,r-
t
一兀一次不等式aE+k+c<0（aW0）的解集就是抛物线y
=
a%-
+
出方程，求碍该未知系数的值，写出函数解析式；
,
h%
+
o
<
n
0）彳\/
—H
T
卜'
n'白々占白々木苗坐木永y白々4百
方法2：平移图象法，在判断平移后的函数解析式时,可以用［:勺、）1二
仃必:
比Xe
（2）
一兀一次不等式aX-+bx+c>k（。夭0）的解集就是抛物线
平移规律“上加下减，左加右减”直接写出；也可以把一次函数解：
，
y
二切+弘+c（。夭0）在直线尸k上方的点的横坐标为的取值集
析式化为顶点式，按照平移的方式，求出新函数的顶点坐标，用
，
合;一兀一次不等式处-+
bx+c0尹0）的解集就是抛物线y二
顶点式写出新函数解析式.
:.
:ax~
+bx+c（。尹0）在直线y-k下方的点的横坐标%的取值集合.
；
（3）—兀二次不等式ax2+bx+c>mx
+
n（。尹0）的解集就是抛
；物线y
=
ax2+
bx+c（
a尹0）在直线y
=
mx
+
n上方的点的横坐标%
；的取值集合;一元二次不等式ax2
+
bx+c+
n（。尹0）的解集就
■是抛物线y
=
ax2+bx+c（。尹0）在直线y
=
mx
+
n下方的点的横坐
:标的取值集合.
一、
用待定系数法求二次函数解析式
若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式:y二处勺城
+。（
0尹0），利用待定系数法求得a,b,c的值.
若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点
式:y
=
a（
x-h）2
+
k
（。尹0），其中顶点坐标为,对称轴为直
线
%
=
h.
若已知抛物线与轴的交点的横坐标，则可采用交点式:y
二。
（%-%,）（光-光2）（。尹0）,其中与光轴的交点坐标为（光|,0）,
（死，0）.
例[（2017
广西百色，17,5
分）经过
A
（4,0）
,B
（-2,0）,
C（0,3）三点的抛物线的解析式是
.
解析
设抛物线的解析式为y
=
a（光+2）（光-4）（。尹0）,
3
把C（0,3）的坐标代入得-8a
=
3,即a
=―—,
8
3
3
则抛物线
的解析式为y二一-—（光+2）
（%-4）二一-
尸+
近+3.
8
8
4
3
答案广一_±尸+_?_
3
丿8
4
针对训练1
（2019河南，8,3分）已知抛物线y
=-x~+bx+4
经过（-2,口）和（4,口）两点，则n的值为
（
）
A.-2
B.-4
C.2
D.4
答案B
解析?丁抛物线经过（-2,口）和（4,口）两点，
（n
=
-4-26+4,
b
=
2,
t
?”
』解得{
/故选B?
n
=
-16+46+4,
n
=
-4.
二、利用函数的图象和性质比较大小或判断字母的取值
范围
在比较几个点的纵坐标大小时，方法一是画出图象，标出
这几个点，由点的上下位置来判断;方法二是先判断这几个点是
否在对称轴的同一侧，不在同一侧的，按照抛物线的对称性，找
到对称点,然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小.
在判断有关a、b、c的式子的符号时,主要从抛物线开口方
向、对称轴的位置、特殊点等几个方面判断.
判断不等式的解集时,可以先观察函数图象的位置，确定
符合题意的自变量的取值范围.
例2
（2019福建，10,4分）若二次函数
尸
也I尸一bx+c的
图象过不同的五点A
（
m,n），勤（0,[|）
,C
（3-m,n）,。（次,％）,
E（2,T3）,则幻，％,[3的大小关系是
（
）
D?％解析?「I
a
1〉0".抛物线的开口向上.
V
抛物线过
A（m,n）和
C（3-m,n）,
3
抛物线的对称轴为直线%
=—.
作出二次函数的大致图象，如图.
■
由图可知y2答案D
针对训练2
（2017黑龙江齐齐哈尔，
:10,3分）如图，抛物线y
-
ax~+bx+c（。尹0）
:的对称轴为直线=
-2,与轴的一个交点
:在（-3,0）和（-4,0）之间，其部分图象如图
:所示，则下列结论：①4。-
b
=
0；②c
<0；
■③-3。+c〉0
；④
4。-
2b〉at1
+
bt
（
t
为实数）；⑤点（一—,y
|
）,
:（一；，％）,（-!，儿）是该抛物线上的点，则幻<%<外，正确结论
?的个数是
（
）
:
A.4
B.3
C.2
D.1
答案B
:
解析
v抛物线的对称轴为直线%二-;二-2".4a-b
=
0,
:
2。
:故①正确；?「抛物线与%轴的一个交点在（-3,0）和（-4,0）之
:间由抛物线的对称性知，抛物线与%轴的另一个交点在（-1,
:0）和（0,0）之间抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，即c
!
<0,故②正确；由②知，页=-!时y〉0,且b
=
4a,即a-b+c
=
a-4a+c
:=-3q+c〉0,故③正确；由函数图象知当%
=
-2时，函数取得最大
:值".4a-26+c
at2
+
bt+c,即
4a-26
at2
+
bt{
t
为实数），故④错
■误;?「抛物线的开口向下，且对称轴为直线为二-2".抛物线上的
j点离对称轴的水平距离越小，函数值越大，,故⑤错
:误.故选B.
:三、二次函数图象的平移规律
:
在判断平移后的函数图象时，用平移规律“上加下减，左加
:右减”直接写出；给出两个二次函数，判断平移的方法时，要把二
i次函数解析式化为顶点式，按照顶点坐标的变化写出平移方法.
!
例§
（2017江苏盐城,6,3分）如图，将函
'
，数尸!（
-2广+
1的图象沿y轴向上平移得
/
:到一个新函数的图象，其中点A（l,m）、B（4,n）
半匕/
i平移后的对应点分别为点妃、B'.若曲线段AB
_組山
：扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新函数C
；
i的表达式是
（
）
11,
1
:
A.y二—（x-2）
__2
B.y二—（%-2）
一+7
:
2
2
■
:
1
1
:
C.y
=
—（%-2）2-5
D.y
=
光
_2）?+4
]
:
解析函数y
=
—
3-2）
2
+
1的图象过点
!
，
捉（4,勿，
:
1,3
1
,
:
/.
m
—
（
]-2）_
+1
，口
=
4-2）
_
+
1
=
3,
:
A
（1，?），8（
4,3）,
:
过A作AC^x轴，交B'B的延长税于点C,则C（4，m）,
:
AC
=
4-1
=
3.
■
v曲线段AB扫过的面积为9,
:
AC
-
AA'
=
3AA'
=
9,^
AA'
=
3,
即将函数广;顷-2)
2+1的图象沿y轴向上平移3个单位
长度得到一个新函数的图象，
二新函数的表达式是
尸;(%-2)
2+4.
故选D.
答案D
针对训练3
(2018新疆乌鲁木齐，13,4分)把抛物线y二
2尸一也+
3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为
■
答案
y
=lx-
+
!
!
解析易知y
=
2尸-心+3
=
2(光-1广+1,则把原抛物线向左
:平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2—L
§
3.5二次函数的综合应用
。对应学生用书起始页码68页
考点一抛物线与距离、面积、角度
直角坐标系中两点之间的距离
如图，（1）线段
AB^x
轴时,AB=
I-xB
I
=①
xB-xA
；
（2）
线段
CDffy
轴时，CO
=1
yc-yD
丨=②
yc-yD
；
（3）
当线段不平行于坐标轴时，常过线盛而如作坐标轴的
平行线，转化为（1）（2）两种情况，利用勾股定理求线段长.
EF
f
广+(
yE
-
y,)2
-
图形的面积
（!）如图1,当三角形的底边平行于坐标轴，或者在坐标轴
上时，
通"轴时，作CM丄%轴，交AB于D,垂足为M,
S△伯c二
]
AB
-
CD
；
2
EG^y轴时，作FN丄y轴，交EG于丑，垂足为N,
S△席二
]
EG
-
FH.
2
如图3,作轴，交化于矿垂足为。，过A作AN1CD
于乂过B作BMLCD于必，则S△倒二S△徐+S
△以二;CE（
AN+
BM）二③5（片一九）（光厂均）-
如图4,过三角形的顶点作坐标轴的平行线，构成矩形，则:
—
S矩形AEFD
—S
"BE
^BCF
^ACD'
（3）求四边形和多边形的面积时，可以作坐标轴的平行线，
割补为三角形、矩形等来解.
直角坐标系中的“距离和最短”问题
如图，作点A关于直线I的对称点C,连接BC交直线I于点
P,则PA+PB最短，解答时，可以先求出直线BC的解析式，再求
出点P的坐标.
有关角的问题,可以构造直角三角形，利用锐角三角函数
求值;或者构造全等（或相似）三角形，把角的问题转化为边的问
题来解.
:考点二抛物线与特殊三角形、特殊四边形
:
1.用尺规作出图形，用顶点的坐标表示图形的边长，利用图
:形的边之间的关系，如等腰三角形的两腰相等，直角三角形的勾
:股定理，平行四边形的对边平行且相等，圆心到切点的距离等于
:半径，等等，构造方程或直接得解.
:
2.如图，过口ABCD的顶点作坐标轴的平行线，可得Rt—ADE
:/RtRCBF，所以
DE
=
BF,AE
=
CF,所以
xD
-
xA
=
xc
-
xB
-
二
■
Tc_yg，貝卩xb
二均+光c，④
儿+无二为+片-
:
用顶点的坐标表示图形的边长，利用全等（或相似）三角形
:的对应边相等（或成比例）解答问题,注意分类讨论思想的应用，
:不要漏解.
:
思路：L清楚已知的三角形特征，如等腰三角形，直角三角
:形，边长是多少，角度是多少，等等;2.设未知数，用未知数表示未
:知的（或动态的）三角形的边长;3.根据全等（或相似）三角形的
，性质，利用对应边相等（或成比例）列方程，解方程得出未知数的
i值，代入即可得动点的坐标.
j考点四
二次函数在实际生活（生产）中的应用
?
主要考查利润最大，方案最优，面积最大等问题.
:
一般步骤：
（!）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
（2）
确定自变量的取值范围；
（3）
分析所得函数的性质；
（4）
解决提出的问题.
题型方法蠢
例〔(2019内蒙古包头，26,12分)如图，在平面直角坐标［
系中，已知抛物线y二探+城+
2(
尹0)与x轴交于A
(-1,0)、:
8(3,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.
:
(!)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴方程；
:
点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、DB，若LDCB二:
乙CBD,求点D的坐标；
:
已知5(1,1),若E0,y)是抛物线上一个动点(其中K
j
光＜2),连接CE,CF,EF,求ACEF面积的最大值及此时点E的:
坐标；
1
若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点:
必,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，:
请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明:
理由.
:
解析
(1)
V
抛物线
y-ax~+bx+2(a^＜3)过
4(
-1,0)
,5(3,;
0)两点，
1
0二」
:
亿一6+2
=
0,方c
3
'
:
”9刑
0,解得|
4
；
4
:
抛物线的解析式为y二一命°+w+2.
:
3
■
对称轴方程是%
=1.
(3分):
(2)过点D作DGLy轴于G,作DH1%轴于H.
:
设点
0(1,&),?「C(0,2)
,8(3,0)，/.在
RtACGD
中，；
CG-+GD-
=
(2-贝,)2
+
(1-0)2,
;
在
中，BD2=
BH2+HD2
=
(3-1)
2
+
(y?-0)2.
:
冬
NBCO
中，?丁
ADCB
=匕
CBD,，.
CD
=
BD,:.
CD2=
BD2.
:
]:
二(2-贝〉)「+
(
1一。)-二(3T)
一
+
(贝厂。)-".4&
=
1".
y0
;
.??点D的坐标是(1,；).
(6分):
1
1
1
二
Smef
二
EQ
-
QRfEQ
-
QCf
CR
-
RF-^^FP
-
EP
=光(7一1)
_；光([一2)
2，4,
c
y
=_亍"一
+；光
+
2"?
S^CEF
.
S
=-丄
W
f+竺
■■
E
3
4
48'
1
7
-亍＜°,
1＜〒＜2,
7
49
当光=—时，ACEF的面积取最大值，为京.
48
此时点E的坐标为
(:，負
.
(9
分)
(4)存在点使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
点M的坐标为(2,2)或
(4,当或("?)?(
n
分)
针对训练1
(2017江苏盐城,27,14分)如图，在平面直角
坐标系中，直线T二;光+2与光轴交于点A,与y轴交于点C,抛
物线y二一x2+bx+c经过4、C两点，与%轴的另一交点为点B.
(!)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点.
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E,厶CDE的面
积为S|，厶BCE的面积为
財求了的最大值;
②过点D作DF1AC,垂足为点F,连接CO,是否存在点D,
使得△
CDF中的某个角恰好等于ABAC的2倍？若存在，求点
D的横坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
解析(1)根据题意得4(
-4,0),C(0,2),
抛物税y
x2+bx+c经过A^C两点，
1
.
v
二
%
丿2
13
13
(2)①在
y=%2%+2
中，令
y
=0,贝J
%2%+2=0,
解得光|二一4,气=18(
1,0),
■
如图，过D作DM1%轴于必，交AC于K,过B作BN1%轴:
交
AC
于
N,:.
DM^BN,
:
△DKEs^BNE,
_
DK
-BN
HJa+2),
DF
=3k,DC
=
5k,
M
1
.「tanZOGC
二——二——,
FG
2
'
二
FG
=
6k,
CG
=
2&,OG
=
3$k,
245
4
沔
/.
RC
—
---k,
RG
—
---k,
l
屿
lb/5
/.
DR
—
345
k—--k
—
—-—k.
设
D
，一亍—m2
+
2),
1
2
3
DR
—
.RC
—
m，
-，
2
-
2
-
,4
_
DE
一
5?
-~BE
设
(。,一一
...
K(
]
a,
，2
_
DK
二
M
-BN
也+2)乂1,三)，
1U5t
k
DR
_
5
_
二局=2$
=
1
2
3
L
m，
5
“
2
-
2
?
29
解得R=-五或。(舍去).
1
.
c
a
—2a
2
1
,八，4
兰
r(a+2)
+;?
T
S|
4
当a
=
-2时，于取得最大值，最大值是w
②存在.：A(
-4,0)
,B(l,0)
,C(0,2),
AC
=
2-/5
,BC
=
-/5
,AB
=
5,
AC-+BC~=
AB-,
AABC是以AACB为直角的直角三角形.
取AB的中点P,:.
Pf
,0),
29
综上可得，点D的横坐标为-2或-侦.
连接PC,
...
pa
=
PC
=
PB
5
...厶
CPO
=
2^BAC,
.?.tanZCP。=
tan
2LBAC二;,
:二、抛物线与三角形、四边形的综合应用
抛物线与三角形、四边形的综合应用问题有两类，一类是用
i参数表示图形顶点的坐标，进而表示图形的边长,利用特殊三角
i形、四边形的边的关系列方程，求出参数和点的坐标；另一类是
i用顶点坐标求出边长，验证图形的形状.
例2
(2019四川成都,28,12分)如图，抛物线y
=
ax~+bx
+c
:经过点4(-2,5)，与算轴相交于8(-1,0)
,C(3,0)两点.
:
(!)求抛物线的函数表达式；
!
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将
；△如。沿直线BD翻折得到^BCD，若点C'恰好落在抛物线的
；对称轴上，求点C'和点D的坐标；
:
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物
:线的对称轴上，当△
CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表
■达式.
过D作%轴的平行线交y轴于R,交AC于G,
情况一：如图，匕DCF
=
2^BAC
=乙DGC+乙CDG,
?:匕DGC=乙R4C".
LCDG
=ABAC,
]
tan
Z
CDG
=
tanA
BAC
=—,
2
即竺=丄，
DR
2
'
设
D
——"+2),
1
,
3
DR
—
—m,
,RC
—
m~.
m
'
2
I
2
/
K
N
\
七
，/
匕
p
■^7
.
3
m.
m.
'2
1
2，
解得时=-2或0(舍去),
xD
—
_2.
情况二:匕FDC
=2ABAC,
.4
tan
Z
FDC
=—.
3
设
FC
=
4心〉0),
解析
解得
=
~2,
(c
二-3.
抛物线的函数表达式为
尸/一2为-3.
(2)
?丁抛物线与%轴的交点为B(-1,0)
,C(3,0),
a
BC
=
4,抛物线的对称轴为直线%
=1.
设抛物线的对称轴与光轴交于点丑，则H点的坐标为(1,
0）
,BH
=
2.
由翻折得CB=CB
=
4.
在Kt
ABHC中，由勾股定理，得
C
H=y/CBr-BH-
C'
h
2a/5~
二点
C，的坐标为（1,2
寫）,tan
厶
C
'BH
=
二
一-一
=
4^.
BH
2
LCBH
=
60°.
