列方程解应用题
——相遇问题
教学内容：沪教版小学数学五年级第二学期P25
教学目标：
1.认识"相遇问题"，理解相遇问题的特征。
2.会借助线段图分析题意,根据线段图并找到等量关系。
3.会列方程解决相遇问题。
4.通过学习相遇问题，能解决相关问题，提高学生独立思考、分析解决问题的能力。
教学重点：理解相遇问题的特征；掌握列方程解决相遇问题的一般方法。
教学难点：理解相遇问题中两个物体所用时间相等。
教材分析：由于学生首次接触“相遇问题”，在教学过程中，教师应逐步让学生自己学会如何去画线段图，将繁琐的题目条件清晰地表示在线段图上，以帮助学生对解题思路的思考。本册教材在处理“列方程解应用题”的过程中，一再强调解题的关键在于寻找未知量与已知量之间的等量关系，因此在这里仍然要求学生自己思考，发现等量关系，从而列出方程得出应用题的解。值得指出的是，相遇问题的应用远不止于具体的行程问题，同时也广泛地应用于各种生活问题中。“相遇问题”的等量关系一般为：甲行的路程+乙行的路程=相距的路程。
学情分析：通过前面几节课的学习，学生对倍数关系，比多比少关系的线段图已经很熟练了，本节课是行程问题，这样的线段图是第一次碰到，要考虑方向和相遇点，在理清题意的基础上可让学生自己尝试再交流，集思广益，画出相遇问题的线段图。而相遇问题的关键还是找到等量关系式，线段图是学习手段。
教学过程：
一、创设情境，复习引入
1.口答：C同学3分钟行了180米，她每分钟行多少米？
这里的3分钟，180米，每分钟行60米各表示什么？
路程，速度，时间三者之间有什么关系？
2.初步感知“相遇问题”特征。
（1）两位学生在教室里走一走，理解“同时出发、相向而行、相遇”并用手势一起演示。
（2）揭示课题：像这样具有“同时出发”“相向而行”“相遇”特征的行程问题称为相遇问题。（板贴课题）
（3）提相关数学问题。
二、探究新知
出示例题：
沪宁高速公路全长约270千米,一辆客车和一辆轿车分别从南京和上海两地同时出发,相向而行.客车平均每小时行55千米,轿车平均每小时行80千米,
经过几小时两车在途中相遇？
1.理解题意
（1）读题、审题：从题目中你得到了哪些重要信息？
（2）根据题意画线段图
（3）集体交流线段图：相遇点的位置、箭头方向、每一段表示什么意思
2.
根据线段图找等量关系并列方程解答
(1)学生独立尝试练习，师巡视
(2)集体交流，师板书方法
追问：为什么两车所用时间是一样的？
方法一：55x+80x=270
追问：55x、80x、
55x+80x各表示什么？
方法二：270-55x=80x
（口答对应等量关系）
方法三：270-80x=55x
小结：列方程解应用题时，先要理解题目的意思；然后根据题意画出线段图，找到等量关系；最后根据等量关系，解设x列方程解应用题,并检验解答。
追问:列方程解相遇问题的关键是什么?
