人教版 八年级数学下册 第18章 平行四边形 培优训练（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版 八年级数学下册 第18章 平行四边形 培优训练（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 510.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-04 21:58:56 | ||
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文档简介
人教版 八年级数学 第18章 平行四边形 培优训练
一、选择题
1. 四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是 （ ）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．线段的长与点的位置有关
2. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
3. 点、、、在同一平面内，从①，②，③，④．这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种
A． B． C． D．
4. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )
A.
B. 2
C. ＋1
D. 2＋1
5. （2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
6. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 已知四边形的四条边长分别是，其中为对边，并且满足
则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
二、填空题
8. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于 ．
9. 如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即 .(写出一条线段即可)
10. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．
11. ?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得?ABCD为正方形．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．
13. 将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
14. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.
三、解答题
15. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
16. 问题：如图，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
将图中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
若图中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求的值（用含的式子表示）．
17. 如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．
⑴ 求证：四边形是菱形；
⑵ 连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
人教版 八年级数学 第18章 平行四边形 培优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关．
2. 【答案】D 【解析】本题考查勾股定理、三角形的中位线定理和四边形的周长 . 解题思路：
?四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋HG＋EH＝11.
3. 【答案】B
4. 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝，∴EF＝＝，则正方形EFGH的周长为4×＝2.
5. 【答案】D
【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．
6. 【答案】D 【解析】逐项分析如下表：
序号 逐项分析 正误
① 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF √
② ∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180° √
③ 由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC(SSS) √
④ ∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵＝，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝＝x，∴EH＝DH＝×x＝x，∴S△EDH＝EH2＝×x2＝x2. 在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝CF＝，则S△DHC＝CD·h＝×3x×＝x2，＝＝，即3S△EDH＝13S△DHC √
7. 【答案】B
二、填空题
8. 【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC．∵OE∥AB，∴OE是△ACD的中位线．∴AE＝AD，OE＝CD．∵OA＝1，△AOE的周长等于5，∴AE＋OE＝4．∴AD＋CD＝8．∴平行四边形ABCD的周长＝16．故答案为16．
9. 【答案】.
【解析】连接.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∴.
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴≌，
∴.
10. 【答案】21°
【解析】设∠ADE=x，
∵AE=EF，∠ADF=90°，
∴∠DAE=∠ADE=x，DE=AF=AE=EF，
∵AE=EF=CD，∴DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCA=x，
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，
∴2x=63°﹣x，解得x=21°，即∠ADE=21°；
故答案为：21°．
11. 【答案】∠BAD＝90°(答案不唯一) 【解析】∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，菱形ABCD为正方形．故可添加条件：∠BAD＝90°.
12. 【答案】4.8 【解析】∵S菱形＝AC·BD＝2AB·DH，∴AC·BD＝2AB·DH.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3，∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，∴DH＝＝4.8.
13. 【答案】
14. 【答案】或 【解析】如解图，过N作NG⊥AB，交AB于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝NG＝ cm，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝ cm，∴BE＝1 cm，AE＝2 cm，∵F为AE的中点，∴AF＝AE＝1 cm，在Rt△ABE和Rt△NGM中，，∴Rt△ABE≌Rt△NGM(HL)，∴BE＝GM，∠BAE＝∠MNG＝30°，∠AEB＝∠NMG＝60°，∴∠AFM＝90°，即MN⊥AE，在Rt△AMF中，∠FAM＝30°，AF＝1 cm，∴AM＝＝＝ cm，由对称性得到AM′＝BM＝AB－AM＝－＝ cm，综上，AM的长等于或 cm.
解图
三、解答题
15. 【答案】
解:(1)证明:∵E是AD的中点，∴AE=DE，
又∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB.
(2)四边形ADCF是矩形.
证明:∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD，
∴BD=CD，即AD是△ABC的中线，
又∵AB=AC，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
16. 【答案】
⑴ 线段与的位置关系是；．
⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点，连结．
∵是线段的中点，
∴．
由题意可知．
∴．
又∵，
∴，∴，．
∵四边形是菱形，∴，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得．
∴．
∵四边形是菱形，
∴，∴．
∴，∴，．
∴，即．
∵，，
∴，．
∴．
⑶ ．证明过程略．
17. 【答案】
⑴ 是由绕点旋转得到
∴，
∴是等边三角形
∴
又∵是由沿所在
直线翻转得到
∴，
∴
∴点、、三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
⑵ 四边形是矩形．
由⑴可知：是等边三角形，于
∴，又∵
∴，
∴，∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
一、选择题
1. 四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是 （ ）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．线段的长与点的位置有关
2. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
3. 点、、、在同一平面内，从①，②，③，④．这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种
A． B． C． D．
4. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )
A.