由翻折得
LDBH
=
^LC'BH
=30。.
②当点P在%轴下方时，点Q在%轴下方.
?丁
△QCP,PCCB为等边三角形，
...
CP
=
CQ,BC
=
C'C,ACC'B
=AQCP
=AC'CB
=60°.
ABCP=匕
C'CQ.
△BCP丝△OCQ.l
^CBP
=ACC'Q.
?:
BC
=
CC',C'H丄BC,
ACC'Q
=;CCC、B
=30。，
ACBP
=30°.
设BP与y轴相交于点E.
亠
■丄
73
在
中，。E
=
0B
-
tanZCBP
=
0B
-
tan
30。二
lx§
在
中，。丑二BH
■
tan^DBH
=2xtan
30。
设直线BP的函数表达式为y=k'x+b',
(3)取(2)中的点C',D，连接CC.
?:
BC
=
BC.ACBC
=
60。,
ACCB为等边三角形.
分类讨论如下：
①当点P在%轴上方时，点Q在%轴上方.
连接
BQ,C'P.
?丁
APCQ,AC'CB为等边三角形，
...
CQ=CP,BC二CC,匕PCQ
=AC'CB
=
60°.
...匕BCQ=乙C'CP....
ABCQ^AC'CP.
BQ
=
CP.
?丁点Q在抛物线的对称轴上,8。=
CQ.
CP
=
CQ
二
CP.
又?丁
BC，=
BC,
.?.BP垂直平分CCL
由翻折可知BD垂直平分CCL
.??点D在直线BP上.
设直线BP的函数表达式为尸kx+b,
I
^
=
-k+b,
2疗
解得'
丁二屮
直线BP的函数表达式为［
=
?%+??
解得］
b'=
针对训练2
(2017四川广安，26,10分)如图，已知抛物线
7
=
-/+城+c与y轴相交于点4(0,3),与算轴正半轴相交于点
饥对称轴是直线%
=L
(!)求此抛物线的解析式以及点B的坐标；
(2)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿%
轴正方向运动，同时动点N从点。出发，以每秒3个单位长度的
速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，必、N同时停止运
动.过动点M作%轴的垂线交线段AB于点交抛物线于点P,
设运动的时间为t秒.
当t为何值时，四边形0MPN为矩形？
当t>0时，△的0能否为等腰三角形？若能，求出t的值;
若不能，请说明理由.
?丁抛物线过点A(0,3)".
c
=
3,
抛物线的解析式为y二-宀2^+3,
令y
=
0,可得-先'+2先+3
=
0,解得%
=
-1或%
=
3,
.??8点坐标为(3,0).
(2)①由题意可知ON
=
3t,OM
=
2t,
v
P在抛物线上,
二
P(2t,-4t2+4t+3),
?丁四边形OMPN为矩形，.?.
ON
=
PM,
(!)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每
辆货车的日租金是多少元？
(2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨
20元,每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆
货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
解析(1)设该出租公司这批对外出租的货车共有%辆.
m加昨圣店1
500
/
1
\
4
000
根据题意'得顼-"、)二'，
解得%
=
20.
经检验?
=
20是所列方程的解.
1
5004-(20-10)=
150(元).
答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆
货车的日租金是150元.
(5分)
(2)设当旺季每辆货车的日租金上涨0元时，该出租公司的
日租金总收入为w元.
根据题意，得
W
=[a+150x
"+；)]
,(20一会)，
1
，
1
,
、，
w
—
a~
+
10a+4
000,.'.
w
—
(。一100)一+4
500.
20
'
20
'
3
/.
3t
二
一4厂+4
+3，解得
t
=1
或
t
=―—(舍去)，
?丁
一二<0".当a
=10。时，位有最大值.
当t的值为1时，四边形OMPN为矩形.
②能.?丁
4(0,3)
,8(3,0),
OA
=
OB
=
3,且可求得直线AB的解析式为y=f+3,
当
t>0
时，OQ^OB,
当厶BOQ为等腰三角形时，有OB
=
QB或OQ=BQ两种
情况.
由题意可知OM斗入Q(2t,-2t+3).
/.
OQ
=
\/(2
)
_
+
(
_2
+3)
_
=
”8厂-12i+9
,
BQ二
J(2片3广
+
(-2
+3)2
W2l2i-3I
,
又由题意可知0q<1,
当OB
=
QB时，有VI⑵一3丨二3,
3
当OQ
=
BQ时，有
丿8户一12
+9=7!|2片3丨，解得t
.
综上可知，当t的值为甘2或j时，△B。。为等腰三角形.
三、利用二次函数的性质解决最优化问题
利用二次函数求最值的方法:一是利用公式，对于二次函
h
A-nc—h~
数y
=
ax2+bx+c(。尹0),当x
时，函数取最值
;二是配
2a
4a
方法,把一般式化为顶点式，利用任意一个数的平方大于等于0
求出最值.
利用最值解决实际生活中的最优化问题，应认清变量所
表示的实际意义,要符合实际.
例3
(2019内蒙古包头，23,10分)某出租公司有若干辆
同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两
种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨!.据统计，淡
季该公司平均每天有10辆货车未租出，日租金总收入为1
500
元;旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4
000元.
答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的
日租金总收入最高.
(10分)
针对训练3
(
2018江西，21,9
尸千克)
分)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户20°---\
承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获15。[一"「\
季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千
亍
.
：
克，投入市场销售时,调查市场行情，发
°
I，知兀/「克)
现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价
只元/千克)之间的函数关系如图所示.
(!)求y与的函数关系式，并写出的取值范围；
当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最
大？最大利润是多少？
某农户今年共采摘蜜柚4
800千克，该品种蜜柚的保质
期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售
完这批蜜柚？请说明理由.
解析(1)设y与光的函数关系式为y
-
尹0),
将(10,200)和(15,150)代入，得
卩°
=
20
°’解得卩=
T0，
115&+6
=150,
b
=
300.
二y与%的函数关系式为y
=
-10%+300.
由一1。光+30030,得
%^30,
%的取值范围为8W光W30.
(2)设该品种蜜柚定价为%元/千克时，每天销售获得的利
润为
W
元，依题意，得
W
=
(T)(-m
+
300)
=-10
(%-19
广
+
1
210,
.丁
一10<0,8Wa；W30,...当
%
二19
时，驴最大值=1
210.
因此，该品种蜜柚定价为19元/千克时，每天销售获得的利
润最大，最大利润为1210元.
(3)不能.
理由：按(2)中每天获得最大利润的方式销售，
由(])得
y=-10x19+300=110,
?「110x40
=
4
400<4
800,
该农户不能销售完这批蜜柚.
第四章图形的认识
§
4.1角、相交线与平行线
。对应学生用书起始页码80页
考点一角
1.1。=
60',1'
=
60”.
如果两个角的和等于90。，那么就说这两个角互为余角，
同角或等角的余角相等.
如果两个角的和等于180。,那么这两个角互为补角；如果
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，这样的
两个角互为邻补角；同角或等角的补角①相等.
如果一个角的两条边与另一个角的两条边互为反向延长
线,那么这两个角互为对顶角；对顶角②虫生.
考点二
相交线和平行线
两点确定一条直线；两点间线段的长度叫做两点间的距
离;两点之间③箜圭最短.
平面内，过一点有且只有④二^直线与已知直线垂直.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑤垂线段最短.
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行线的性质:两条直线平行，同位角相等，⑥主疊电_相
等，同旁内角互补.两条平行线之间的距离相等.
平行线的判定方法
(!)同位角相等,两直线平行.
内错角相等,两直线平行.
同旁内角⑦两直线平行.
平行于同一直线的两条直线平行.
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线⑧兰立_.
考点三角平分线和线段的垂直平分线
角的平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离⑨虫生;角的内部到
角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相
等;到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的⑩
直平分线上.
题型万吳
。对应学生用书起始页码80页
一、平行线与角平分线、三角形内角和定理的综合应用
如图所示，直线当BC平分厶时，易得厶1二厶2二
?3,AABC是等腰三角形，利用这个性质,我们可以求某个角的
度数,或者求AB^AC的长度.在求角度时，常常会用到三角形内
角和定理.
例2
（2018黑龙江大庆，9,3分）如图，匕B=匕C
=
90。，必
是BC的中点，DM平分LADC,且LADC
=110。，则厶MAB=
例〔（2018河南，9,3分）如图，已知
UAOBC
的顶点
0（0,0）
,A（T,2），点
B
在
%
轴正半轴上.按以下步骤作图：①以点。为圆
心,适当长度为半径作弧，分别交边04,0B
A.30。
B.35。
C.45。
解析作MN^AD于N,
D.60。
于点D,E；②分别以点D,E为圆心，大于;OE的长为半径作弧,
两弧在LA0B内交于点F；③作射线。交边AC于点G项I」点G
的坐标为
（
）
A.^/5-1,2)
B.G/5,2)
C.(3^/5,2)
D.^5-2,2)
解析如图，设AC与y轴交于点丑.
在口A0BC
中，AC”08".
AHLy
轴，
?丁
A(-1,2)，/.
AO
=
V(-1)-+2-=妨，
由作图知0F平分AA0B，又AC^OB,
AAOF
=LB0F
=LAG0,
.丁
LB
=
LC
=
90。，
AB^CD,
乙
DAB
=180°
-LADC
=
70°.
?丁
DM
平分
AADC,MN
1AD,MC
1
CD,
MN
=
MC,
?丁
M是BC的中点，
MC
=
MB,
MN二必饥又
MN1AD,MB1AB,
]
A
MAB
=
A
DAB
=35。，
2
，
故选B.
二
AG
=
AO
=
^5
,HG=AG-AH
=
J^-1,
.??点G的坐标为（A-1,2）.故选A.
答案A
针对训练1
（
2019湖北黄冈，13,3分）如图，直线AB
//
CD,直线EC分别与旭,CD相交于点丸点C.AD平分^BAC,已
知厶ACO
=80。，则ADAC的度数为
答案50。
解析
因为AB^CD，所以厶BAC+
AACD
=180。，所以ABAC
二
100。，又
AD
平分
ABAC,所以
LDAC
=
50。.
二、合理利用角平分线解题
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.合理
利用角平分线的性质以及角的轴对称性构造全等三角形，可以
判断角或者线段之间的关系.下面是三种常见的辅助线作法.
答案B
针对训练2
（
2018湖南常德，6,3分）如图，已知BD是
△ABC的角平分线,EO是BC的垂直平分线，匕BAC
=
90。,曲二
3,则CE的长为
（
）
B.5
C.4
A.6
答案D
D.3寫
解析?「ED是BC的垂直平分线,
DB
=
DC,
ZC=厶DBC.
?丁
BD是W8C的角平分线，
匕ABD=匕DBC,?丁
匕BAC
=
90。，
AC
=
zLDBC
=
zLABD
=
30。，
BD
=
2AD
=
6,
CE
=
CDxcos
C
=
3^3
.
故选D.
§
4.2三角形及其全等
。对应学生用书起始页码85页
考点一三角形的相关概念
1.三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形叫做三角形.
2.三角形的分类
(1)按边分:
定理
三角形三个内角的和等于⑥_!虹
推论
直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
(底边和腰不相等的等腰三角形
i①等边三角形
(2)按角分:
三角形
(②直角三角形
""一布并J锐角三角形
〔斜二角形I钝角三角形
i考点二全等三角形的判定与性质
:
1.全等三角形的性质
:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
:
2.全等三角形的判定
3.三角形的中位线
定义:连接三角形两边③也点的线段叫三角形的中位线.
性质:三角形的中位线④兰尘于第三边，且等于第三
边的一半.
4.三角形三边的关系
文字叙述
数学语言
理论依据
图形
内
容
三角形两边的
和⑤大于第
三边
在
AABC
中，a,
b,c为三边长，则
有
a+b>c,b+c>a,
a+c>b
两点之
间，线段
最短
A
三角形两边
的差小于第
三边
在
AABC
中，a,
b,c为三边长，则
有
a~bc~a应
用
判断三条线段能否组成三角形.
已知三角形的两边,求第三边的取值范围
判定
判定1:三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或
“SSS”)
判定2：两边和它们的⑦夹角分别相等的两个三角形全等
(简写成“边角边”或“SAS”)
判定3：两角和它们的⑧夹边分别相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”)
判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
(简写成“角角边”或“AAS”)
判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
题型万吳
一、利用三角形的“三线”的性质解题
1.三角形的高的有关结论
如图1,已知BE、CD是^ABC的两条高，可以得到“-ABE
=
LACD''"
△ABE5AACD”3DBF5AECF”“D、B、C、E
四点共
圆”等结论.
如图2,已知直线a^b,可得S
△伯c二S△庭°
2.三角形的角平分线的有关结论
如图3,BD、CE是
MBC的角平分线，可得ABOC
=
90。+
:
/LEAD
=
LBAD-LBAE
=
5°.
:
?丁
A
ABC
中，匕C
=180°
-AABC-^BAC
=
70。，
:
AEAD+AACD
=
5。+70。=
75。，
:
故选A.
答案A
:
针对训练1
（2018浙江湖州，8,3分）如图，已知在
:中，厶R4O90。,点D为BC的中点，点E在AC上，将△
CDE沿
:DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD,
:则下列结论不一定正确的是
（
）
:
F
如图4,
BD平分Z4BC,
CO平分匕ACE,可得ABOC二
C
AAE
二
EF
AB
=
2DE
AADF和^ADE的面积相等
AADE和△FOE的面积相等
答案C
解析如图，连接CF,
]
tab-
3.三角形的中线的有关结论
如图5,AD是^ABC的边BC上的中线，可得S△伯/SA4C0.
如图6,
CD是Rt
A
ABC的斜边AB上的中线，可得CD
=
例［（2018湖北黄石，7,3分）如图，AABC中，AD是BC
边上的高,AE、BF分别是匕BAC、匕ABC的平分线，ABAC
=
50。，
A
ABC
=
60。，则厶
EAD+
匕
AC。=
A.75。
ED
B.80。
C.85。
D.90。
解析?丁
AD是BC边上的高，
AADB
=
90。，又?丁
匕
ABC
=
60。，
ABAD
=
90°
-A
ABD
=
30°.
?丁
AE
平分
ABAC,
]
...厶
BAE
=
ABAC
=
25。，
2
?丁点D是BC的中点，
BD
=
CD.
由折叠知，丁ACB
=
LDFE.CD二DF,
BD
=
CD
=
DF,
ABFC是直角三角形，
LBFC
=
90。，
?丁
BD
=
DF,
AB
=匕
BFD,
LEAF
=
AB+AACB
=
ABFD+ADFE
=匕
AFE,
AE
=
EF,故
A
正确.
由折叠知,EF
=
CE,
AE
=
CE.
?:
BD
=
CD,
DE是厶ABC的中位线，
AB=2庭，故B正确.
?丁
AE
=
CE,
-Q
-
Q
--2
4ADE
—
CD?，
由折叠知，△
CDE^^FDE,
:
-二
Q
I
-
-
Q
4CDE—
2-FDE，
:
二S厶硕，故D正确，
■
」.C选项不正确，故选C.
:二、合理选择全等三角形的判定方法解题
:
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形
:全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个
元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确
地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而
得到判定两个三角形全等的思路：
（找夹角一
SAS
（1）已知两边｛找直角一HL
I找第三边一
SSS
证明
v
Al=
Z2,
已知
（2）
一
边、＜
一角
『一边为角的对边一找另一角一AAS
一边为角
的邻边
（找夹角的另一边一
SAS
|找夹边的另一角一ASA
I找边的对角—AAS
Z1+ZD4C
=乙2+ZOAC,
即
ABAC
=LDAE.
I
ABAC
=厶DAE,
AB
=
AD,
LB
=—D,
△旭C丝ASA）,
BC
=
DE.
（1分）
（3分）
（5分）
（6分）
针对训练2
（2017湖北武汉，18,8分）如图，点C,
F,E,B
在一条直线上，匕CFD
=
LBEA.CE=BF,DF=AE.写出CD与AB
找夹边一'ASA
（）巳知两角I找其中一角的对边一AAS
若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添
加辅助线,如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法
等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.
例2
（2018云南昆明，15,6分）如图，在AABC和AADE
中，二
AD,LB
二乙。，厶1二乙2.求证：=
DE.
之间的关系，并证明你的结论.
解析
CD与AB之间的关系为CD=AB,且CD^AB.
证明：?丁
CE
=
BF,:.
CF
=
BE.
CF
二
BE,
在^CDF
和△R4E
中
J
LCFD=匕BEA,
\DF=AE,
△CDF^ABAE,
CD
=
BA,乙
C
=厶
B,
CD^BA.
考点一等腰三角形
§
4.3等腰三角形与直角三角形
@对应学生用书起始页码92页
1.等腰三角形的概念、性质与判定
概念
有两条边①相等的三角形是等腰三角形
性质
等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴.