三、巩固练习
1.画线段图，说等量关系，再列方程求解。
A同学和B同学从相距14米的教室两端同时出发，相向而行，A同学平均每秒走0.8米，B同学平均每分秒走0.6米，几秒钟后两人在途中相遇？
A同学走了几米？
B同学走了几米？
A同学比B同学多走几米？
要求每一段分别走的路程必须先求出什么？
2.延伸“相似的问题”。（只列式不计算）
挖一条长165米的隧道，由甲、乙两个工程队从两端同时施工。甲队每天向前挖6米，乙队每天向前挖5米，挖通这条隧道需要多少天？
可以看成相遇问题吗？
相遇问题不仅出现在行程问题中，还会在各种生活问题中也会出现。
3.变式练习
杭州到南京之间的路程为360千米,一辆客车和一辆轿车分别从杭州和南京两地同时出发,相向而行.客车平均每小时行100千米,货车平均每小时行80千米,相遇时，客车离南京还有多少距离？
四、全课总结
今天你有什么收获？
板书设计：
列方程解决问题
客车行的路程+轿车行的路程=总路程
解：设经过X小时两车在途中相遇。
55X+80X=270
135X=270
X=2
答：经过2小时两车在途中相遇。
回家作业设计：
列方程解决下列问题：
北京和呼和浩特之间的铁路路程约660千米。一列货车和一列客车分别从呼和浩特和北京同时出发，相向而行，货车平均每小时行48千米，客车平均每小时行72千米。经过几小时两车在途中相遇？
有一份5700字的文件，由于时间紧急，因此安排甲乙两名打字员同时开始打字。甲平均每分钟打100个字，乙平均每分钟打90个字，打完这份文件需要多长时间？
一列客车和一列货车同时从相距路程为624.5千米的两个车站相对开出，经过5小时在途中相遇。已知客车平均每小时行70千米，货车平均每小时行多少千米？
4.一辆轿车和一辆客车同时从同一地点出发，沿同一条路背向而行。轿车平均每小时行95千米，客车平均每小时行85千米。经过几小时两车相距270千米？
55千米/时
80千米/时
南京
上海
客车
轿车
270千米
相遇问题
同时出发
相向而行
相遇
55千米/时
80千米/时
南京
上海
客车
轿车
270千米课题：列方程解决问题
----------相遇问题
教学内容：五年级第二学期P25
教材分析：相遇问题的应用题是在学生掌握了一个物体的简单行程问题的基础上，初次接触有关两个物体运动的较复杂的行程问题，其中体现了“运动地点”、
“出发时间”
、“运动方向”、“运动结果”等新的运动要素，给学生的思维
带来一定的难度。教材中借助线段图帮助学生理解题意，找到相应的等量关系，让学生认识“相遇问题”的特征，掌握此类应用题的解答方法，培养学生分析问题和应用所学知识解决实际问题的能力。
学情分析：学生已经在三年级接触了简单的行程问题，并能利用速度、时间、路程三者之间的数量关系来解决行程问题。而本节课正是运用这些学生已有的知识基础和生活经验的基础上进行相遇问题的探究。由于相遇问题中的概念较多，学生对相遇问题的理解也有难度，所以我想只有站在学生学习的起点上，尊重学生发展的基础上多设计一些活动，引导学生积极参与到过程中，才能使所有学生通过本堂课都能有所收获。
教学目标：
1．通过创设问题情境，提出问题，引导学生探索研究，理解两地、相向(相对)、
同时、相遇的含义。
2．在理解题意的基础上寻找等量关系，知道“相遇问题”的等量关系一般为：
甲行的路程+乙行的路程=相距的路程；
3．经历解决问题的过程，体验数学与日常生活密切相关，提高学生收集信息、
处理信息的能力。
教学重点：理解相遇问题的等量关系，并会列方程解答。
教学难点：理解相遇问题的等量关系，并会列方程解答。
教学准备：习题单、多媒体课件
教学过程：
一、情境引入
1．创设鼓掌情境，初步感知行程四要素。
2．小结：像这样的两个物体从两地相向而行，最终相遇的情形在数学上叫做相遇问题。两地、同时、相向、相遇是相遇问题的四要素。
3．今天我们就来研究列方程解决问题中的相遇问题。（揭示课题）
【以鼓掌情境引入，让学生充分理解“两地”、“同时”、“相向（相对）”、“相遇”的含义，使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实，让学生去感知，体验，引起他们强烈的求知欲。】
二、引思解疑
出示例题：沪宁高速全长约270千米，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地同时出发，相向而行，轿车平均每小时行100千米，客车平均每小时行80千米，经过几小时两车在途中相遇？
1．分析题意
2．直观演示
（1）学生讲台前演示
（2）判断是否符合题意
（3）分析轿车和客车的运动中的相同点
3．画线段图
