沪教版（上海）7年级寒假班05-邻补角、对顶角及垂直-教师版

1104900010160000初一数学寒假班（教师版）
教师

日期

学生

课程编号
05
课型
新课
课题
邻补角、对顶角及垂线
教学目标
1．理解和掌握邻补角和对顶角的概念；
2．理解和掌握邻补角和对顶角的性质，并灵活运用于几何运算；
3．理解和掌握垂线（段）及点到直线的距离概念，并灵活运用．
教学重点
1．邻补角及对顶角的性质及运用；
2．垂线的性质及运用．
教学安排

版块
时长
1
邻补角的意义和性质
20min
2
对顶角的意义和性质
15 min
3
垂直的意义和性质
30 min
4
综合运用
25 min
5
随堂练习
30 min



84709050800邻补角、对顶角及垂线
邻补角、对顶角及垂线

-37147516510 知识结构
知识结构

12192083185




255270224155模块一：邻补角的意义和性质
模块一：邻补角的意义和性质

-217170335280知识精讲
知识精讲


平面上两条不重合直线的位置关系
相交：两条直线有一个交点；
平行：两条直线没有交点．
2、邻补角的意义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
3、邻补角的性质
互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
-6032542545例题解析
例题解析

3566795156845A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．
【难度】★【答案】12对
【解析】12对，false和false，false和false，
false和false，false和false，false和false，
false和false，false和false，false和false，
false和false，false和false，false和false，false和false.
【总结】考察邻补角的定义．
判断：
（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ）
（2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ）
（3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角． （ ）
（4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）
【难度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是错误的．
【解析】（1）错误．还有重合．
错误．有一个交点，则两直线相交；有无数个交点，则两直线重合．
错．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这种关系的两个角叫 做互为邻补角．
错误．另一边不一定是互为反向延长线．
【总结】考察直线与直线的位置关系和邻补角的定义．
261937541275A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
如图，∠AOD的邻补角是__________．
【难度】★
【答案】false，false．
【解析】考察邻补角的定义．
308356029845A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
如图，OC平分∠AOB，∠AOD=2∠BOD，∠COD=28°，求∠AOC的大小．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设false，则false，false
∴false
∵∠AOD=2∠BOD，∴false，false
即false
【总结】考察角度之间的关系计算．可以用方程思想来解决这一类问题．

379793522860a
b
1
2
3
4
a
b
1
2
3
4
如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】∵false与false为邻补角，false与false为对顶角，false与false为邻补角，
∴false，false．
【总结】考察邻补角、对顶角的定义及简单的计算．
3600450204470如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD，
∠AOE的度数．
【难度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°．
【解析】∵false和false为对顶角，
false和false为邻补角，∴false，false，
∵OE平分∠AOD，∴false．
【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义及在角度计算中的运用．

同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点．
【难度】★★★【答案】0或1或2或3
【解析】见下图

【总结】考察图形的画法，注意不同情况的分类讨论．
46545540005模块二：对顶角的意义和性质
模块二：对顶角的意义和性质
-20193092075知识精讲
知识精讲
1、对顶角的意义
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关
系的两个角叫做互为对顶角．
2、对顶角的性质
对顶角相等．
-15240051435例题解析
例题解析
下列说法中，正确的是( )
有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角
有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角
由两条直线相交所成的角是对顶角
角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
【难度】★【答案】D
【解析】考察对顶角的定义
3385820379730A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，问一共可以构成多少对对顶角，并 把他们写出来．
【难度】★【答案】6对，见解析．
【解析】false和false，false和false，
false和false，false和false，
false和false，false和false．
【总结】考察对顶角的定义．

判断：
（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（ ）
（2）相等的两个角是对顶角． （ ）
【难度】★【答案】（1）（2）都错误．
【解析】（1）错误，（2）错误．
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关
系两个角叫做互为对顶角．
【总结】考察对顶角的定义．

若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．
若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．
【难度】★★【答案】（1）30°；（2）45°，45°．
【解析】（1）∵false，false，∠3=60°，∴false；
∵false，false，∴false．
【总结】考察对顶角的定义和互余的意义．

3232150146685如图，直线AB、CD交于点O，则
（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________．
（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________．
（3）若∠2-∠1=100度，则∠3=__________．
【难度】★★【答案】（1）34°；（2）144°；（3）40°．
【解析】（1）∵false，∠1+∠3=68度，∴false；
∵false，∠2：∠3=4：1，∴false；
∵false，∠2-∠1=100度，∴false，∴false．
【总结】考察邻补角、对顶角的性质及在角度计算中的运用．