B. 2
C. ＋1
D. 2＋1
5. （2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
6. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 已知四边形的四条边长分别是，其中为对边，并且满足
则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
二、填空题
8. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于 ．
9. 如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即 .(写出一条线段即可)
10. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．
11. ?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得?ABCD为正方形．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．
13. 将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
14. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.
三、解答题
15. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
16. 问题：如图，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
将图中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
若图中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求的值（用含的式子表示）．
17. 如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．
⑴ 求证：四边形是菱形；
⑵ 连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
人教版 八年级数学 第18章 平行四边形 培优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关．
2. 【答案】D 【解析】本题考查勾股定理、三角形的中位线定理和四边形的周长 . 解题思路：
?四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋HG＋EH＝11.
3. 【答案】B
4. 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝，∴EF＝＝，则正方形EFGH的周长为4×＝2.
5. 【答案】D
【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．
6. 【答案】D 【解析】逐项分析如下表：
序号 逐项分析 正误
① 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF √
② ∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180° √
③ 由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC(SSS) √
④ ∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵＝，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝＝x，∴EH＝DH＝×x＝x，∴S△EDH＝EH2＝×x2＝x2. 在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝CF＝，则S△DHC＝CD·h＝×3x×＝x2，＝＝，即3S△EDH＝13S△DHC √
7. 【答案】B
二、填空题
8. 【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC．∵OE∥AB，∴OE是△ACD的中位线．∴AE＝AD，OE＝CD．∵OA＝1，△AOE的周长等于5，∴AE＋OE＝4．∴AD＋CD＝8．∴平行四边形ABCD的周长＝16．故答案为16．
9. 【答案】.
【解析】连接.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∴.
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴≌，
∴.
10. 【答案】21°
【解析】设∠ADE=x，
∵AE=EF，∠ADF=90°，
∴∠DAE=∠ADE=x，DE=AF=AE=EF，
∵AE=EF=CD，∴DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCA=x，
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，
∴2x=63°﹣x，解得x=21°，即∠ADE=21°；
故答案为：21°．
11. 【答案】∠BAD＝90°(答案不唯一) 【解析】∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，菱形ABCD为正方形．故可添加条件：∠BAD＝90°.
12. 【答案】4.8 【解析】∵S菱形＝AC·BD＝2AB·DH，∴AC·BD＝2AB·DH.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3，∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，∴DH＝＝4.8.
13. 【答案】
14. 【答案】或 【解析】如解图，过N作NG⊥AB，交AB于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝NG＝ cm，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝ cm，∴BE＝1 cm，AE＝2 cm，∵F为AE的中点，∴AF＝AE＝1 cm，在Rt△ABE和Rt△NGM中，，∴Rt△ABE≌Rt△NGM(HL)，∴BE＝GM，∠BAE＝∠MNG＝30°，∠AEB＝∠NMG＝60°，∴∠AFM＝90°，即MN⊥AE，在Rt△AMF中，∠FAM＝30°，AF＝1 cm，∴AM＝＝＝ cm，由对称性得到AM′＝BM＝AB－AM＝－＝ cm，综上，AM的长等于或 cm.
解图
三、解答题
15. 【答案】
解:(1)证明:∵E是AD的中点，∴AE=DE，
又∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB.
(2)四边形ADCF是矩形.
证明:∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD，
∴BD=CD，即AD是△ABC的中线，
又∵AB=AC，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
16. 【答案】
⑴ 线段与的位置关系是；．
⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点，连结．
∵是线段的中点，
∴．
由题意可知．
∴．
又∵，
∴，∴，．
∵四边形是菱形，∴，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得．
∴．
∵四边形是菱形，
∴，∴．
∴，∴，．
∴，即．
∵，，
∴，．
∴．
⑶ ．证明过程略．
17. 【答案】
⑴ 是由绕点旋转得到
∴，
∴是等边三角形
∴
又∵是由沿所在
直线翻转得到
∴，
∴
∴点、、三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
⑵ 四边形是矩形．
由⑴可知：是等边三角形，于
∴，又∵
∴，
∴，∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．