（1）教师指导画线段图。
（2）分析线段图
4．找等量关系
轿车路程+客车路程
=相距的路程
5．列方程并解答
解：设经过X小时两车在途中相遇。
100X+80X=270
180X=270
X=1.5
答：经过1.5小时两车在途中相遇。
小结
【通过直观演示、画线段图的方式理解了两车行的路程与总路程的关系，然后放手让学生尝试解答例题，这样激发学生强烈的参与意识，最后通过检验求证学生的做法，使学生从中体验到成功的乐趣。】
三、?变式练习
1.变式一：求速度的类型
沪宁高速全长约270千米，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地同时出发，相向而行1.5小时后两车相遇，轿车平均每小时行100千米，客车平均每小时行多少千米？
同桌交流等量关系，
独立列方程
解：设客车的平均每小时行X千米。
100×1.5+1.5X=270
2.变式二：求路程的类型
一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地同时出发，相向而行，1.5小时后两车相遇，轿车平均每小时行100千米，客车平均每小时行80千米，上海到南京两地相距的路程是多少米？
（1）独立找等量关系式
（2）独立解答，并反馈交流
100×1.5+1.5×1.5=270
小结：我们在解决相遇问题时，遇到具体问题要思考到底是列方程简便，还是算
术方法简单，应该根据具体问题选择合适的方法。
3.比较三题的异同点
总结：一般地相遇问题的等量关系为：甲的路程+乙的路程=相距的路程。
【通过变式练习帮助学生理解相遇问题的不同类型，开阔学生的思路，让学生
明白题目在变，其实等量关系没变。】
四、自我检测
1．小亚和小巧同时从相距960米的两地出发，相向而行，小亚平均每分钟走58米，小巧平均每分钟走62米，几分钟后两人在途中相遇？
2．两个城市之间的路程为405千米，一辆客车和一辆货车同时从这两个城市出发，相向而行，客车平均每小时行44千米，4.5小时后两车相遇，货车平均每小时行多少千米？
（1）学生独立完成。
（2）反馈等量关系和方程。
【使学生成为学习的主人，充分相信学生，给他们留出足够的思维活动空间，让他们参与独立思考解决问题的过程。这样做既能反馈出学生对数量关系的理解程度，又能帮助学生更好地理解题意和分析数量关系。】
五、课堂总结
今天你有什么收获？
一般的相遇问题的等量关系是什么？
【在总结中让学生对本节课的新知进行一次梳理，特别是再次体会相遇问题的一般等量关系式。】
六、拓展练习
1．探讨相遇问题中的因素变动情况
2．练习
小亚和小巧同时从相距960米的两地相向而行，小亚平均每分钟走58米，小巧平均每分钟走62米，几分钟后两人还相距60米？
寻找变化的因素
小组合作，找等量关系
小亚的路程+小巧的路程+相距的路程=960
（3）
列出方程
58x+62x+60=960
3.结束语
【通过小组探究拓展题，有助于调动学生学习积极性，让学有余力的学生再思考,也使学生更深一步理解了相遇问题的解决方法。】
思考：（随机）
小亚和小巧同时从相距960米的两地相向而行，小亚平均每分钟走58米，小巧平均每分钟走62米，几分钟后两人有可能相距60米？
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4列方程解决问题（相遇问题）
【单元】第
10
册/第
3
单元
【教材分析】
本教学内容是五年级第二学期列方程解应用题中有关行程问题的第一课时。教材意图通过两车在同一直线上从相距的两地同时相向而行，已知V1、t、S求V2的问题，帮助学生理解如何根据V1t+V2t=S列方程解应用题。然后教材又安排了已知V1、V2、S求t以及已知V2、t、S求V1的变式练习，但是没有涉及到已知V1、V2、t求S的问题。其实在这四种情况中，都是围绕着V1t+V2t=S这一等量关系展开的变题，如果做一题分析一题，就将有着内在联系的知识点割裂了。因此，这节课的重点是帮助学生建立整体的行程问题中相向而行的情况的结构认识，并发现知三求第四和知四求第五的内在规律。教学中我意图通过学生主动变化条件和问题，在对比的过程中感悟已知三个量求第四个量，或已知四个量求第五个量，无论条件和问题如何交换，它们的等量关系是相同的，其中求S用算术解法，求速度和时间用方程解法。行程问题的数量关系之所以复杂，是因为数量关系会随着运动状态的变化而变化。但是同向而行的问题与相向而行的问题具有相类似的结构关系，背向而行的问题又可以转化为相向而行的问题，所以我们采用了长程两段的教学策略，本课是“教学结构”阶段，背向而行和同向而行的问题研究作为“运用结构”阶段。