性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边
对②等角")
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的③虫线_、
底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
判定
等角对等边
2.等边三角形
等边三角形｛
性质｛
判定｛
三条对称轴
三个内角都是④宜二
三个内角都相等的三角形
有一个内角是⑤史的等腰三角形
i考点二直角三角形
概念
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑥二.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直
角边等于斜边的⑦二±_
■
勾股定理:在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜
边c的平方，即⑧准+疽二疽
判定
如果三角形一边上的中线等于这条边的⑨二±_，那么这
个三角形为直角三角形.
勾股定理的逆定理:如果三角形的两边的⑩兰等于
第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
。对应学生用书起始页码92页
一、等腰三角形的性质及相关模型的应用
DE
=
6-6%
=
3寫-3.
“等边对等角”
“三线合一”.如图1,在等腰△旭c中，旭二
AC,AD是底边上的中线，可得厶8=厶是底边上的高和顶
角的角平分线.
A
B
D
C
图1
图2
“手拉手模型”.如图2,等腰△旭C和等腰△
ADE,公共顶
点为
A,^BAC
二乙
DAE,可得△ACE
丝
A
ABD.
“半角模型”.如图3,等腰△旭C中，化二AC,点D、E是边
BC上的两点，匕DAE二;ZR4C,将八厶与。绕着点A顺时针旋转
角
a（注
a
=ABAC），得到连接
可得△
ADF^AADE,
DF
二
DE.
例1
（2017湖北武汉，15,3分）如图，在△
ABC中,AB二AC
=
20"AC
=120。，点
D,E
都在边
BC
上，厶OAE
=
60。.若
BD
二
2CE,则DE的长为
.
解析
如图，将△ABO沿AD所在直线翻折得△AF。，连
接EF,
AB
=
AF=AC,BD
=
DF,
LAFD
=LB
=
30°.
.丁
ABAC
=120°,
A
DAE
=
60。，
ABAD+ACAE
=
60。，
又
ABAD
=匕
FAD,
Z
FAD+
Z
CAE
=
60。，
乙
CAE
=?FAE,又
AE=AE,
AACE^AAFE,
CE
=
EF,
LAFE
=AC
=
30。，
LDFE
=
60°.
过点E作EH丄DF,交DF于点丑，过点A作AM1BC,交BC
于点M.
设CE
=
2心
则
BD
=
2CE="EF
=2x,DF
=
4x,FH=x,EH二有x,DH
=3x,
又
BC
=
1BM
=
2AB
-
cos
30。=
6,
DE=
6-6%.
在
Rt
—
DEH
中,DE，=
DH2+EH2,
即（6-6%）2
=
（3%）
2
+
^/T%）2,
答案^3-3
，題一题多解
将△化。绕点A逆时针旋转120。得^ACF,
连接
时，.?.
CF
=
80.可证△
ADE#AAFE,，.
DE
=
EF.
-AACD
=AB
=30。，
LFCE
=
60°.
过点E作EH丄CF，交CF于点丑，
设CE
=2心
则
BD
=
4%,
CH=%,
CF
=
4%,
FH
=
3x,EH
=
43
%.
过点A作AM1BC,交BC于点网，
则
BC
=2CM
=
2AC
-
cos
30°
=
2x27Ixe
=
6,
FE
=
DE
=
6-6%.
在
Kt
△
EFH
中，FE2
=
FH1
+EH2,
即（6-6%）2
=
（+
（昭广，
解得幻=?，匕=T
（舍去）?
DE
=
6-6%
=
3TT-3.
针对训练1
（
2018湖北武汉，14,3分）以正方形ABCD的
边AD为边作等边△
ADE,则厶BEC的度数是
.
答案
30。或150。
解析①当点E在正方形ABCD外时，如图，
?丁四边形ABCD为正方形，AADE为等边三角形,
AB=AD二AE,
ABAD
=
90。，匕AE。=匕DAE
=
60。，
匕
BAE
=150。，
LAEB
=
LABE
=15。，
同理可得匕DCE=匕DEC
=
15。，
则
ABEC
=
LAED-LAEB-LDEC
=
30°.
②当点E在正方形ABCD内时，如图，
?丁四边形ABCD为正方形，SDE为等边三角形,
AB=AD二AE,
ABAD
=
90。，匕AE。=匕DAE
=
60。，
...乙
BAE
=
30。，
LAEB
=匕
ABE
=75。，
同理可得匕DCE
=匕DEC
=
75。，
则厶
BEC
=
360°-
LAED-
AAEB-厶
DEC
=
150°.
综上，匕BEC
=
30。或
150。.
二、勾股定理的应用
已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾
股定理计算;对于直角三角形中已知一边长和其他相关条件，求
另两边长的问题,常设一边长为未知数，由勾股定理列方程求解.
例2
（2019河南，9,3分）如图，在四边形ABC。中，时”
BC,?D
=
90。,AD
=
4,BC
=3,分别以点A、C为圆心，大于;AC
长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点交AC于
点。.若点。是AC的中点，则CD的长为
（
）
A
A.^/2
B.4
C.3
D.
TW
解析
连接FC,由作图方法及点。是AC的中点可知，BF
垂直平分
AC,
AF
=
CF,AB
二
CB,易得匕1二匕2,
-
AD
”BC,
厶2二乙3".乙1
二乙3,
AB
=
AF,
BC
=
CF
=
AF
=3,
FD
=
AD-AF
=
L
在
Kt
A
DCF
中，由勾股定理得
CD
=
VfC~-DF~
二
握，故选A.
A
答案A
针对训练2
（2018江西，12,3分）在正方形ABCD中,=
6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD
=
2AP,
则AP的长为
.
答案
2,丿14
或2寫
BD
=
642
,OA
=
OD
=
3-j2.
有三种情况：①点P在AD上时,
?「AD
=
6,PD
=
2AP,
②点P在AC上时，不妨设AP二心〉0）,则DP
=
2心
在RtADPO中，由勾股定理得DP2=
DO2+OP2,
即（2光）2二（371）勺（显
—%
广，
解得%^/14^/2
（负值舍去），
即
AP
^/14^/2
；
③点P在AB上时，
.丁
匕PAD
=
90°,PD
=
2AP,
乙
ADP
=
30。，
?
??
AP3O°
=
6X§=2疗
综上所述,AP的长为2,
M彳-互或
以.
§
4.4多边形与平行四边形
对应学生用书起始页码98页
考点一多边形
n边形的内角和为①(n-2)
X180。，外角和为360。.
在平面内，各内角都相等，②箜业_也都相等的多边形叫
做正多边形.
在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫做多边形
的对角线，从n边形的一个顶点可以弓|(
n-3)条对角线.这些对
角线可将n边形分成(n-2)个三角形,"边形共有③竺3条
对角线.
考点二平行四边形
平行四边形的定义和表示方法
定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
表示方法：用“3”表示平行四边形.例如平行四边形
ABCD记作:口ABCD,读作：平行四边形ABCD.
平行四边形的性质
边:平行四边形的两组对边分别④堂;平行四边形
的两组对边分别相等；
角：平行四边形的两组对角分别相等；
对角线:平行四边形的对角线⑤互相平分；
对称性:平行四边形是⑥丑言对称图形，对角线的交
点是对称中心；
面积:面积=底x高.
平行四边形的判定
两组对边⑦分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边⑧平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角⑨分别相等的四边形是平行四边形；
两条对角线⑩互相平分的四边形是平行四边形.
平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
叫做这两条平行线间的距离.
。对应学生用书起始页码98页
一、利用多边形的内角和、外角和定理进行计算
求多边形边数或对角线条数可以从两个角度考虑：（1）
口边:
形的内角和为（几-2）?180。，根据条件表示出有关内角的表达:
式，列方程求解；（2）若容易求得每个外角度数，则根据外角和为:
360。，求边数较为方便,特别是有关正多边形的问题，利用外角:
和为360。更方便.
:
例〔（2019福建，5,4分）已知正多边形的一个外角是:
36。,则该正多边形的边数为
（
）:
B.10
C.8
D.6
:
360。
解析
（1）证明：?「四边形ABCD是平行四边形,
AB
=
CD,AB//CD,OB
=
OD,OA
=
OC,
LABE
=LCDF,
?丁点E,F分别为OB,OD的中点，
1
1
...
BE
=
OB,DF
二
OD,
2
2
BE
=
DF,
A.12
C.8
解析
设该正多边形的边数为□，则口
36。
10,故选B.
答案
针对训练1
（
2018内蒙古呼和浩特，3,3分）已知一个多:
边形的内角和为1
080。,则这个多边形是
（
）:
A.九边形
B.八边形
C.七边形
D.六边形
■
答案B
!
解析
设该多边形的边数为□，则由题意可得180（n-2）二:
1
080,解得n
=8.故选B.
:
二、合理利用平行四边形的判定方法和性质解题
平行四边形的性质是证明边角相等的常用工具，因此，解题:
时往往先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质解决问:
题，至于使用哪种判定方法，应依题目条件灵活选择.
:
平行四边形判定方法的选择：
1
已知条件
选择的判定方法
边
一组对边相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一组对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角
一组对角相等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形
IAB
=
CD,
匕
ABE
=LCDF,
BE
二
DF,
AABE^ACDF（
SAS）.
（2）当AC
=
2AB时，四边形EGCF是矩形.
理由如下：?「AC
=
2OA,AC
=
1AB,
AB
=
OA,
?丁
E是OB的中点，:.
AG丄OB,
LOEG
=
90。，
同理CFLOD,
AG^CF,
EG^CF,
v
EG
=
AE,
OA
=
OC,
OE是SCG的中位线，
OE”CG".
EF^CG,
四边形EGCF是平行四边形，
.丁
LOEG
=
90。，
四边形EGCF是矩形.
针对训练2
（2018福建，18,8分）如图，口ABCD的对角线
:AC,BD相交于点O,EF过点。且与AD.BC分别相交于点E.F.
:求证：0E
=
OF.
例2
（2019山东青岛，21,8分）如图，在口ABCD中，对角-
线AC与BD相交于点。，点E、F分别为OB.OD的中点，延长AE
:
到G,使EG
=旭，连接CG.
:
（1）
求证:JABE#
△
CDF；
:
（2）
当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩:
形？请说明理由.
:
证明?丁四边形ABC。是平行四边形，
OD
=
LODE
=
Z
OBF.
又.丁
乙
DOE
=ABOF,
ADOE^ABOF,
OE
=
OF.
§
4.5特殊的平行四边形
对应学生用书起始页码104页
考点一矩形
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质
矩形的四个角都是①直角;
矩形的对角线相等且互相平分；
矩形既是轴对称图形，又是中心
§
1.1实数
知识清单直
对应学生用书起始页码2页
考点清单
考点一实数的相关概念
1.实数的分类
正整数
1正实数I正有里数〔正分数
(正无理数
:
6.二次根式的相关概念
:
(1)形如扃(的式子叫做二次根式.
:
(2)被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这
；样的二次根式是最简二次根式.
:
(3)几个二次根式化为⑦最简二次根式后,如果被开方数
:相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
:
(4)二次根式的性质：(扃)2=［(a30)；J若二丨a
I.
(念着工用源J负整数
〔负实数I负有里数〔负分数
负无理数
实数大小的比较
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数①迭:
左边的点表示的数小.
:考点二实数的运算
1.运算律和运算顺序
:
(1)有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘
:法交换律，加法结合律，乘法结合律，乘法分配律，等等.
'
(2)混合运算时，要先算乘方、开方，再算乘除,最后算加减；
:有括号的，先算括号里面的.同一级运算，要从左到右依次运算.
'
2.二次根式的运算
(1)二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二
:次根式，然后把⑧同类二次根式合并.
正数大于零,负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；:
两个负数，绝对值大的②壺小
.
作差法比较两个实数的大小
设a、b是任意两个实数，若a~b〉0,则a>b
；若a~b=0,则a
毎若a~b<0,则■③<
b.
数轴
数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线.数轴上的;⑨
点与④实数——对应.
4?相反数、倒数、绝对值
:考点三科学记数法与近似数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.互为相反数的:
两个数，和等于。?
'
乘积是1的两个数互为⑤直婪
一般地,数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的:
绝对值.
(a(
a"。)，
I
a
I
二
~a{a<0).
5.实数的乘方与开方
n
是正整数)，
L二丄(n是正整数，■尹。)，
an
?°
=
1(
■尹0).
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数;正数的任:
何次幕都是正数;。的任意正整数次幕都是0.
:〉0,四尹1,"〉0).
如果一个数的平方等于正数［，则这个数就叫做。的平i
方根，记作⑥兰丘.正数有两个互为相反数的平方根,。的平方:
根是。，负数没有平方根.正数。的正的平方根叫做算术平方根，:
。的算术平方根是0.
:
如果一个数的立方等于数■，则这个数就叫做。的立方:
根.每个实数只有一个立方根.
；
(2)二次根式的乘除法则：亦xTT
=
Vab
(
［30,630)；—
4b
（［30,6〉0）.
1.表示数据时，有时很难取得准确值,或者不必使用准确值
:时,我们可以用近似数来表示.
:
2.科学记数法:把一个数表示成?xlO"的形式，其中1WI
q
I
:<10,口为整数.
知识拓展
:
“新定义”问题是指在问题中定义了初中没有学过的一些概
i念、运算或符号，要求学生读懂题意，找到新旧知识之间的联系，
i并结合已有知识进行推理、迁移的一种题型.
例
(2016四川宜宾,15,3分)规定：心(口〉0,［尹1,6〉。)
■表下a,b之间的一种运算.
log。M
现有如下的运算法则：k)g0二。,1細"=
(a〉。,■尹1,四
例如：1咯2七3,1咯5二譬则1曙心1
000
一
一岫。2
logl0l
000
login103
3
解析
k〉g
kJ
000
二
二
―?二—
loglo100
logl0l^
2
题型方法套
一、用数轴上的点表示数
数轴是数形结合的基础，能把数与直线上的点生动形象地:
联系起来.有了数轴，任何一个实数都可以用数轴上的一个确定j
的点来表示.
:
例〔（2019吉林长春，1,3分）如图，数轴上表示-2的点A
:
到原点的距离是
-3
-2
-1
0
1
A.-2
B.2
1
1
C.
D.—
2
2
解析表示-2的点到原点的距离是2.故选B.
答案B
针对训练1
（2019内蒙古包头，2,3分）实数a、b在数轴上［
的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
a
b
-3
'
-2
=4
0
1
_
2
A.a>b
B.a>-b
C.—a>b
D.—a
解析
由数轴可知一3
2,
l
—
b<
:
-1
—a>b.故选
C.
:
=-2+6-(1-271+3)
二2疗
三、实数的混合运算
结合特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数籍、零指
数籍、二次根式的性质等基础知识，运用实数的运算律，进行实
数混合运算.运算过程中，注意数字的符号和运算顺序.
（2019
山西，16
（
1）,5
分）计算：727
+
3tan
60。+（亓一7^"）°.
解析
原式二3疗+4-3TT+1
（4分）
二5.
（5
分）
针对训练3
（
2018云南，15,6分）计算：V18-2COS
45。+
=
271+2.
二、二次根式的运算
如果二次根式的被开方数含有分母，那么可以利用
—（a>0）进行化简;如果被开方数中有因数（或因式）能开方开:
a
:
得尽,那么可以利用丿/=
la
I
=
。>°）、'将这些因数（或因；
-a{a<0）
:
式）开方，从而将二次根式化简.
:
例2
（2018重庆A卷,7,4分）估计（2丿気
的值应在
A.1和2之间
C.3和4之间
B.2和3之间
D.4和5之间
W30^-^^/24x
二2，一2,而2W=
J存子二技。，丿免在4和5之间，所以誓-:
2在2和3之间，故选B.
:
答案B
!
针对训练2
（
2019内蒙古呼和浩特，17
（
1
）,5分）计算：:
卜阵…
解析（2丿気-丿有）x
四、用科学记数法表示实数
科学记数法就是把一个数写成0X10'的形式，其中iwl
0
1<
10,口为整数.
L当要表示的数的绝对值大于1时，口为非负整数，其值等
于原数中整数部分的位数减去1,如1
315=1.315x10七
2.当要表示的数的绝对值小于1时，□为负整数，其值等于
原数中从左起第一个非零数字前面所有零（包括小数点前的零）
的个数的相反数，如0.002
03
=
2.03xl0T.
例4
（
2019四川成都，3,3分）2019年4月10日，人类首
张黑洞照片面世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中
心，距离地球约5
500万光年.将数据5
500万用科学记数法表示
为
（
）
A.5
500x10"
B.55X106
C.5.5X107
D.5.5x10s
解析
5
500
万=55
000
000
=
5.5x10,.故选
C.
答案C
针对训练4
（2019黑龙江齐齐哈尔，11,3分）预计到2025
年我国高铁运营里程将达到38
000千米.将数据38
000用科学
记数法表示为
.