如图（1）所示，两条直线AB与CD相交成几对对顶角？
（2）如图（2）所示，三条直线AB、CD、EF相交呢？
（3）试猜想n条直线相交会成多少对对顶角？

【难度】★★★【答案】见解析
【解析】（1）两条直线AB与CD相交成2对对顶角；
三条直线AB、CD、EF相交成6对对顶角；
因为3条不同直线相交所成的对顶角有3×2÷2×2=6对，4条不同直线相交所成
的对顶角有4×3÷2×2=12对，
则可找出规律得：n条直线相交会成false对对顶角．
【总结】考察对顶角的定义及根据数据特征找出规律，综合性较强．
692785141605模块三：垂线(段)的意义和性质
模块三：垂线(段)的意义和性质
-20574062230知识精讲
知识精讲
1、垂线的意义
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、垂直的符号
记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：false，读作“AB垂直于CD”．
注：垂直是特殊的相交．
垂直公理：
在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直
中垂线
过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
垂线段的性质
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线
false上，那么就说这个点到直线false的距离为零．
-24765053340例题解析
例题解析
判断：
（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（ ）
（2）两条直线的交点叫垂足． （ ）
（3）线段和射线没有垂线． （ ）
（4）两条直线不是平行就是互相垂直． （ ）
（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（ ）
【难度】★【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）错误．
【解析】（1）正确；（2）错误，两条直线垂直时，交点叫垂足；（3）错误，任何的射线、线
段、直线都有垂线；（4）错误，还有相交（角度不为90°）；（5）错误，直线外一点到
这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．
【总结】考察各种概念，注意仔细辨析．

4464685639445A
B
C
D
A
B
C
D
如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点B到线段CD的距离是线段__________的长度；线段CD的长度是点C到线段__________的距离；线段AC是点___________到线段__________的距离．
【难度】★【答案】BD；AB；A；CB．
【解析】考察点到直线的距离的作法．
【总结】可以利用直尺来解决距离问题．



219075157480A
B
C
D
l
l
l
l
A
B
C
D
l
l
l
l
下列选项中，哪个是直线l的垂线（ ）




【难度】★【答案】C
【解析】考察垂线的画法，注意垂线是一条直线．

如图，false，垂足为C，AC=4，BC=3，那么点A与BC的距离为______．
344170076200A
B
C
D
A
B
C
D
【难度】★【答案】4
【解析】点A与BC的距离为AC的长度．
【总结】考察点到直线的距离．


3712210234315A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，false，则
false_________．13620757807960
【难度】★★【答案】60°．
【解析】∵OE⊥AB，∴false，
∴false
∵false，∴false
【总结】考察垂直的定义和角度的计算．
作图题：
1、已知直线AB和点C，过点C做AB的垂线；
18332451968502、作线段MN的中垂线．

【难度】★★
【答案】
32702519050717550666750虚线为所求．
【解析】考察垂线和中垂线的画法，注意垂线和中垂线都是直线．．

3521710643255A
B
公路
A
B
公路
A、B两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C，若由B厂独家兴建，并考虑B厂的利益，则要求货物离B厂最近，请在图10中作出此时货场C的位置，并说出这样做的道理．
【难度】★★
【答案】过B作公路的垂线，垂足为C；理由是垂线段最短
【解析】考察垂线的画法．
【总结】注意总结距离最短的画法．

如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，false比false大false，则false的
359283079375A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
度数为_______．
【难度】★★
【答案】35°．
【解析】∵OA⊥OB，∴false，即false
∵false，∴false
∵OC⊥OD，即false，∴false．
55003708282940【总结】考察垂直的定义和角度的计算．

如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?
【难度】★★【答案】10°．
【解析】∵false，false，∴false．
【总结】考察垂直的定义和对顶角的性质．

3971925195580A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，
∠COF=false∠BOD．求∠AOC、∠EOD、∠COE的度数．
【难度】★★
【答案】70°，20°，160°．
【解析】∵false，false，∠COF=false∠BOD，
∴false．
∴false∴false， false，
false．
【总结】考察角平分线的定义、角的计算、对顶角和邻补角的定义．