【学情分析】
本课之前，学生已经初步掌握了列方程解应用题的一般步骤，并会用算术解法解决两车相向而行结果相遇的有关问题。所以学生在学习列方程解决行程问题的时候，容易受到原有思维习惯的定势，无论条件和问题如何变化，都习惯用算术解法。这是因为学生没有经历变化条件和问题的过程，割裂的看待知三求四或知四求五的问题，没有发现同类问题之间内在规律。为了打破学生的这一认知结构，我试图在相遇问题中先让学生感悟解决行程问题的一般步骤：画线段图、找等量关系、确定解法，然后让学生经历主动变化条件与问题的过程，发现其内在的规律，自主发现可以运用同一个等量关系思考问题并合理选择相应方法。最后用这样的学习结构主动学习相离、相遇又相离的问题。其困难点之一是学生打破原有逆向思维的习惯，感悟方程的数学思想；困难点之二是比较完整的思考条件和问题的变化，从而发现其内在的规律。
教学内容
列方程解决问题（相遇问题）
课型
新授
教学目标
1、
整体感知行程问题中相向而行同时出发的相遇、相离、相遇又相离的等量关系。2、
经历主动变化条件与问题，发现知三求四和知四求五的内在规律，并对方法选择有一个合理的判断。3、了解和掌握相向问题线段图的画法，对相遇点的位置确定建立敏感。
教学重点
在分析题意的基础上寻找等量关系，列方程解决行程中的相向问题。
教学难点
从不同角度寻找等量关系，探究解题的思路。
教学环节及对应目标
师生活动与设计意图
评价关注点
课前热身
两车沿同一条直线可以怎么开？2、两车相向而行，会有哪些结果？3、多媒体演示【设计意图】通过两车的运动过程，整体感知三种运动方向和三种运动结果
对既定条件的敏感度
一.相遇问题的等量关系认识对应目标：1、2
例：甲乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车的速度是100千米/时；乙车的速度是80千米/时；经过1.5小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？
1、分析数量关系，了解线段图画法用线段图表达题意，用字母式子表示等量关系，并思考选择什么解法过程指导：相遇点在哪里？字母表示是否完整？运动方向用箭头表示。提炼等量关系，合理选择方法哪一个等量关系表达更清晰？根据等量关系，选择哪种方法计算？3、小结概括已知V1、V2、t求S的情况学生预设：仔细读题、理解题意、画线段图、写等量关系、确定解法练习预设：靠近B点；中点位置，自查并订正预设：V1
t
+
V2t=SS1+S2=S预设：算术【设计意图】以已知V1、V2、t求S为例，知道解决行程问题的一般步骤，了解和掌握行程问题线段图的画法以及对相遇点的位置建立敏感
对运动方向等相遇问题的条件的敏感度、感知能力与表达能力
二．相遇问题的变式认识对应目标：2
1、变化条件与问题，整体感知知三求第四的情况变化条件与问题，画一画线段图，找一找等量关系，思考用算术还是方程解？看谁能把几种情况都想到？2、对比线段图与等量关系，体会内在联系【设计意图】经历主动变化条件和问题的过程，发现所有问题都可以用V1
t
+
V2t=S这一等量关系，打破原来求时间和速度用算术解的定势思维，进一步感悟方程的数学思想
感悟知识内在联系的能力与表达的能力
三．相离、相遇又相离的数量关系认识及其变式对应目标：3
1、主动研究运动结果相离的问题选择四个量作为已知条件，求第五个量。会有哪些不同的情况呢？线段图该如何画？等量关系是怎样的？你准备选择什么方法解决？看谁思考的全面？学生预设：独立思考，4人组交流讨论【设计意图】
运用相遇问题研究的学习结构主动研究相离、相遇又相离的问题
独立解题的能力
四．课堂总结
思考研究运动结果相遇又相的问题【设计意图】
综合回忆相遇问题的关键知识点
归纳能力
板书设计
列方程解决问题（相遇问题）
甲乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车的速度是100千米/时；乙车的速度是80千米/时；经过1.5小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？线段图（略）
感受很深的是学生对于数量关系把握的程度直接影响到解决问题的结果。运动的方向、运动的速度、运动的时间这些量中谁是未知量；根据线段图去分析等量关系；寻找正确的等量关系并能正确的说出数量关系式——在教学中这些我比较关注。每个量所表示的意思、每部分线段所表示的意思拿捏准确，对于解决直接相遇的问题就很简单，但也只有把握好这些基本的关系，学生才会真正理解相遇、相距、相遇又相距的情况并能根据这些具体情况来正确列方程解决问题。