答案
3.8x10，
解析
38
000=3.8xl0\
§
1.2整式
。对应学生用书起始页码7页
考点清单
考点一代数式
像3(.-1)+2,湖，十等都是用基本的运算符号把数或表示
数的字母连接而成的式子，这样的式子都是代数式，单独一个数
或一个字母也是代数式.
考点二整式及其运算法则
同类项
所含字母相同，并且相同字母的①_也相同的项叫同
类项.
合并同类项
只把系数②业如_，所含字母及字母的指数不变.
整式的运算
(!)整式的加减运算实际就是合并同类项.
整式的乘法：(a+b)
(
m+n)
=
am+an+bm+bn.
整式的除法:单项式除以单项式时，把系数、同底数籍分
别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母,则连同
字母的指数照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项
分别除以单项式,再把所得的商相加.
矗的运算性质
同底数幕相乘法则
为整数加乂0)
幕的乘方法则
(V)
mg
为整数，。乂0)
积的乘方法则
(泌)几为整数，湖乂0)
同底数幕相除法则
:/
=为整数，。乂0)
考点三乘法公式
公式名称
公式表述
平方差公式
(a+b)(=
a2~b2
完全平方公式
(a±b)2-a2±2ab+b2
考点四
因式分解
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项
式因式分解.
方法
(!)提公因式法:ma+mb+mc
=
m(
a+b+c).
公式法:a2-b2
=
(
a+b)
(
a—b)
；
a2±2ab+b2
=
(
a±b)
~.
十字相乘法：尸
+
(
p+q)
x+pq
=
(
x+p)
S+g).
知识拓展
数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的
精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题
相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.常见借助数轴、统计
图表、函数图象、几何图形来解决代数问题，使代数问题几何化.
或者运用代数式恒等变形、建立方程或不等式、面积转换等求解
几何问题,使几何问题代数化.
例(2018吉林长春外国语学校期末，18)如图，四边形
ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB
=
a,DE3(a〉b)
,BM
=
CH,BH
=
FH.
(!)写出AG的长度(用含字母a,b的代数式表示)；
观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积
时，你能否获得一个因式分解公式？请将这个公式写出来；
如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16,
它们的面积相差960,试利用(2)中的公式，求a,b的值.
解析(l)AG=
a-b.
能.阴影部分的面积可表示为
宀或■顷一b)
+
b
-
(a-b)；
a2-b2=a
■
(a—b)+b
■
(a—b)=(a+b)(a—b),
即
a2-b2
=
(
a+b')
(
a~b).
由题意，得a-b
=16①，
a2-b2
=
(
a+b)
(
a—b)=
960,
a+b
=
60②，
由①、②解得a
=
38,6
=
22.
三、整式的运算
在运用公式或运算法则进行运算时，要先判断式子的结构
特征，再确定解题思路，使解题更加方便、快捷.
例3
（2019吉林长春,15,6分）先化简，再求值：（20+1广-
4a（
a-1），其中
a二二
O
解析（2a+1）
2-4a（
a-1）
=4a2+4a+l-4a2+4a
=8a+l.
当
a
=——时，原式=8x
―
1
=
2.
8
8
针对训练3
（2018江西，13（
1）,3分）计算：（a
+1）（
a-1）
■
_（0_2广.
:
解析
原式二/一1一（/一4。+4）
二
4。一5.
:四、分解因式
?
1.看项数选公式，“两项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全
:平方公式.
:
2.分解因式的试题中一般采用“一提取”“二公式”的方法进
:行因式分解，即如果整式中含有公因式，那么要先提取公因式，
:再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止.
:
当多项式是四项或五项时,可能需要先合理分组，再提公因
i式或用公式法进行分解.
:
例3
（2019湖北黄冈，11,3分）分解因式：3尸-27站=_
解析
3x~—27y~
=
3{x~—9y~)=
3(%+3y)
(%-3y).
答案
3(%+3y)
(%-3y)
针对训练4
(
2018湖北黄冈，8,3分)因式分解：尸-以
答案
光(光+3)
(%-3)
解析
x3-9x
=
x(x~-9)二
%(%+3)
(%-3).
§
1.3分式
。对应学生用书起始页码11页
考点清单
考点一分式的有关概念与基本性质
4
整式A除以整式8,可以表示成；的形式，如果除式B中
D
A
含有①字母，那么；3
0)称为分式.
D
当②分母等于0时,分式无意义；当分子等于0且分母不
等于0时，分式的值为0.
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，
分式的值不变.
考点二分式的运算
分式的加、减运算
(!)通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
最简公分母的判断方法:系数取各个分母的系数的③睥
全
_;因式取分母中含有的所有因式，注意：相同的因式留一
个，每个因式的指数取最高指数.
同分母分式相加减，分母不变,把分子相加减.
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后
加减.
分式的乘、除运算
(!)约分的关键是确定分子、分母的公因式.
公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的④壺大公
纣_;因式取分子、分母都含有的因式(即分子、分母中相同的
因式)，注意:相同因式的指数取最低指数.
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为
积的分母.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除
式相乘.
■
3.分式的混合运算顺序
:
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面
:的;最后的结果能约分的要约分，化为最简.
i考点三
分式的化简求值
:
分式通过化简后，代入适当的值解决问题.注意代入的值要
j使分式的分母不为0.
分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值
时千万不可任性.总的来说有以下两类：
当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分
式的分母不为0；
当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使
原分式的分母不为0,还要使除式不为0.
例
先化简，再求值:。+
(a-1-艾：)，并从-1,0,1,2四
个数中选一个合适的数代入求值.
a
a~
—
1a
a
a+1
a+1
a(a-2)
]
。+1尹0且。尹0且。一2尹0,
二。尹一1且。尹0
且。尹2,
a
=1,
当a
=1时，原式=
分式的化简求值
灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分,一般要:
先分解因式.化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技:
巧，三要注意代入的值要使分式有意义.
:
针对训练（2019福建，19,8分）先化简，再求值：（光-1）
一
-癸二），其中
=71+1.
解析
原式二顷-1）
A'）
例（2018新疆，17,8分）先化简，再求值：（土+1卜检3，j
,
、—2x+1
二(%-!)+
%
_
/
］、.(I)'
二(%-i；
X
v
%2+3%
=
0,.'.
%
=
0
或
%
=
-3.
当%
=
0时，原式无意义，故%
二
一3,此时原式二代+1
=
-2.
■
（8
分）:
第二章
方程(组)与不等式(组)
7
第二章
方程(组)与不等式(组)
§
2.1
一次方程(组)
知识清单直
-
(ii)把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，
:得到一个一元一次方程；
:
(iii)解这个一元一次方程；
L定义：只含有①二，并且未知数的次数是1,这!
(2)将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方
样的整式方程叫做一元一次方程.
：程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解?
2?解一元一次方程的主要步骤去分母；(2)去括号；：考点三二元一次方程组的应用
问题模型
常用等量关系
鸡兔同笼
鸡的头数+兔的头数二头的总数；
鸡脚的总数+兔脚的总数二脚的总数
增收节支
总收入-总支出二总利润
数字问题
变化前，两位数(或三位数)各数位上的数字之间的
大小关系；
变化后，新旧两数之间的大小关系
移项；(4)②合并同类项；(5)未知数的系数化为1.
类型
基本数量关系
数字问题
设某三位数的个位数字为十位数字为b,百位数字为
。，则这个三位数应表示为③IOOq+106+c
利润问题
利润二售价-成本；
利润率二钏X100%
储蓄问题
利息二。本金X利率X期数；
本息和二本金+利息二本金x(l+利率x期数)
行程问题
路程二速度X时间；
相遇问题:甲车行驶的路程+乙车行驶的路程二初始距离；
追及问题:快车行驶的路程-慢车行驶的路程二追及路程
常见应用问题
:
不定方程(组)是数论中的一个古老分支，内容极其丰富，我
:国对不定方程的研究已延续数千年，“百鸡问题”“五家共井问
:题”等一直流传至今,秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理
■论联系起来.如果二兀一次方程ax
+奶二c(
a、b为互质的整数，c
{x
=豹)，
(x
=
Xn+bk.
那么它有通解{
_
°_
(
k为整数).
I—兀一体力侔：日石网丁木相钗，且日石木相钗的顼的久：
尸&'
'尸贝厂以
数都是［的整式方程
1
-
(2°19黑龙江齐齐哈尔，8,3分)学校计划购买A和B
2.把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组:两种品牌的足球'已知一个A品牌足球60兀'一个B品牌足球
成了一个二元一次方程组
：75元.学校准备将1
500元钱全部用于购买这两种足球(两种足
二元一次方程纟話解法
:球都买)，该学校的购买方案共有
()
(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤
:“二种、B.4种一
C：种
,6
⑴从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含;p解析、、设恰好用免ZOO兀'可购买。个A品牌足球和6个
有⑤另一个未知数的代数式表示出来；
:B品牌足球’
将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到:
含有另一个未知数的一元一次方程；
:
解这个一元一次方程,求出一个未知数的值；
:
将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程:
中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
:
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤
:
(i)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为:
相反数且不相等，就用适当的数去乘方程的两边,使两方程中同:
一个未知数的系数相等或⑥互为相反数；
；
解析L/分
4%+y
=
10,②
②一①，得3%
=
9,解得%
=
3.
把%
=
3代入①，得3+y=l,
解得y
=
-2.
二、列二元一次方程组解应用题
一般步骤：
第一步
审,明确文字中表述的两个等量关系和两个未知数;
第二步
设,用字母表示未知数；
:
第三步列，用含未知数的代数式表示等量关系中各部分
:的数量，并将等量关系转化成方程，联立成方程组；
:
第四步解,解所列方程组，求出方程组的解；
:
第五步
验，检验方程组的解是否符合题意；
:
第六步答，规范写出答语.
:
例2
（2018湖北黄冈，16,6分）在端午节来临之际，某商
!店订购了
A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,8型粽子
:24元/千克，若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20千克，购
!进两种粽子共用了
2
560元，求两种型号粽子各多少千克.
:
解析
设A型粽子%千克，8型粽子y千克，
由题意得"=27,解得广=4饥
l28%+24y
=2
560,
ly
=60.
答:A型粽子40千克，8型粽子60千克.
针对训练2
（2018江西，9,3分）中国的《九章算术》是世
:界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，
:直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有
:牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问
:牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金两、y两，依题意，
:可列出方程组为
.
:
欠安戶+2尸10
：口案屋+5尸8
解析
毎头牛值金
两，毎头羊值金y两，根据“牛5头，羊
!
2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，可
!得（5x+2r=i°，
2%+5y
=8.
§
2.2
—兀二次方程
。对应学生用书起始页码20页
考点清单
考点一
一元二次方程及其解法
定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是①纟的方程叫做一元二次方程.
常用解法
(!)直接开平方法：对于形如尸二b
(
b
30)或(g
+
b广二
c(
c^O)的方程，直接开平方为②兰或ax+b
=
±Jc
；
配方法：将一元二次方程ax2+
bx
+
c
=
0(
a尹0)配方为
(x+m)
2=
n(
口30)的形式，再用直接开平方法求解.
公式法:一元二次方程ax2+bx+c
=
0(。尹0)的求根公式
~b±\/b~
~4ac
,,
、
为③
%
=
(
b~_4acm0).
2a
因式分解法:将一兀二次方程通过分解因式变为3-。)
■(
x-b)
=
0的形式，进而得到x-a
=
0或x-b
=
0来求解.
考点二根的判别式、根与系数之间的关系
—'兀二次方程ax2+bx+c
=
0(。尹0)的根的判别式是A
=b~-4ac.
(!)厶〉0。一元二次方程有两个④不相等的实数根；
A=0。一元二次方程有两个相等的实数根；
厶＜0。一元二次方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系
，
如果方程ax2+bx+c
=
0(
a尹0)的两个实数根为那么■
b
c
:
X
I
+%2
—
,%|
%2
=
.
!
一、解一元二次方程
掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化
为一元一次方程的转化思想;用适当的方法解一元二次方程，一
般先考虑直接开平方法和因式分解法,再考虑公式法和配方法.
例1
（
2018黑龙江齐齐哈尔，19,5分）解方程：2（%-3）二
3%（x—3）.
解析原方程可化为2（
-3）
-3
（
-3）
=0,
（1分）
整理得，（
-3）（2-3罚=0,
（2
分）
即
x-3
=
0
或
2-3%
=
0,
（3
分）
2
解得"i=3,%二亍
（5分）
针对训练1
（2019黑龙江齐齐哈尔，19,5分）解方程:尸+
:
6%
二
一7.
:
解析解法一：（配方法）
:
%2+6%+9
=
-7+9,
（1
分）［
（光+3广二2,
（2
分）;
%+3
=
±^2
,
（3
分）:
%,二-3+^2
,%2
--3-^2.
（5
分）：
解法二：（公式法）
：
v
%2+6%+7
=
0,。=1,6
=
6,c
=
7,
;
二△
=
b2-4-ac
=
62-4x!x7
=
8>0,
（2
分）■
-6土_6±^/2-
:
%-—二—=
,
:
2
2'
:
二光|
二-3
W2
,%2
--3_互.
（5
分）■
二、根的判别式、根与系数之间的关系
在用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，有时要!
先用配方法把bFc的结果写成完全平方式的形式，再利用完!
全平方式的非负性进行判断.注意区分这个配方法和解一元二次!
方程的配方法.
1
在一元二次方程有根的情况下，利用根的判别式求参数
取值（或范围）时,注意二次项系数不为0.在用根与系数的关系
求参数取值（或范围）后，要用根的判别式进行检验，若则
所求参数取值（或范围）符合题意;若△
<0,则所求参数取值（或
范围）不符合题意，应舍去.
例2
（2018四川遂宁，19,8分）已知关于x的一元二次方
程x2-2x+a
=
0的两个实数根%,如
满足光I死+光I
+光2〉0,求a的
取值范围.
解析
V关于%的一元二次方程2%
+
a
=
0有两个实
数根，
二△二
b2-4-ac
3
0,即（-2）
2-4x1x。30,
4_4a
30,
aWl.
又由根与系数的关系可得叫x2=
a,xt+x2
=
2,
,/
叫
%2+%!
+%2>0,
/.
a+2〉0,
/.。〉—2".
—2
（2019山东潍坊，10,3分）关于%的一元二次方
程x2+2mx+m2+m
=
0的两个实数根的平方和为12,则m的值为
（
）
A.m
二
一2
B.
m
=
3
C.m
=
3
或
m
二
一2
D.m
=
-3
或
m
=
2
答案A
解析
设光|，光2是x~+2mx+m~+m
=
0的两个实数根，
由题意知△=
4m2-4（
m2
+m）
=
-4m
30".
m^O.
,/
=
=
m~+m,
x^+%1
=（叫
+%2
）
2
—
2%I%2
—
4m2
—
2m2
—
2m
=
2m2
—
2m
=
12,
m
=
3
或
m
=
-2.
又
m
WO",
m
=
-2.故选
A.
§
2.3分式方程
。对应学生用书起始页码24页
考点清单
考点一分式方程及其解法
①分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本方法:分式方程
②整式方程.
一般地,解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可
能使原方程中分母为零，因此应进行如下检验:将整式方程的解
代入③壺度会分里，若最简公分母的值不为零，则整式方程的
解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是
增根.
去分母解分式方程的一般步骤
(!)适当变形，通常是对分母分解因式，找到最简公分母；［
将方程两边同乘最简公分母，约去分母,得到一个整式
方程；
解这个整式方程；
验根.
考点二分式方程的应用
常见题型有行程问题和工程问题.
用分式方程解应用题时,检验分为两步，先检验所求根是不
是④原方程的根,再检验方程的根是否符合题意,缺一不可.
易混易错
%_3
（2018内蒙古呼和浩特，17（
2）
,5分）解方程:—+1
%—2
3
2—x
x—3
3
x—2
2—x,
x-3+x-2
=
-3，解得
x
=
L
检验：当%
二1时，光一2尹0,
所以?
=1是原分式方程的解.
针对训练1
（
2019江苏南京，18,
7分）解方程土
-
1
%—
1
3
x2-l
解析方程两边乘（光-1）（光+1）,
得
%（%+!）
-（%-!）
（%+!）=
3.解得
%
=
2.
检验：当%
二
2时，（光一1）（光+1）尹0.
所以，原分式方程的解为先=2.
:
例2
（
2018内蒙古包头，23,10分）某商店以固定进价一
:次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2
400元,
:为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售，
:结果销售量增加30件，销售额增加840元.
:
（!）求该商店3月份这种商品的售价是多少元；
!
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么
:该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
:
解析（1）设该商店3月份这种商品的售价为光元.
2
400
2
400+840
“风
:
根据题意，得
二
——
30，解得
先=
40.
:
%
（）.
9%
经检验?
=
40是所得方程的解，且符合题意.
!
答:该商店3月份这种商品的售价为40元.
:
（2）设该商品的进价为。元.
2
400
:
根据题意，得（4（）一a）
^—=900,解得0
=
25.