3419475422275A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
如图，false与false是邻补角，OD、OE分别是false与false的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
【难度】★★★【答案】垂直，理由见解析．
【解析】∵false与false是邻补角，
∴false
∵OD、OE分别是false与false的平分线，
∴false，false
∴false∴false，即false．
【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算，本题可总结为邻补角的角平分线互相垂直．
67627541910模块四：综合运用
模块四：综合运用
-247650120650例题解析
例题解析
下列结论不正确的是( )
A．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°
B．相等的两个角是对顶角
C．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角
D．同角的余角相等
【难度】★【答案】B
【解析】相等的两个角不一定是对顶角．【总结】考察邻补角、对顶角的定义．
372427586995A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
如图，AB与CD为直线，图中共有对顶角( )．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【难度】★【答案】B
【解析】false和false，false和false是对顶角．
【总结】考察对顶角的定义．

3714750302260A
B
D
A
B
D
如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA=4.5米，DB=4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米．
【难度】★★
【答案】4.15米．
【解析】跳远成绩应用算垂直距离，所以D到AB的距离为DB的长度．
【总结】考察点到直线的距离在实际问题中的运用．

如图所示，已知AB、CD相交于O点，OE⊥AB，∠EOC=28°，则
3600450-635A
B
C
D
E
O
28
A
B
C
D
E
O
28
∠AOD=_______．
【难度】★★【答案】62°．
【解析】∵OE⊥AB，
∴false，即false
∵∠EOC=28°，∴false，∴false
【总结】考察垂直的定义、角度的计算．

3943350266700A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
如图，直线AD和BE相交于O点，OC⊥AD，∠COE=70°，求∠AOB的度数．
【难度】★★【答案】20°
【解析】∵OC⊥AD，∴false，即false
∵∠COE=70°，∴false，∴false
【总结】考察垂直的定义、角度的计算．

如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，
408368570485A
B
C
D
E
F
G
O
A
B
C
D
E
F
G
O
∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．
【难度】★★【答案】28°，118°，59°．
【解析】∵∠FOD＝28°，∴false
∵AB⊥CD，∴false，即false
∴false
∵false，∴false
∵OG平分∠AOE，∴false．
【总结】考察垂直和角平分线的定义、角度的计算，计算时注意角度之间的关系．

已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．
359473569850A
B
C
D
E
F
1
2
O
3
A
B
C
D
E
F
1
2
O
3
【难度】★★【答案】140°．
【解析】∵false，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，
∴false
∴false
【总结】考察邻补角、对顶角的定义和性质及在角度计算中的运用．

如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD－80°，
357886025400A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
求∠AOE的度数．
【难度】★★★【答案】155°．
【解析】∵∠AOC=∠AOD－80°，false
∴false
∵false，∴false
∵OE平分∠BOD，∴false∴false
【总结】考察角平分线、邻补角、对顶角的定义和角度的计算，本题综合性较强，计算时注意观察角度之间的关系．
-13335070485随堂检测
随堂检测

下列语句中正确的是（ ）
A．过直线AB的中点且和AB垂直的直线叫做中垂线
B．过线段CD的中点且和CD垂直的直线叫做CD的中垂线
C．和直线AB相交且过A点的直线是AB的中垂线
D．和线段AB相交且成90度的直线是AB的中垂线
【难度】★【答案】B
【解析】直线没有端点，更没有中点
【总结】考察中垂线的定义．


下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

A B C D
【难度】★【答案】B
【解析】考察对顶角的定义

如图5，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．
3769995164465a
b
1
2
3
4
a
b
1
2
3
4
【难度】★
【答案】140°；40°；140°
【解析】考察邻补角、对顶角的定义．
【总结】考察角度的计算．

3486150442595
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是______，∠COF的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______
【难度】★★
【答案】false，false或false，150°，30°．
【解析】考察邻补角、对顶角的定义
【总结】考察角度的计算．

3517900198755
如图7，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°，∠AOC=30°，∠FOB=90°，则∠EOF=________．
【难度】★★
【答案】150°．
【解析】∵∠AOC=30°，∴false
∵∠COE=90°，∴∠DOE=90°，
∴false
∵∠FOB=90°，∴false
【总结】考察邻补角、对顶角的定义，考察角度的计算．



如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，
330200038100求∠BOD，∠AOE的度数．
【难度】★★
【答案】120°，30°
【解析】∵∠AOC=120°，false
∴false，∠BOD=∠AOC=120°，
∵OE平分∠AOD，∴false
【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义，考察角度的计算．