:
40
4月份的售价；40x0.9
=
36（元），
:
2
400+840
:
4月份的销售数量:一-—二
90（件）.
36
:
4
月份的利润：（36-25）
x90
=
990（元）.
:
答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.
:
针对训练2
（2018云南曲靖，18,6分）甲乙两人做某种机
!械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与
!乙做100个所用的时间相等,求甲乙两人每小时各做几个零件.
解析
设甲每小时做%个机械零件，则乙每小时做（%-4）个
:机械零件，根据题意列方程得也=判,
解得为=
24,经检验?
=
24是原分式方程的根,且符合题意，
因此
24-4
=
20（个）.
答：甲每小时做24个机械零件，乙每小时做20个机械零件.
§
2.4
一元一次不等式（组）
。对应学生用书起始页码30页
考点清单
考点一不等式的性质及一元一次不等式
不等式的有关概念
（1）
一般地,用符号“<”（或“W”）">”（或“N”）连接的式
子叫做不等式.
（2）
把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（3）
把使不等式成立的未知数的①翌坦苞邑
叫做不等式
的解的集合，简称解集.
不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向②.
不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个③三
也,不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个④旦
红,不等号的方向改变.
一元一次不等式
（!）定义:含有一个未知数，未知数的次数是1的⑤不等式，
叫做一元一次不等式.
（2）解法:与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式
的两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变.
考点二
一元一次不等式组
定义:类似于方程组，把几个含有相同未知数的⑥二^
次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组.
解集:一般地，几个不等式的解集的⑦公共部分，叫做由
这几个不等式所组成的不等式组的解集.
解法:先求出各个不等式的解集，然后求出解集的公共部
分,可借助于数轴确定它们的公共部分.
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情:
形如下表：
：
不等式组
（设
a
解集
口诀
(x^a
lx》b
a
o
x^b
大大取大
(x^a
(x
6
a
b
xWa
小小取小
(x^a
(x
6
a
b
⑧
aWxW
b
大小小大
中间找
(x^a
(x
6
——
空集
大大小小
无处找
考点三一元一次不等式（组）的应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤
（!）审:认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中
的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于”“小于”
“不大
于”“至少”“不超过”“超过”等；
（2）
设:设出适当的未知数；
（3）
列:根据题中的不等关系列出不等式（组）；
（4）
解:求出所列不等式（组）的解集，并在解集中找出满足
题意的解；
（5）
答:完整写出答语.
重难清单
对于含有参数的不等式（组），常常会给出它的解集情况（如
有解、无解等），求参数的取值范围；或者具体给出解集,求参数
的值.解答过程主要有以下几步：L解不等式（组）；2.由解的情况
判断参数的取值范围（或值），常常借助数轴和口诀来判断;3.验
证第2步中的端点值是否符合题意；4.写出正确的答案.
例1已知关于%的不等式组厂一
0’们
的解集是3W次
2x-a<2b+l
则纟的值是
（
）
a
-2
B.-丄
C.-4
D.-—
2
4
I
%m
a+b,
a+2b+!
X<
_2_'
?丁原不等式组的解集是
I
a+b
=
3,
_
a+2b+l
解得（
A
—
=
-^
=
-2.
-^—=5,
\b
=
6.
a
-3
答案A
例2
（
2018内蒙古呼和浩特，15,
3分）若不等式组
（2光+。〉0,
{
1
a
的解集中的任意
都能使不等式
-5>0成立，则a
1
2
4
的取值范围是
.
a
%>一5,
2
a
%>
2.
解析由不等式组可得<
a
2
解不等式%-5>0得为>5,
由题意可知-;+235,解得aW-6.
答案aW-6
一、解一元一次不等式组的方法
先求出每个不等式的解集，找到各个不等式解集的公共部
分,写出不等式组的解集.也可借助数轴来确定.
例1
(2018天津,19,8分)解不等式组［X+3^［，?
4%Wl+3%.②
请结合题意填空，完成本题的解答.
解不等式①,得
;
解不等式②,得
；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
-3
-2
-1
0
1
2
原不等式组的解集为
.
解析(1)光3-2.
光
WL
，I
，.二.
.
-3
-2
-1
0
1
2
-25WL
针对训练1
(
2019四川成都，15(
2
),6分)解不等式
(3(光-2)
W4y-5,①
组：\5%—2
1
?②
解析解不等式①得解不等式②得
<2.
入原不等式组的解集为-1W光<2.
二、用一元一次不等式(组)解应用题
用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式
(组)的知识解答应用题和方案设计型问题.
例2
(2018四川绵阳，21,11分)有大小两种货车，3辆大
货车与4辆小货车一次可以运货18吨,2辆大货车与6辆小货
车一次可以运货17吨.
(!)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多
少吨？
(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车
共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费130
元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排
车辆最节省费用？
解析(1)设1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一
次可以运货y吨.根据题意可得
(3%+4y
=
18,
为=4,
(2x+6y
=
17,
y
=L5.
答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运
货L5吨.
:
(2)设货运公司安排大货车m辆，则需要安排小货车(10-
m)辆，根据题意可得4m+1.5(
10-m)
=33,
:
解得
:
V
m为正整数，且m
W10,
:
m
可以取
8,9,10.
:
当m
=8时，该货运公司需花费130x8+2x100=1
240元；
:
当m
=
9时，该货运公司需花费130x9+100=1
270元；
:
当m
=10时，该货运公司需花费130x10=1
300元.
:
lT
240<1
270<1
300,
:
当该货运公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少.
憲思路分析
(1)设1辆大货车与1辆小货车一次分别可
:以运货吨、y吨.根据条件建立方程组求出其解即可.
?
(2)设货运公司安排大货车m辆，则需要安排小货车(10-
m)辆，根据(1)的结论可得出不等式4m+l.
=33，进而
:得出所有的情况，然后计算出每种情况的花费，从而得出结论.
:
飕审题技巧优化方案问题首先要列举出所有可能的方
:案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，从
:中选择最优.
:
针对训练2
(
2018贵州贵阳，19,10分)某青春党支部在
:精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让
:其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买
:乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.
:
(!)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；
?
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50
:棵.此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了
10%，乙种树
:苗的售价保持不变.如果此次购买两种树苗的总费用不超过
:1
500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
:
解析(1)设甲和树苗每棵的价格是为元，则乙和树苗每棵
■的价格是(%+10)元.
:
根据题意，得——
，解得光-30.
:
%+10
%
!
经检验?
=
30是原方程的解且符合题意，
:
当
%
=
30
时
?+10
=
40.
:
答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是30元、40元.
j
(2)设他们再次购买乙和树苗y棵，则购买甲和树苗(50-
")棵.
:
由题意得
30x(l-10%)(50-y)
+40yWl
500,
:
解得
:
y是整数，
:
他们最多可以购买11棵乙种树苗.
第三章变量与函数
§
3.1位置的确定与变量之间的关系
。对应学生用书起始页码37页
考点一
平面直角坐标系内点的坐标特征
各象限点的坐标的符号特征
点到坐标轴的距离
点P（%,y）到算轴的距离为Iy
I,到y轴的距离为②
成丨,到
坐标原点的距离为
广.
特殊点的坐标特征
（!）坐标轴上点的坐标特征
光轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；原点的坐标
为（0,0）.
（2）
象限角平分线上的点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标③座外
_
-
（3）
平行于轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相
等,平行于y轴（或垂直于轴）的直线上的点的横坐标相等.
直角坐标系内点的对称和平移
（!）点P
3,
y）关于算轴对称的点的坐标为（心-
y
）；点
P（%,y）关于y轴对称的点的坐标为④上土丄；点尸（心们关于
■原点对称的点的坐标为（-光，-y）-
:
（2）将点PS,y）向右（或向左）平移a
（
a〉0）个单位，得到
■对应点
P'（（或（光-a,y））；
:
将点PS,y）向上（或向下）平移6（
b〉0）个单位，得到对应
［点
P'S,y+6）（或（x,y~b））.
i考点二
函数的概念及三种表示方法
j
1.函数的定义
:
一般地，在一变化过程中有两个变量光与y,如果对于光在
!某一范围内的每一个值,y都有唯一的值与它对应，那么就说y
:是的函数，其中是自变量.
:
2.函数值的定义
:
对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x
=
0时，函
:数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做%
=
0时的函数值.
:
3.函数的表示方法
解析法,列表法和⑤图象法.
:
4.函数图象的画法
列表、⑥描点、连线.
i考点三与函数有关的应用型问题
根据题意直接写出函数解析式，或根据函数图象分析现实
j情境是常考题型，在实际问题中自变量常受限制，所以一般要在
:函数解析式后注明自变量的取值范围.
一、在平面直角坐标系内求点的坐标
1.利用对称、平移的性质求点的坐标.
例〔(2019湖北黄冈，5,3分)已知点A的坐标为(2,1),
将点A向下平移4个单位长度，得到的点A'的坐标是
(
)
A.(6,l)
B.(-2,l)
C.(2,5)
D.(2,-3)
解析
将点A向下平移4个单位长度可得A，(
2,-3),故
选D.
答案D
针对训练1
(
2018四川成都，4,3分)在平面直角坐标系
中，点尸(-3,-5)关于原点对称的点的坐标是
(
)
A.(3,-5)
B.(-3,5)
C.(3,5)
D.(-3,-5)
答案C
:二、函数图象的判断及其应用
；
对于函数图象，(1)要弄清函数图象上一些特殊点的意义，
:如起点、终点、临界点、交点等；(2)要认识图象的变化趋势，上升
j或下降，直线或曲线；(3)有关实际问题的函数图象，要清楚横、
■纵坐标表示的意义和单位.
:
座
(2019重庆A卷，17,4分)某公司快递员甲匀速骑车
:前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在
:公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲.乙刚出发2分钟时，
:甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分
:钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续
:原路原速赶往某小区送物件.甲、乙两人相距的路程y(米)与甲
:出发的时间以分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间
解析
由题意可得u甲=4
000-?(12-2-2)
=
500米/分，吃二
由于甲、乙相遇时，乙走了
4分钟，所以当乙回到公司时，也
用了
4分钟，此时甲离公司的路程为500x(12-2)-500x2+500x
4=6
000
米.
答案
6
000
针对训练3
(2019湖北黄冈，8,3分)已知林茂的家、体育
场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是:林茂从家
跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后
再走回家.图中表示时间,y表示林茂离家的距离.依据图中的
信息，下列说法错误的是
A.体育场离林茂家2.5
km
体育场离文具店1
km
林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50
m/min
林茂从文具店回家的平均速度是60
m/min
答案C
解析
由题图可知15
min时林茂到达体育场，故体育场离
林茂家2.5
km，故A正确；30
min时林茂离开体育场，45
min时
到达文具店，路程为2.5-1.5=1
km,故B正确；林茂从体育场出
发到文具店的平均速度是(2.5-；：：：」000
=
200皿/队皿，故C
45—3()
3
错；林茂从文具店回家的平均速度是60
m/min,故D
90—65
§
3.2
一次函数
。对应学生用书起始页码44页
考点一
一次函数的图象与性质
-次函数的定义
一般地，如果y=kx+b（
k尹0,、b是常数），那么y叫做算的
一次函数.当6
=
0时，一次函数y=kx也叫做正比例函数.
一次函数的图象与性质
图象
^>0
心
正比例函数y
二kx｛化尹0）
~7
y
A
一次函数y
-
kx+b｛化尹0）
6>0
6<0
6>0
4
图象经过
第一、二、三
象限
图象经过第
①一、三、
四象限
图象经过
第一、二、四
象限
图象经过
第二、三、四
象限
性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而②减小
-
5.—次函数图象的平移
一次函数y-kx+b（&尹0）的图象可以看作由直线y-kx｛&尹
:0）向上（下）平移I们个单位长度得到.当6>0时,将直线y=kx（
k
:尹0）向上平移I
b
I个单位长度；当6<0时,将直线广触（E0）向
:下平移I
b
I个单位长度.
当加=k2，们
巻2时，直线J-加光+们和直线y-k2x+b2平行.
:考点二一次函数与方程、不等式之间的联系
:
如图所示，我们可以得到如下两种关系：
:
1.-次函数与方程之间的关系
:
（1）
一次函数解析式可看作一个二元一次方程.
:
（2）直线y=kx+b（
&尹0）与%轴的交点B的横坐标是方程kx
:+危0的解.
T七小■爲研曲赤十/根据题意直接求解；
求一次函数的解析式^
用待定系数法求解.
利用一次函数的图象和性质解决最值、最优方案等问题.
利用一次函数的图象和性质解决行程问题.
题型万吳
一、求一次函数解析式
解析（］）4
000；
100.
（2分）
确定一次函数的解析式有三种常用方法.一是待定系数法,
每确定一个字母系数，就需要一个已知点或条件;把已知点的坐
标代入函数解析式，或者用已知条件列出方程，求得该字母系数
的值，写出函数解析式;二是用平移函数图象的方法得到新的函
数；三是实际问题中，根据变量之间的关系直接写出函数关系
式,如售价-进价二利润,路程二速度X时间等.
例〔（2019吉林,23,8分）甲、乙两车分别从A,B两地同
时出发，沿同一条公路相向行驶.相遇后，甲车继续以原速行驶到
B地，乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距B地的路程
y（km）与各自行驶的时间%（
h）之间的关系如图所示.
（2）
小东从图书馆到家的时间x二端二岑（min）,
/40
\
D
M
,0）.
设CD的解析式为尸尹0）,
图象过D,0）
和
C（0,4
000）两点，
M0
k+b
=
0
I3
b
=
4
000,
解得
件=
-300,
肅=4
000.
⑴
m
二
,
n
二
；
（2）求乙车距B地的路程y关于的函数解析式，并写出自
变量的取值范围；
CD的解析式为y
=
-30。光+4
000.
小东离家的路程y关于%的解析式为
-300%+4
000
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程.
?
）?
（3）设OA的解析式为
广&次时尹0）,
?丁
图象过点
4（
10,2
000）,
10k'
=
2
000,
#
=
200.
OA
的解析式为
y
=
200y（OW光W10）.
解析（1）
4；
120.
（2
分）
（2）当乙车与甲车相向行驶时，设y关于光的函数解析式为
由卩=
2。。心
y
=
-30皈+4
000,
解得
=
8,
600.
答：两人出发后8分钟相遇.
（3分）
（4分）
（5分）
（6分）
（8分）
y
二阮（0W
光
W2）.
因为函数图象过（2,120）,
所以
2k
=120,
解得k
=
60,
所以y关于%的函数解析式为尸6皈（0W.W2）.
（4分）
当乙车和甲车同向行驶时，设y关于此的函数解析式为y二
x+b（2^x
W4）.
因为函数图象过（2,120）
,（4,0）两点，
2k.+b
=120,
k,
=-60,
所以"
解得］1
4k{+b
=
0,
b
=
240.
所以y关于%的函数解析式为尸一60光+240（
2JW4）.
（6分）
（3）当
%
=
3.5
时，y
=-60x3.5+240
=
30.
所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30
km.
（8分）
针对训练1
（2018吉林,23,8分）小玲和弟弟小东分别从
家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改
为步行，到达图书馆恰好用30
min.小东骑自行车以300
m/min的
速度直接回家.两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间
Mmin）之间的函数图象如图所示.
（!）家与图书馆之间的路程为
m,小玲步行的速度
为
m/
min
；
（2）
求小东离家的路程y关于的函数解析式，并写出自变
量的取值范围；
（3）
求两人相遇的时间.
二、用一次函数的相关知识解决实际问题
用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设定实际问题中
的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；（5）作答.
例2
（2019山西，19,8分）某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一:顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人
一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.
方式二:顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为次，选择方式
一的总费用为7|（元），选择方式二的总费用为认元）-
（!）请分别写出乂，为与之间的函数表达式；
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数%在什么范围时，选
择方式一比方式二省钱.
解析（1）幻=30光+200.
（2分）
:
y2
=
40%.
（4
分）
■
（2）由
/i
得
30%+200<40%,
（6
分）
:
解得"20.
（7分）
:
当光〉20时，选择方式一比方式二省钱.
（8分）
；
针对训练2
（2017新疆，21,10分）某周日上午8：00小宇
j从家出发，乘车I小时到达某活动中心参加实践活动.11:00时
:他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12:00前回到
:家.他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/时的平均速度快
:步返回.同时，爸爸从家沿同一路线开车接他,在距家20千米处
:接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回.设小宇离家"小
:时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与算
:之间的函数关系.
:
（!）活动中心与小宇家相距
千米,小宇在活动中心
；活动时间为
小时,他从活动中心返家时，步行用了
—
小时；
（2）
求线段BC所表示的y（千米）与
（小时）之间的函数关
系式（不好、写出
所表示的范围）；
（3）
根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能
在12：00前回到家,并说明理由.
解析(1)
22；2；0.4.
由题图知活动中心与小宇家相距22千米，
小宇在活动中心活动的时间为3-1
=
2小时，
小宇从活动中心返家时，步行所用时间为（22-20）
+5
=
0.4（小时）.
（2）
由（1）知点C的坐标为（3.4,20）.
设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k^0）,
把点B（
3,22）,点C（
3.4,20）的坐标代入尸kx+b,
得尸祁=22
广=一5，
3.4k+b
=20,
b
=
37,
y
—
—5%+37.
（3）
爸爸从家开车接上小宇，立即保持原来的车速原路返回,
小宇从活动中心返家所用时间为0.4+0.4=0.8（小时），
小宇能在12：00前回到家.
§
3.3反比例函数
考点一反比例函数的图象与性质
I-
如果两个变量叭y之间的关系可以表示为①
尸一（&尹
x
0,且
为常数），那么称y是
的反比例函数.它而集叫双
曲线.
反比例函数的另两种表示方式：
xy-k{&尹
0）
,y
二kx~
（&尹
0）.
反比例函数的图象与性质
（!）
&〉0
时，当
%,<%2
时,[|
>y2
；
当
%!<0<%2
时,yi<0
&<0
时，当
%,<%2
时,Ti
当
%|<0<%2
时,[|〉0〉％-
反比例函数解析式的确定常用待定系数法.
;考点二反比例函数与一次函数的综合应用
:
1.利用函数图象确定不等式ax
+
b>—或ax
+
b<
—的解集的
X
X
:方法
:
如图，过交点A^B分别作X轴的垂线，它们连同y轴把平面
:分为四部分，相应标为i、u、m、N.
从图象可以看出，在1、山部分，反比例函数图象位于一次
I-
函数图象上方，所以不等式ax+b<—的解集为x
k
以不等式ax+b>
的解集为xB<%<0或
考点三
反比例函数的实际应用
根据题意找出成反比例的两个量，进而建立数学模型，解决
实际问题.
。对应学生用书起始页码53页
一、求k的值和反比例函数解析式的方法
由k的几何意义直接得出反比例函数解析式.
:
根据图象特征求出图象上某个点的坐标，然后用待定系:
数法求反比例函数解析式.特别是当图象上有两个未知坐标的点:
时,常设一个参数，根据几何图形的特征，用参数把图象上两个:
点的坐标表示出来，然后根据呀二&列方程，求出参数，得两个点:
的坐标，即可得出反比例函数解析式.
:
例1
（2019黑龙江齐齐哈尔，15,3分）如图，矩形ABOC的:
顶点B、C分别在%轴,y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标:
为（-2,0）.将线段OC绕点。逆时针旋转60。至线段。。，若反比:
k
:
例函数
尸一（5）的图象经过A^D两点，则k值为
.:
X
|
8
设点
A（0,6）（0〉O,6〉O）,则点
B（
-a,
-
b）,所以
AC
=
0,点B到直线AC的距离是2们则S△倒二;Xax2b二部二8,将点
:A的坐标代入反比例函数表达式可得k二泌二8.
:二、反比例函数的性质在几何中的应用
:
反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合
:考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征，
:列方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式，或用点的坐标表
:示线段的长度来探究几何图形的某些特征.
解析过D点作DEVx轴于E点，
?丁四边形ABOC是矩形，8（-2,0）,
...
AB
=
OC,ABlx
轴,
k
二
^4
=xb
=
_2，二
yA
=_5，
...0C
=
AB
=-—
2
■
L
:
例2
（2018湖北黄冈，19,6分）如图，反比例函数尸一3
:
光
:〉0）的图象过点4（3,4），直线AC与為轴交于点C（6,0），过点C
:作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
:
（!）求&的值与B点的坐标；
:
（2）在平面内有点。，使得以A,
B,C,
D四点为顶点的四边
:形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标.
k
由旋转知0D=0C二一亍，匕C0D
=
60。,
乙
DOE
=
30。，
k
...
DE
=
OD二
——,OE=ODcos
30。
4
D'
I-
???反比例函数尸一(
^0)的图象经过D点，
X
73
/
1
\
/.
k
—
―^k
,
I
—
k
I
:
1^3
V
&尹0,二
k=
.
k
解析（1）
反比例函数尸一（先>0）的图象过点4（3,4）,
%
厶
12
.r=4"
=12,反比例函数的解析式为
尸一
3
%
由题意易知点B的横坐标为6,
12
v点B在反比例函数y二—（%>0）的图象上，
%
针对训练2
(2019四川成都，19,10分)如图，在平面直角
坐标系xOy中，一次函数y
=
~^x+5和y
=
-2x的图象相交于点A,
I-
反比例函数y二一的图象经过点4
x
(!)求反比例函数的表达式；
k
(2)设一次函数y
二
；^+5的图象与反比例函数尸一的图
x
象的另一个交点为B,连接。B,求△AB。的面积.
解析(1)由(尸&+歸解得［=-2,
1尸-2.,
I
尸4.
.??点A的坐标为(-2,4).
k
k
把(-2,4)代入尸一中，得4
=二，代=-8.
反比例函数的表达式为y二—.
%
，］
『二y+?
3=-2,仔=-8,
(2)由｛
O解得］1
J
-
二資
顷二4,奴=L
、
技
-8,1),
直线BO的解析式为尸-丄.
O
过点A作AC!%轴交BO于点C,则片二土,
二
S^AB0
=
—
-
AC
-
(x0-%B)
=
—x(4_彳)x(0+8)
§
3.4二次函数
知识清单直
对应学生用书起始页码60页
考点一二次函数的图象与性质
:考点二
系数a、b、c的作用
概念
:
一般地，形如①y二如^+城+c
（。尹0,a,6,c为常数）的函数［
叫做二次函数.
:
二次函数的图象与性质
:
幻+"
:就是方程组卩
（幻，0）,（
,,0）；对称轴是直线
y
-
2
Q
一宀辫館姉r研卡、土
:
2.二次函数与一元二次不等式之间的关系
—久函数解析式的求法
：
，八
一一、宀十二?
,
（1）
一兀一次不等式ax~+城+c〉。（。尹。）的解集就是抛物线
方法1：侍疋系数法,母确疋一个未知系数，就需要一个已知：
.
占或条件?把已知占的坐标代入函数解析式或者用已知条件列］尸宀宀（握°）位于“轴上方的点的横坐标“的取值集合；
II，J
J
I>
Z1-八、、H
J
|/-J'
J、丿、t=U
十
1/
I
亠、，-^Ai-T=l
）
IJ
I~>
T'H
I
I
x
-J
.
—■
_.
v<
—fyfi-
［、.
r
u_-亠卜
口
jr
.
itr,
/,r-
t
一兀一次不等式aE+k+c<0（aW0）的解集就是抛物线y
=
a%-
+
出方程，求碍该未知系数的值，写出函数解析式；
,
h%
+
o
<
n
0）彳\/
—H
T
卜'
n'白々占白々木苗坐木永y白々4百
方法2：平移图象法，在判断平移后的函数解析式时,可以用［:勺、）1二
仃必:
比Xe
（2）
一兀一次不等式aX-+bx+c>k（。夭0）的解集就是抛物线
平移规律“上加下减，左加右减”直接写出；也可以把一次函数解：
，
y
二切+弘+c（。夭0）在直线尸k上方的点的横坐标为的取值集
析式化为顶点式，按照平移的方式，求出新函数的顶点坐标，用
，
合;一兀一次不等式处-+
bx+c
顶点式写出新函数解析式.
:.
:ax~
+bx+c（。尹0）在直线y-k下方的点的横坐标%的取值集合.
；
（3）—兀二次不等式ax2+bx+c>mx
+
n（。尹0）的解集就是抛
；物线y
=
ax2+
bx+c（
a尹0）在直线y
=
mx
+
n上方的点的横坐标%
；的取值集合;一元二次不等式ax2
+
bx+c
n（。尹0）的解集就
■是抛物线y
=
ax2+bx+c（。尹0）在直线y
=
mx
+
n下方的点的横坐
:标的取值集合.
一、
用待定系数法求二次函数解析式
若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式:y二处勺城
+。（
0尹0），利用待定系数法求得a,b,c的值.
若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点
式:y
=
a（
x-h）2
+
k
（。尹0），其中顶点坐标为,对称轴为直
线
%
=
h.
若已知抛物线与轴的交点的横坐标，则可采用交点式:y
二。
（%-%,）（光-光2）（。尹0）,其中与光轴的交点坐标为（光|,0）,
（死，0）.
例[（2017
广西百色，17,5
分）经过
A
（4,0）
,B
（-2,0）,
C（0,3）三点的抛物线的解析式是
.
解析
设抛物线的解析式为y
=
a（光+2）（光-4）（。尹0）,
3
把C（0,3）的坐标代入得-8a
=
3,即a
=―—,
8
3
3
则抛物线
的解析式为y二一-—（光+2）
（%-4）二一-
尸+
近+3.
8
8
4
3
答案广一_±尸+_?_
3
丿8
4
针对训练1
（2019河南，8,3分）已知抛物线y
=-x~+bx+4
经过（-2,口）和（4,口）两点，则n的值为
（
）
A.-2
B.-4
C.2
D.4
答案B
解析?丁抛物线经过（-2,口）和（4,口）两点，
（n
=
-4-26+4,
b
=
2,
t
?”
』解得{
/故选B?
n
=
-16+46+4,
n
=
-4.
二、利用函数的图象和性质比较大小或判断字母的取值
范围
在比较几个点的纵坐标大小时，方法一是画出图象，标出
这几个点，由点的上下位置来判断;方法二是先判断这几个点是
否在对称轴的同一侧，不在同一侧的，按照抛物线的对称性，找
到对称点,然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小.
在判断有关a、b、c的式子的符号时,主要从抛物线开口方
向、对称轴的位置、特殊点等几个方面判断.
判断不等式的解集时,可以先观察函数图象的位置，确定
符合题意的自变量的取值范围.
例2
（2019福建，10,4分）若二次函数
尸
也I尸一bx+c的
图象过不同的五点A
（
m,n），勤（0,[|）
,C
（3-m,n）,。（次,％）,
E（2,T3）,则幻，％,[3的大小关系是
（
）
D?％
a
1〉0".抛物线的开口向上.
V
抛物线过
A（m,n）和
C（3-m,n）,
3
抛物线的对称轴为直线%
=—.
作出二次函数的大致图象，如图.
■
由图可知y2
针对训练2
（2017黑龙江齐齐哈尔，
:10,3分）如图，抛物线y
-
ax~+bx+c（。尹0）
:的对称轴为直线=
-2,与轴的一个交点
:在（-3,0）和（-4,0）之间，其部分图象如图
:所示，则下列结论：①4。-
b
=
0；②c
<0；
■③-3。+c〉0
；④
4。-
2b〉at1
+
bt
（
t
为实数）；⑤点（一—,y
|
）,
:（一；，％）,（-!，儿）是该抛物线上的点，则幻<%<外，正确结论
?的个数是
（
）
:
A.4
B.3
C.2
D.1
答案B
:
解析
v抛物线的对称轴为直线%二-;二-2".4a-b
=
0,
:
2。
:故①正确；?「抛物线与%轴的一个交点在（-3,0）和（-4,0）之
:间由抛物线的对称性知，抛物线与%轴的另一个交点在（-1,
:0）和（0,0）之间抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，即c
!
<0,故②正确；由②知，页=-!时y〉0,且b
=
4a,即a-b+c
=
a-4a+c
:=-3q+c〉0,故③正确；由函数图象知当%
=
-2时，函数取得最大
:值".4a-26+c
at2
+
bt+c,即
4a-26
at2
+
bt{
t
为实数），故④错
■误;?「抛物线的开口向下，且对称轴为直线为二-2".抛物线上的
j点离对称轴的水平距离越小，函数值越大，,故⑤错
:误.故选B.
:三、二次函数图象的平移规律
:
在判断平移后的函数图象时，用平移规律“上加下减，左加
:右减”直接写出；给出两个二次函数，判断平移的方法时，要把二
i次函数解析式化为顶点式，按照顶点坐标的变化写出平移方法.
!
例§
（2017江苏盐城,6,3分）如图，将函
'
，数尸!（
-2广+
1的图象沿y轴向上平移得
/
:到一个新函数的图象，其中点A（l,m）、B（4,n）
半匕/
i平移后的对应点分别为点妃、B'.若曲线段AB
_組山
：扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新函数C
；
i的表达式是
（
）
11,
1
:
A.y二—（x-2）
__2
B.y二—（%-2）
一+7
:
2
2
■
:
1
1
:
C.y
=
—（%-2）2-5
D.y
=
光
_2）?+4
]
:
解析函数y
=
—
3-2）
2
+
1的图象过点
!
，
捉（4,勿，
:
1,3
1
,
:
/.
m
—
（
]-2）_
+1
，口
=
4-2）
_
+
1
=
3,
:
A
（1，?），8（
4,3）,
:
过A作AC^x轴，交B'B的延长税于点C,则C（4，m）,
:
AC
=
4-1
=
3.
■
v曲线段AB扫过的面积为9,
:
AC
-
AA'
=
3AA'
=
9,^
AA'
=
3,
即将函数广;顷-2)
2+1的图象沿y轴向上平移3个单位
长度得到一个新函数的图象，
二新函数的表达式是
尸;(%-2)
2+4.
故选D.
答案D
针对训练3
(2018新疆乌鲁木齐，13,4分)把抛物线y二
2尸一也+
3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为
■
答案
y
=lx-
+
!
!
解析易知y
=
2尸-心+3
=
2(光-1广+1,则把原抛物线向左
:平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2—L
§
3.5二次函数的综合应用
。对应学生用书起始页码68页
考点一抛物线与距离、面积、角度
直角坐标系中两点之间的距离
如图，（1）线段
AB^x
轴时,AB=
I-xB
I
=①
xB-xA
；
（2）
线段
CDffy
轴时，CO
=1
yc-yD
丨=②
yc-yD
；
（3）
当线段不平行于坐标轴时，常过线盛而如作坐标轴的
平行线，转化为（1）（2）两种情况，利用勾股定理求线段长.
EF
f
广+(
yE
-
y,)2
-
图形的面积
（!）如图1,当三角形的底边平行于坐标轴，或者在坐标轴
上时，
通"轴时，作CM丄%轴，交AB于D,垂足为M,
S△伯c二
]
AB
-
CD
；
2
EG^y轴时，作FN丄y轴，交EG于丑，垂足为N,
S△席二
]
EG
-
FH.
2
如图3,作轴，交化于矿垂足为。，过A作AN1CD
于乂过B作BMLCD于必，则S△倒二S△徐+S
△以二;CE（
AN+
BM）二③5（片一九）（光厂均）-
如图4,过三角形的顶点作坐标轴的平行线，构成矩形，则:
—
S矩形AEFD
—S
"BE
^BCF
^ACD'
（3）求四边形和多边形的面积时，可以作坐标轴的平行线，
割补为三角形、矩形等来解.
直角坐标系中的“距离和最短”问题
如图，作点A关于直线I的对称点C,连接BC交直线I于点
P,则PA+PB最短，解答时，可以先求出直线BC的解析式，再求
出点P的坐标.
有关角的问题,可以构造直角三角形，利用锐角三角函数
求值;或者构造全等（或相似）三角形，把角的问题转化为边的问
题来解.
:考点二抛物线与特殊三角形、特殊四边形
:
1.用尺规作出图形，用顶点的坐标表示图形的边长，利用图
:形的边之间的关系，如等腰三角形的两腰相等，直角三角形的勾
:股定理，平行四边形的对边平行且相等，圆心到切点的距离等于
:半径，等等，构造方程或直接得解.
:
2.如图，过口ABCD的顶点作坐标轴的平行线，可得Rt—ADE
:/RtRCBF，所以
DE
=
BF,AE
=
CF,所以
xD
-
xA
=
xc
-
xB
-
二
■
Tc_yg，貝卩xb
二均+光c，④
儿+无二为+片-
:
用顶点的坐标表示图形的边长，利用全等（或相似）三角形
:的对应边相等（或成比例）解答问题,注意分类讨论思想的应用，
:不要漏解.
:
思路：L清楚已知的三角形特征，如等腰三角形，直角三角
:形，边长是多少，角度是多少，等等;2.设未知数，用未知数表示未
:知的（或动态的）三角形的边长;3.根据全等（或相似）三角形的
，性质，利用对应边相等（或成比例）列方程，解方程得出未知数的
i值，代入即可得动点的坐标.
j考点四
二次函数在实际生活（生产）中的应用
?
主要考查利润最大，方案最优，面积最大等问题.
:
一般步骤：
（!）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
（2）
确定自变量的取值范围；
（3）
分析所得函数的性质；
（4）
解决提出的问题.
题型方法蠢
例〔(2019内蒙古包头，26,12分)如图，在平面直角坐标［
系中，已知抛物线y二探+城+
2(
尹0)与x轴交于A
(-1,0)、:
8(3,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.