如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．
4062095111125b
a
c
2
3
1
4
b
a
c
2
3
1
4
【难度】★★
【答案】32.5°．
【解析】∵false，∠2=65°，∴∠1=65°，
∵∠1=2∠3，∴∠3=32.5°，∴false．
【总结】考察对顶角性质、角度计算．
401764576835
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=40°，∠BOC=2∠AOC，
3704590212725A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
求∠DOF．
【难度】★★
【答案】20°．
【解析】∵∠BOC=2∠AOC，false
∴false∵∠AOE=40°，∴∠COE=20°，
∴false
【总结】考察对顶角性质、角度计算．

3705225369570A
B
C
D
E
F
2
1
O
A
B
C
D
E
F
2
1
O
如图，已知∠2与∠BOD是邻补角，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF的度数．
【难度】★★★
【答案】135°．
【解析】设false，则false
∵OE平分∠BOD，∴false
∵false，∴false，∴false
∵false，∴false
∵OF平分∠COE，∴false
∵false，
∴false
【总结】考察对顶角性质、角平分线定义、角度计算，本题综合性较强，可以利用方程的思想找到角度之间的等量关系．

已知点O是直线AB上一点，OC，OD是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗?为什么?
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】不一定．

如图1，当OC、OD在直线AB的同侧时，∠AOC与∠BOD不是对顶角；
如图2，当OC、OD在直线AB的两侧时，∠AOC与∠BOD是对顶角．
【总结】考察对顶角的性质、邻补角的定义，注意分类讨论．
-234950-2540课后作业
课后作业

判断：
（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（ ）
（2）∠A与∠B互为邻补角，所以他们相等（ ）
（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（ ）
（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（ ）
（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（ ）
（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（ ）
（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（ ）
【难度】★
【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确．
【解析】要熟悉邻补角、对顶角、垂直等概念
【总结】考察邻补角的定义，对顶角的性质、垂直的定义．
3784600330835如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（ ）
A．∠EOD比∠FOB大
B．∠EOD比∠FOB小
C．∠EOD与∠FOB相等
D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定
【难度】★
【答案】C
【解析】∵EO⊥AB于O，
∴false，即false
∵FO⊥CD于O，
∴false，即false
∴∠EOD=∠FOB
【总结】考察垂直的定义和角度计算．

3568700986790如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】理由是垂线段最短
【总结】考察垂线段的性质．

如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．
401129523495（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．
【难度】★★
【答案】（1）90°；（2）垂直．
【解析】∵∠AOD：∠DOB=3：1，false
∴false
∵OD平分∠COB，∴false
∴false，即false
【总结】考察邻补角的定义、角度计算．

若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．
【难度】★★【答案】90°
3457575169545A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
【解析】如图，∵false与false是邻补角，
∴false
∵OD、OE分别是false与false的平分线，
∴false，false
∴false
∴false，即false．
【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算．
294132037465A
B
P
A
B
P
作图：已知线段AB及线段外一点P．
过点P作线段AB的垂线；
3330575196850画线段AB的垂直平分线．
【难度】★★
【答案】（1）直线CD为所求；（2）直线EF为所求．
【解析】考察垂线和中垂线的画法．





3552825239395起跳线
起跳线
如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）
【难度】★★
【答案】4米
【解析】测量得到脚印到起跑线之间的距离是4厘米，
则可知实际距离为400厘米=4米．
【总结】考察点到直线的距离和比例尺计算．


3857625250825a
b
c
1
2
3
4
5
a
b
c
1
2
3
4
5
如图所示，直线a、b、c相交，∠1=60°，∠2=false∠4，求∠3、∠5的度数．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】∵∠1=60°，∴false
∵∠2=false∠4，∴false
∵false，∴false
∵false，∴false
【总结】考察对顶角、邻补角的定义，角度计算．

如图，OD⊥OC，且false，那么false=________，false=_______．
【难度】★★
34207458255A
B
C
D
O
1
2
3
A
B
C
D
O
1
2
3
【答案】false=60°，false=30°．
【解析】∵OD⊥OC，∴false
∵false，∴false
∵false，∴false
【总结】考察垂直的定义、邻补角的定义．
3387725421005A
B
C
D
E
F
G
O
A
B
C
D
E
F
G
O
如图，直线AB、CD、EF交于点O，false是它的余角的2倍，false，且有false，求false的度数．
【难度】★★★【答案】50°．
【解析】∵false是它的余角的2倍，
false加上它的余角等于90°
∴false
∵false，false
∴false
∴false，false
∵false，
∴false．
【总结】考察余角、垂直的定义和角度的计算，本题综合性较强，涉及到的角度比较多，计算时分析清楚有效条件．