:
(!)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴方程；
:
点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、DB，若LDCB二:
乙CBD,求点D的坐标；
:
已知5(1,1),若E0,y)是抛物线上一个动点(其中K
j
光＜2),连接CE,CF,EF,求ACEF面积的最大值及此时点E的:
坐标；
1
若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点:
必,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，:
请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明:
理由.
:
解析
(1)
V
抛物线
y-ax~+bx+2(a^＜3)过
4(
-1,0)
,5(3,;
0)两点，
1
0二」
:
亿一6+2
=
0,方c
3
'
:
”9刑
0,解得|
4
；
4
:
抛物线的解析式为y二一命°+w+2.
:
3
■
对称轴方程是%
=1.
(3分):
(2)过点D作DGLy轴于G,作DH1%轴于H.
:
设点
0(1,&),?「C(0,2)
,8(3,0)，/.在
RtACGD
中，；
CG-+GD-
=
(2-贝,)2
+
(1-0)2,
;
在
中，BD2=
BH2+HD2
=
(3-1)
2
+
(y?-0)2.
:
冬
NBCO
中，?丁
ADCB
=匕
CBD,，.
CD
=
BD,:.
CD2=
BD2.
:
]:
二(2-贝〉)「+
(
1一。)-二(3T)
一
+
(贝厂。)-".4&
=
1".
y0
;
.??点D的坐标是(1,；).
(6分):
1
1
1
二
Smef
二
EQ
-
QRfEQ
-
QCf
CR
-
RF-^^FP
-
EP
=光(7一1)
_；光([一2)
2，4,
c
y
=_亍"一
+；光
+
2"?
S^CEF
.
S
=-丄
W
f+竺
■■
E
3
4
48'
1
7
-亍＜°,
1＜〒＜2,
7
49
当光=—时，ACEF的面积取最大值，为京.
48
此时点E的坐标为
(:，負
.
(9
分)
(4)存在点使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
点M的坐标为(2,2)或
(4,当或("?)?(
n
分)
针对训练1
(2017江苏盐城,27,14分)如图，在平面直角
坐标系中，直线T二;光+2与光轴交于点A,与y轴交于点C,抛
物线y二一x2+bx+c经过4、C两点，与%轴的另一交点为点B.
(!)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点.
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E,厶CDE的面
积为S|，厶BCE的面积为
財求了的最大值;
②过点D作DF1AC,垂足为点F,连接CO,是否存在点D,
使得△
CDF中的某个角恰好等于ABAC的2倍？若存在，求点
D的横坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
解析(1)根据题意得4(
-4,0),C(0,2),
抛物税y
x2+bx+c经过A^C两点，
1
.
v
二
%
丿2
13
13
(2)①在
y=%2%+2
中，令
y
=0,贝J
%2%+2=0,
解得光|二一4,气=18(
1,0),
■
如图，过D作DM1%轴于必，交AC于K,过B作BN1%轴:
交
AC
于
N,:.
DM^BN,
:
△DKEs^BNE,
_
DK
-BN
HJa+2),
DF
=3k,DC
=
5k,
M
1
.「tanZOGC
二——二——,
FG
2
'
二
FG
=
6k,
CG
=
2&,OG
=
3$k,
245
4
沔
/.
RC
—
---k,
RG
—
---k,
l
屿
lb/5
/.
DR
—
345
k—--k
—
—-—k.
设
D
，一亍—m2
+
2),
1
2
3
DR
—
.RC
—
m，
-，
2
-
2
-
,4
_
DE
一
5?
-~BE
设
(。,一一
...
K(
]
a,
，2
_
DK
二
M
-BN
也+2)乂1,三)，
1U5t
k
DR
_
5
_
二局=2$
=
1
2
3
L
m，
5
“
2
-
2
?
29
解得R=-五或。(舍去).
1
.
c
a
—2a
2
1
,八，4
兰
r(a+2)
+;?
T
S|
4
当a
=
-2时，于取得最大值，最大值是w
②存在.：A(
-4,0)
,B(l,0)
,C(0,2),
AC
=
2-/5
,BC
=
-/5
,AB
=
5,
AC-+BC~=
AB-,
AABC是以AACB为直角的直角三角形.
取AB的中点P,:.
Pf
,0),
29
综上可得，点D的横坐标为-2或-侦.
连接PC,
...
pa
=
PC
=
PB
5
...厶
CPO
=
2^BAC,
.?.tanZCP。=
tan
2LBAC二;,
:二、抛物线与三角形、四边形的综合应用
抛物线与三角形、四边形的综合应用问题有两类，一类是用
i参数表示图形顶点的坐标，进而表示图形的边长,利用特殊三角
i形、四边形的边的关系列方程，求出参数和点的坐标；另一类是
i用顶点坐标求出边长，验证图形的形状.
例2
(2019四川成都,28,12分)如图，抛物线y
=
ax~+bx
+c
:经过点4(-2,5)，与算轴相交于8(-1,0)
,C(3,0)两点.
:
(!)求抛物线的函数表达式；
!
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将
；△如。沿直线BD翻折得到^BCD，若点C'恰好落在抛物线的
；对称轴上，求点C'和点D的坐标；
:
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物
:线的对称轴上，当△
CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表
■达式.
过D作%轴的平行线交y轴于R,交AC于G,
情况一：如图，匕DCF
=
2^BAC
=乙DGC+乙CDG,
?:匕DGC=乙R4C".
LCDG
=ABAC,
]
tan
Z
CDG
=
tanA
BAC
=—,
2
即竺=丄，
DR
2
'
设
D
——"+2),
1
,
3
DR
—
—m,
,RC
—
m~.
m
'
2
I
2
/
K
N
\
七
，/
匕
p
■^7
.
3
m.
m.
'2
1
2，
解得时=-2或0(舍去),
xD
—
_2.
情况二:匕FDC
=2ABAC,
.4
tan
Z
FDC
=—.
3
设
FC
=
4心〉0),
解析
解得
=
~2,
(c
二-3.
抛物线的函数表达式为
尸/一2为-3.
(2)
?丁抛物线与%轴的交点为B(-1,0)
,C(3,0),
a
BC
=
4,抛物线的对称轴为直线%
=1.
设抛物线的对称轴与光轴交于点丑，则H点的坐标为(1,
0）
,BH
=
2.
由翻折得CB=CB
=
4.
在Kt
ABHC中，由勾股定理，得
C
H=y/CBr-BH-
C'
h
2a/5~
二点
C，的坐标为（1,2
寫）,tan
厶
C
'BH
=
二
一-一
=
4^.
BH
2
LCBH
=
60°.
由翻折得
LDBH
=
^LC'BH
=30。.
②当点P在%轴下方时，点Q在%轴下方.
?丁
△QCP,PCCB为等边三角形，
...
CP
=
CQ,BC
=
C'C,ACC'B
=AQCP
=AC'CB
=60°.
ABCP=匕
C'CQ.
△BCP丝△OCQ.l
^CBP
=ACC'Q.
?:
BC
=
CC',C'H丄BC,
ACC'Q
=;CCC、B
=30。，
ACBP
=30°.
设BP与y轴相交于点E.
亠
■丄
73
在
中，。E
=
0B
-
tanZCBP
=
0B
-
tan
30。二
lx§
在
中，。丑二BH
■
tan^DBH
=2xtan
30。
设直线BP的函数表达式为y=k'x+b',
(3)取(2)中的点C',D，连接CC.
?:
BC
=
BC.ACBC
=
60。,
ACCB为等边三角形.
分类讨论如下：
①当点P在%轴上方时，点Q在%轴上方.
连接
BQ,C'P.
?丁
APCQ,AC'CB为等边三角形，
...
CQ=CP,BC二CC,匕PCQ
=AC'CB
=
60°.
...匕BCQ=乙C'CP....
ABCQ^AC'CP.
BQ
=
CP.
?丁点Q在抛物线的对称轴上,8。=
CQ.
CP
=
CQ
二
CP.
又?丁
BC，=
BC,
.?.BP垂直平分CCL
由翻折可知BD垂直平分CCL
.??点D在直线BP上.
设直线BP的函数表达式为尸kx+b,
I
^
=
-k+b,
2疗
解得'
丁二屮
直线BP的函数表达式为［
=
?%+??
解得］
b'=
针对训练2
(2017四川广安，26,10分)如图，已知抛物线
7
=
-/+城+c与y轴相交于点4(0,3),与算轴正半轴相交于点
饥对称轴是直线%
=L
(!)求此抛物线的解析式以及点B的坐标；
(2)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿%
轴正方向运动，同时动点N从点。出发，以每秒3个单位长度的
速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，必、N同时停止运
动.过动点M作%轴的垂线交线段AB于点交抛物线于点P,
设运动的时间为t秒.
当t为何值时，四边形0MPN为矩形？
当t>0时，△的0能否为等腰三角形？若能，求出t的值;
若不能，请说明理由.
?丁抛物线过点A(0,3)".
c
=
3,
抛物线的解析式为y二-宀2^+3,
令y
=
0,可得-先'+2先+3
=
0,解得%
=
-1或%
=
3,
.??8点坐标为(3,0).
(2)①由题意可知ON
=
3t,OM
=
2t,
v
P在抛物线上,
二
P(2t,-4t2+4t+3),
?丁四边形OMPN为矩形，.?.
ON
=
PM,
(!)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每
辆货车的日租金是多少元？
(2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨
20元,每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆
货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
解析(1)设该出租公司这批对外出租的货车共有%辆.
m加昨圣店1
500
/
1
\
4
000
根据题意'得顼-"、)二'，
解得%
=
20.
经检验?
=
20是所列方程的解.
1
5004-(20-10)=
150(元).
答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆
货车的日租金是150元.
(5分)
(2)设当旺季每辆货车的日租金上涨0元时，该出租公司的
日租金总收入为w元.
根据题意，得
W
=[a+150x
"+；)]
,(20一会)，
1
，
1
,
、，
w
—
a~
+
10a+4
000,.'.
w
—
(。一100)一+4
500.
20
'
20
'
3
/.
3t
二
一4厂+4
+3，解得
t
=1
或
t
=―—(舍去)，
?丁
一二<0".当a
=10。时，位有最大值.
当t的值为1时，四边形OMPN为矩形.
②能.?丁
4(0,3)
,8(3,0),
OA
=
OB
=
3,且可求得直线AB的解析式为y=f+3,
当
t>0
时，OQ^OB,
当厶BOQ为等腰三角形时，有OB
=
QB或OQ=BQ两种
情况.
由题意可知OM斗入Q(2t,-2t+3).
/.
OQ
=
\/(2
)
_
+
(
_2
+3)
_
=
”8厂-12i+9
,
BQ二
J(2片3广
+
(-2
+3)2
W2l2i-3I
,
又由题意可知0q<1,
当OB
=
QB时，有VI⑵一3丨二3,
3
当OQ
=
BQ时，有
丿8户一12
+9=7!|2片3丨，解得t
.
综上可知，当t的值为甘2或j时，△B。。为等腰三角形.
三、利用二次函数的性质解决最优化问题
利用二次函数求最值的方法:一是利用公式，对于二次函
h
A-nc—h~
数y
=
ax2+bx+c(。尹0),当x
时，函数取最值
;二是配
2a
4a
方法,把一般式化为顶点式，利用任意一个数的平方大于等于0
求出最值.
利用最值解决实际生活中的最优化问题，应认清变量所
表示的实际意义,要符合实际.
例3
(2019内蒙古包头，23,10分)某出租公司有若干辆
同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两
种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨!.据统计，淡
季该公司平均每天有10辆货车未租出，日租金总收入为1
500
元;旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4
000元.
答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的
日租金总收入最高.
(10分)
针对训练3
(
2018江西，21,9
尸千克)
分)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户20°---\
承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获15。[一"「\
季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千
亍
.
：
克，投入市场销售时,调查市场行情，发
°
I，知兀/「克)
现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价
只元/千克)之间的函数关系如图所示.
(!)求y与的函数关系式，并写出的取值范围；
当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最
大？最大利润是多少？
某农户今年共采摘蜜柚4
800千克，该品种蜜柚的保质
期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售
完这批蜜柚？请说明理由.
解析(1)设y与光的函数关系式为y
-
尹0),
将(10,200)和(15,150)代入，得
卩°
=
20
°’解得卩=
T0，
115&+6
=150,
b
=
300.
二y与%的函数关系式为y
=
-10%+300.
由一1。光+30030,得
%^30,
%的取值范围为8W光W30.
(2)设该品种蜜柚定价为%元/千克时，每天销售获得的利
润为
W
元，依题意，得
W
=
(T)(-m
+
300)
=-10
(%-19
广
+
1
210,
.丁
一10<0,8Wa；W30,...当
%
二19
时，驴最大值=1
210.
因此，该品种蜜柚定价为19元/千克时，每天销售获得的利
润最大，最大利润为1210元.
(3)不能.
理由：按(2)中每天获得最大利润的方式销售，
由(])得
y=-10x19+300=110,
?「110x40
=
4
400<4
800,
该农户不能销售完这批蜜柚.
第四章图形的认识
§
4.1角、相交线与平行线
。对应学生用书起始页码80页
考点一角
1.1。=
60',1'
=
60”.
如果两个角的和等于90。，那么就说这两个角互为余角，
同角或等角的余角相等.
如果两个角的和等于180。,那么这两个角互为补角；如果
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，这样的
两个角互为邻补角；同角或等角的补角①相等.
如果一个角的两条边与另一个角的两条边互为反向延长
线,那么这两个角互为对顶角；对顶角②虫生.
考点二
相交线和平行线
两点确定一条直线；两点间线段的长度叫做两点间的距
离;两点之间③箜圭最短.
平面内，过一点有且只有④二^直线与已知直线垂直.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑤垂线段最短.
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行线的性质:两条直线平行，同位角相等，⑥主疊电_相
等，同旁内角互补.两条平行线之间的距离相等.
平行线的判定方法
(!)同位角相等,两直线平行.
内错角相等,两直线平行.
同旁内角⑦两直线平行.
平行于同一直线的两条直线平行.
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线⑧兰立_.
考点三角平分线和线段的垂直平分线
角的平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离⑨虫生;角的内部到
角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相
等;到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的⑩
直平分线上.
题型万吳
。对应学生用书起始页码80页
一、平行线与角平分线、三角形内角和定理的综合应用
如图所示，直线当BC平分厶时，易得厶1二厶2二
?3,AABC是等腰三角形，利用这个性质,我们可以求某个角的
度数,或者求AB^AC的长度.在求角度时，常常会用到三角形内
角和定理.
例2
（2018黑龙江大庆，9,3分）如图，匕B=匕C
=
90。，必
是BC的中点，DM平分LADC,且LADC
=110。，则厶MAB=
例〔（2018河南，9,3分）如图，已知
UAOBC
的顶点
0（0,0）
,A（T,2），点
B
在
%
轴正半轴上.按以下步骤作图：①以点。为圆
心,适当长度为半径作弧，分别交边04,0B
A.30。
B.35。
C.45。
解析作MN^AD于N,
D.60。
于点D,E；②分别以点D,E为圆心，大于;OE的长为半径作弧,
两弧在LA0B内交于点F；③作射线。交边AC于点G项I」点G
的坐标为
（
）
A.^/5-1,2)
B.G/5,2)
C.(3^/5,2)
D.^5-2,2)
解析如图，设AC与y轴交于点丑.
在口A0BC
中，AC”08".
AHLy
轴，
?丁
A(-1,2)，/.
AO
=
V(-1)-+2-=妨，
由作图知0F平分AA0B，又AC^OB,
AAOF
=LB0F
=LAG0,
.丁
LB
=
LC
=
90。，
AB^CD,
乙
DAB
=180°
-LADC
=
70°.
?丁
DM
平分
AADC,MN
1AD,MC
1
CD,
MN
=
MC,
?丁
M是BC的中点，
MC
=
MB,
MN二必饥又
MN1AD,MB1AB,
]
A
MAB
=
A
DAB
=35。，
2
，
故选B.
二
AG
=
AO
=
^5
,HG=AG-AH
=
J^-1,
.??点G的坐标为（A-1,2）.故选A.
答案A
针对训练1
（
2019湖北黄冈，13,3分）如图，直线AB
//
CD,直线EC分别与旭,CD相交于点丸点C.AD平分^BAC,已
知厶ACO
=80。，则ADAC的度数为
答案50。
解析
因为AB^CD，所以厶BAC+
AACD
=180。，所以ABAC
二
100。，又
AD
平分
ABAC,所以
LDAC
=
50。.
二、合理利用角平分线解题
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.合理
利用角平分线的性质以及角的轴对称性构造全等三角形，可以
判断角或者线段之间的关系.下面是三种常见的辅助线作法.
答案B
针对训练2
（
2018湖南常德，6,3分）如图，已知BD是
△ABC的角平分线,EO是BC的垂直平分线，匕BAC
=
90。,曲二
3,则CE的长为
（
）
B.5
C.4
A.6
答案D
D.3寫
解析?「ED是BC的垂直平分线,
DB
=
DC,
ZC=厶DBC.
?丁
BD是W8C的角平分线，
匕ABD=匕DBC,?丁
匕BAC
=
90。，
AC
=
zLDBC
=
zLABD
=
30。，
BD
=
2AD
=
6,
CE
=
CDxcos
C
=
3^3
.
故选D.
§
4.2三角形及其全等
。对应学生用书起始页码85页
考点一三角形的相关概念
1.三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形叫做三角形.
2.三角形的分类
(1)按边分:
定理
三角形三个内角的和等于⑥_!虹
推论
直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
(底边和腰不相等的等腰三角形
i①等边三角形
(2)按角分:
三角形
(②直角三角形
""一布并J锐角三角形
〔斜二角形I钝角三角形
i考点二全等三角形的判定与性质
:
1.全等三角形的性质
:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
:
2.全等三角形的判定
3.三角形的中位线
定义:连接三角形两边③也点的线段叫三角形的中位线.
性质:三角形的中位线④兰尘于第三边，且等于第三
边的一半.
4.三角形三边的关系
文字叙述
数学语言
理论依据
图形
内
容
三角形两边的
和⑤大于第
三边
在
AABC
中，a,
b,c为三边长，则
有
a+b>c,b+c>a,
a+c>b
两点之
间，线段
最短
A
三角形两边
的差小于第
三边
在
AABC
中，a,
b,c为三边长，则
有
a~b
用
判断三条线段能否组成三角形.
已知三角形的两边,求第三边的取值范围
判定
判定1:三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或
“SSS”)
判定2：两边和它们的⑦夹角分别相等的两个三角形全等
(简写成“边角边”或“SAS”)
判定3：两角和它们的⑧夹边分别相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”)
判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
(简写成“角角边”或“AAS”)
判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
题型万吳
一、利用三角形的“三线”的性质解题
1.三角形的高的有关结论
如图1,已知BE、CD是^ABC的两条高，可以得到“-ABE
=
LACD''"
△ABE5AACD”3DBF5AECF”“D、B、C、E
四点共
圆”等结论.
如图2,已知直线a^b,可得S
△伯c二S△庭°
2.三角形的角平分线的有关结论
如图3,BD、CE是
MBC的角平分线，可得ABOC
=
90。+
:
/LEAD
=
LBAD-LBAE
=
5°.
:
?丁
A
ABC
中，匕C
=180°
-AABC-^BAC
=
70。，
:
AEAD+AACD
=
5。+70。=
75。，
:
故选A.
答案A
:
针对训练1
（2018浙江湖州，8,3分）如图，已知在
:中，厶R4O90。,点D为BC的中点，点E在AC上，将△
CDE沿
:DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD,
:则下列结论不一定正确的是
（
）
:
F
如图4,
BD平分Z4BC,
CO平分匕ACE,可得ABOC二
C
AAE
二
EF
AB
=
2DE
AADF和^ADE的面积相等
AADE和△FOE的面积相等
答案C
解析如图，连接CF,
]
tab-
3.三角形的中线的有关结论
如图5,AD是^ABC的边BC上的中线，可得S△伯/SA4C0.
如图6,
CD是Rt
A
ABC的斜边AB上的中线，可得CD
=
例［（2018湖北黄石，7,3分）如图，AABC中，AD是BC
边上的高,AE、BF分别是匕BAC、匕ABC的平分线，ABAC
=
50。，
A
ABC
=
60。，则厶
EAD+
匕
AC。=
A.75。
ED
B.80。
C.85。
D.90。
解析?丁
AD是BC边上的高，
AADB
=
90。，又?丁
匕
ABC
=
60。，
ABAD
=
90°
-A
ABD
=
30°.
?丁
AE
平分
ABAC,
]
...厶
BAE
=
ABAC
=
25。，
2
?丁点D是BC的中点，
BD
=
CD.
由折叠知，丁ACB
=
LDFE.CD二DF,
BD
=
CD
=
DF,
ABFC是直角三角形，
LBFC
=
90。，
?丁
BD
=
DF,
AB
=匕
BFD,
LEAF
=
AB+AACB
=
ABFD+ADFE
=匕
AFE,
AE
=
EF,故
A
正确.
由折叠知,EF
=
CE,
AE
=
CE.
?:
BD
=
CD,
DE是厶ABC的中位线，
AB=2庭，故B正确.
?丁
AE
=
CE,
-Q
-
Q
--2
4ADE
—
CD?，
由折叠知，△
CDE^^FDE,
:
-二
Q
I
-
-
Q
4CDE—
2-FDE，
:
二S厶硕，故D正确，
■
」.C选项不正确，故选C.
:二、合理选择全等三角形的判定方法解题
:
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形
:全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个
元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确
地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而
得到判定两个三角形全等的思路：
（找夹角一
SAS
（1）已知两边｛找直角一HL
I找第三边一
SSS
证明
v
Al=
Z2,
已知
（2）
一
边、＜
一角
『一边为角的对边一找另一角一AAS
一边为角
的邻边
（找夹角的另一边一
SAS
|找夹边的另一角一ASA
I找边的对角—AAS
Z1+ZD4C
=乙2+ZOAC,
即
ABAC
=LDAE.
I
ABAC
=厶DAE,
AB
=
AD,
LB
=—D,
△旭C丝ASA）,
BC
=
DE.
（1分）
（3分）
（5分）
（6分）
针对训练2
（2017湖北武汉，18,8分）如图，点C,
F,E,B
在一条直线上，匕CFD
=
LBEA.CE=BF,DF=AE.写出CD与AB
找夹边一'ASA
（）巳知两角I找其中一角的对边一AAS
若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添
加辅助线,如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法
等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.
例2
（2018云南昆明，15,6分）如图，在AABC和AADE
中，二
AD,LB
二乙。，厶1二乙2.求证：=
DE.
之间的关系，并证明你的结论.
解析
CD与AB之间的关系为CD=AB,且CD^AB.
证明：?丁
CE
=
BF,:.
CF
=
BE.
CF
二
BE,
在^CDF
和△R4E
中
J
LCFD=匕BEA,
\DF=AE,
△CDF^ABAE,
CD
=
BA,乙
C
=厶
B,
CD^BA.
考点一等腰三角形
§
4.3等腰三角形与直角三角形
@对应学生用书起始页码92页
1.等腰三角形的概念、性质与判定
概念
有两条边①相等的三角形是等腰三角形
性质
等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴.
性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边
对②等角")
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的③虫线_、
底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
判定
等角对等边
2.等边三角形
等边三角形｛
性质｛
判定｛
三条对称轴
三个内角都是④宜二
三个内角都相等的三角形
有一个内角是⑤史的等腰三角形
i考点二直角三角形
概念
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑥二.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直
角边等于斜边的⑦二±_
■
勾股定理:在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜
边c的平方，即⑧准+疽二疽
判定
如果三角形一边上的中线等于这条边的⑨二±_，那么这
个三角形为直角三角形.
勾股定理的逆定理:如果三角形的两边的⑩兰等于
第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
。对应学生用书起始页码92页
一、等腰三角形的性质及相关模型的应用
DE
=
6-6%
=
3寫-3.
“等边对等角”
“三线合一”.如图1,在等腰△旭c中，旭二
AC,AD是底边上的中线，可得厶8=厶是底边上的高和顶
角的角平分线.
A
B
D
C
图1
图2
“手拉手模型”.如图2,等腰△旭C和等腰△
ADE,公共顶
点为
A,^BAC
二乙
DAE,可得△ACE
丝
A
ABD.
“半角模型”.如图3,等腰△旭C中，化二AC,点D、E是边
BC上的两点，匕DAE二;ZR4C,将八厶与。绕着点A顺时针旋转
角
a（注
a
=ABAC），得到连接
可得△
ADF^AADE,
DF
二
DE.
例1
（2017湖北武汉，15,3分）如图，在△
ABC中,AB二AC
=
20"AC
=120。，点
D,E
都在边
BC
上，厶OAE
=
60。.若
BD
二
2CE,则DE的长为
.
解析
如图，将△ABO沿AD所在直线翻折得△AF。，连
接EF,
AB
=
AF=AC,BD
=
DF,
LAFD
=LB
=
30°.
.丁
ABAC
=120°,
A
DAE
=
60。，
ABAD+ACAE
=
60。，
又
ABAD
=匕
FAD,
Z
FAD+
Z
CAE
=
60。，
乙
CAE
=?FAE,又
AE=AE,
AACE^AAFE,
CE
=
EF,
LAFE
=AC
=
30。，
LDFE
=
60°.
过点E作EH丄DF,交DF于点丑，过点A作AM1BC,交BC
于点M.
设CE
=
2心
则
BD
=
2CE="EF
=2x,DF
=
4x,FH=x,EH二有x,DH
=3x,
又
BC
=
1BM
=
2AB
-
cos
30。=
6,
DE=
6-6%.
在
Rt
—
DEH
中,DE，=
DH2+EH2,
即（6-6%）2
=
（3%）
2
+
^/T%）2,
答案^3-3
，題一题多解
将△化。绕点A逆时针旋转120。得^ACF,
连接
时，.?.
CF
=
80.可证△
ADE#AAFE,，.
DE
=
EF.
-AACD
=AB
=30。，
LFCE
=
60°.
过点E作EH丄CF，交CF于点丑，
设CE
=2心
则
BD
=
4%,
CH=%,
CF
=
4%,
FH
=
3x,EH
=
43
%.
过点A作AM1BC,交BC于点网，
则
BC
=2CM
=
2AC
-
cos
30°
=
2x27Ixe
=
6,
FE
=
DE
=
6-6%.
在
Kt
△
EFH
中，FE2
=
FH1
+EH2,
即（6-6%）2
=
（+
（昭广，
解得幻=?，匕=T
（舍去）?
DE
=
6-6%
=
3TT-3.
针对训练1
（
2018湖北武汉，14,3分）以正方形ABCD的
边AD为边作等边△
ADE,则厶BEC的度数是
.
答案
30。或150。
解析①当点E在正方形ABCD外时，如图，
?丁四边形ABCD为正方形，AADE为等边三角形,
AB=AD二AE,
ABAD
=
90。，匕AE。=匕DAE
=
60。，
匕
BAE
=150。，
LAEB
=
LABE
=15。，
同理可得匕DCE=匕DEC
=
15。，
则
ABEC
=
LAED-LAEB-LDEC
=
30°.
②当点E在正方形ABCD内时，如图，
?丁四边形ABCD为正方形，SDE为等边三角形,
AB=AD二AE,
ABAD
=
90。，匕AE。=匕DAE
=
60。，
...乙
BAE
=
30。，
LAEB
=匕
ABE
=75。，
同理可得匕DCE
=匕DEC
=
75。，
则厶
BEC
=
360°-
LAED-
AAEB-厶
DEC
=
150°.
综上，匕BEC
=
30。或
150。.
二、勾股定理的应用
已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾
股定理计算;对于直角三角形中已知一边长和其他相关条件，求
另两边长的问题,常设一边长为未知数，由勾股定理列方程求解.
例2
（2019河南，9,3分）如图，在四边形ABC。中，时”
BC,?D
=
90。,AD
=
4,BC
=3,分别以点A、C为圆心，大于;AC
长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点交AC于
点。.若点。是AC的中点，则CD的长为
（
）
A
A.^/2
B.4
C.3
D.
TW
解析
连接FC,由作图方法及点。是AC的中点可知，BF
垂直平分
AC,
AF
=
CF,AB
二
CB,易得匕1二匕2,
-
AD
”BC,
厶2二乙3".乙1
二乙3,
AB
=
AF,
BC
=
CF
=
AF
=3,
FD
=
AD-AF
=
L
在
Kt
A
DCF
中，由勾股定理得
CD
=
VfC~-DF~
二
握，故选A.
A
答案A
针对训练2
（2018江西，12,3分）在正方形ABCD中,=
6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD
=
2AP,
则AP的长为
.
答案
2,丿14
或2寫
BD
=
642
,OA
=
OD
=
3-j2.
有三种情况：①点P在AD上时,
?「AD
=
6,PD
=
2AP,
②点P在AC上时，不妨设AP二心〉0）,则DP
=
2心
在RtADPO中，由勾股定理得DP2=
DO2+OP2,
即（2光）2二（371）勺（显
—%
广，
解得%^/14^/2
（负值舍去），
即
AP
^/14^/2
；
③点P在AB上时，
.丁
匕PAD
=
90°,PD
=
2AP,
乙
ADP
=
30。，
?
??
AP3O°
=
6X§=2疗
综上所述,AP的长为2,
M彳-互或
以.
§
4.4多边形与平行四边形
对应学生用书起始页码98页
考点一多边形
n边形的内角和为①(n-2)
X180。，外角和为360。.
在平面内，各内角都相等，②箜业_也都相等的多边形叫
做正多边形.
在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫做多边形
的对角线，从n边形的一个顶点可以弓|(
n-3)条对角线.这些对
角线可将n边形分成(n-2)个三角形,"边形共有③竺3条
对角线.
考点二平行四边形
平行四边形的定义和表示方法
定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
表示方法：用“3”表示平行四边形.例如平行四边形
ABCD记作:口ABCD,读作：平行四边形ABCD.
平行四边形的性质
边:平行四边形的两组对边分别④堂;平行四边形
的两组对边分别相等；
角：平行四边形的两组对角分别相等；
对角线:平行四边形的对角线⑤互相平分；
对称性:平行四边形是⑥丑言对称图形，对角线的交
点是对称中心；
面积:面积=底x高.
平行四边形的判定
两组对边⑦分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边⑧平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角⑨分别相等的四边形是平行四边形；
两条对角线⑩互相平分的四边形是平行四边形.
平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
叫做这两条平行线间的距离.
。对应学生用书起始页码98页
一、利用多边形的内角和、外角和定理进行计算
求多边形边数或对角线条数可以从两个角度考虑：（1）
口边:
形的内角和为（几-2）?180。，根据条件表示出有关内角的表达:
式，列方程求解；（2）若容易求得每个外角度数，则根据外角和为:
360。，求边数较为方便,特别是有关正多边形的问题，利用外角:
和为360。更方便.
:
例〔（2019福建，5,4分）已知正多边形的一个外角是:
36。,则该正多边形的边数为
（
）:
B.10
C.8
D.6
:
360。
解析
（1）证明：?「四边形ABCD是平行四边形,
AB
=
CD,AB//CD,OB
=
OD,OA
=
OC,
LABE
=LCDF,
?丁点E,F分别为OB,OD的中点，
1
1
...
BE
=
OB,DF
二
OD,
2
2
BE
=
DF,
A.12
C.8
解析
设该正多边形的边数为□，则口
36。
10,故选B.
答案
针对训练1
（
2018内蒙古呼和浩特，3,3分）已知一个多:
边形的内角和为1
080。,则这个多边形是
（
）:
A.九边形
B.八边形
C.七边形
D.六边形
■
答案B
!
解析
设该多边形的边数为□，则由题意可得180（n-2）二:
1
080,解得n
=8.故选B.
:
二、合理利用平行四边形的判定方法和性质解题
平行四边形的性质是证明边角相等的常用工具，因此，解题:
时往往先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质解决问:
题，至于使用哪种判定方法，应依题目条件灵活选择.
:
平行四边形判定方法的选择：
1
已知条件
选择的判定方法
边
一组对边相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一组对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角
一组对角相等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形
IAB
=
CD,
匕
ABE
=LCDF,
BE
二
DF,
AABE^ACDF（
SAS）.
（2）当AC
=
2AB时，四边形EGCF是矩形.
理由如下：?「AC
=
2OA,AC
=
1AB,
AB
=
OA,
?丁
E是OB的中点，:.
AG丄OB,
LOEG
=
90。，
同理CFLOD,
AG^CF,
EG^CF,
v
EG
=
AE,
OA
=
OC,
OE是SCG的中位线，
OE”CG".
EF^CG,
四边形EGCF是平行四边形，
.丁
LOEG
=
90。，
四边形EGCF是矩形.
针对训练2
（2018福建，18,8分）如图，口ABCD的对角线
:AC,BD相交于点O,EF过点。且与AD.BC分别相交于点E.F.
:求证：0E
=
OF.
例2
（2019山东青岛，21,8分）如图，在口ABCD中，对角-
线AC与BD相交于点。，点E、F分别为OB.OD的中点，延长AE
:
到G,使EG
=旭，连接CG.
:
（1）
求证:JABE#
△
CDF；
:
（2）
当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩:
形？请说明理由.
:
证明?丁四边形ABC。是平行四边形，
OD
=
LODE
=
Z
OBF.
又.丁
乙
DOE
=ABOF,
ADOE^ABOF,
OE
=
OF.
§
4.5特殊的平行四边形
对应学生用书起始页码104页
考点一矩形
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质
矩形的四个角都是①直角;
矩形的对角线相等且互相平分；
矩形既是轴对称图形，又是中心
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