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1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。
2.利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用函数模型来解决相应的实际问题。
3.三角函数应用类型主要体现在：(1)物理中周期变化的数学模型；(2)圆周运动的数学模型；(3)航天、天文、建筑等实际生活中相关的数学模型。
4.函数中各参数的物理意义
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离,称为振幅.
(2)T：,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间,称为周期.
(3)f：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数,称为频率.
(4)：称为相位；φ：当x=0时的相位，称为初相.
选择题
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
2.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
3.（2020·全国高一课时练习）电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（
）
A．5A
B．2.5A
C．2A
D．－5A
4.电流强度
时间
（秒）变化的函数
的图像如图所示，则当
秒时，电流强度是（??
）
A.?10安?????????????????????B.?5安?????????????????????????C.?
安???????????????????????????????????D.?-5安
5.设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )
A．y＝12＋3sin
t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin
t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
6.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC.当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于( )
A．sin
x
B．sin
x－cos
x＋
C．－cos
x＋
D．sin
x＋cos
x－
7.如图，某地一天从
6
~
14
时的温度变化曲线近似满足函数：
，则中午
12
点时最接近的温度为（??
）
A.?????????????????????B.?????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
8.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A.?仍保持平静????????????????B.?不断波动???????????????C.?周期性保持平静??????????D.?周期性保持波动
9.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s和0.5s时速度最大
D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大
10.(多选题)（2020·山东潍坊·高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（
）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
填空题
1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[(x-6)](x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.?
2.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是________?米．
3.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(右图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T为 .?
4.在
中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若
则实数x的取值范围是________.
5.（2020·浙江高一课时练习）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．
解答题
1.如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
3.受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间
（
，单位：小时，
表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为
．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．
(1)试求函数
的表达式；
(2)某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
4．（2020·开封市第二十五中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，）求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
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精品试卷·第
2
页
（共
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1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。
2.利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用函数模型来解决相应的实际问题。
3.三角函数应用类型主要体现在：(1)物理中周期变化的数学模型；(2)圆周运动的数学模型；(3)航天、天文、建筑等实际生活中相关的数学模型。
4.函数中各参数的物理意义
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离,称为振幅.
(2)T：,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间,称为周期.
(3)f：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数,称为频率.
(4)：称为相位；φ：当x=0时的相位，称为初相.
选择题
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
【答案】D
【解析】单摆来回摆动一次所需的时间为函数s＝6sin的周期．
又因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1
s，故选D.
2.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
【答案】A
【解析】周期T＝15秒，ω＝＝.由图可知，水轮最高点距离水面5米，
故A＋2＝5，即A＝3.故选A
3.（2020·全国高一课时练习）电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（
）
A．5A
B．2.5A
C．2A
D．－5A
【答案】B
【解析】当时，.
故选：.
4.电流强度
时间
（秒）变化的函数
的图像如图所示，则当
秒时，电流强度是（??
）
A.?10安??????????????????????B.?5安???????????????????????????C.?
安??????????????????????????????????D.?-5安
【答案】
D
【解析】根据函数图像可知,
,所以解得
由周期公式
代入可得
所以函数
将
代入可得
则
由
可知当
时解得
所以函数
当
时,代入可得
故选:D
5.设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )
A．y＝12＋3sin
t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin
t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
【答案】A
【解析】y＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：
由“散点图”可知，k＝12，A＝3.周期T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.所以φ＝0.因此，y＝12＋3sin
t，故选A.
6.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC.当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于( )
A．sin
x
B．sin
x－cos
x＋
C．－cos
x＋
D．sin
x＋cos
x－
【答案】B
【解析】如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，则BD＝BOsin(π－x)，
即BD＝sin
x.∴S△AOB＝×2sin
x＝sin
x.
∵OD＝BOcos(π－x)＝－cos
x，∴AB2＝BD2＋AD2＝sin2x＋(－cos
x＋2)2＝5－4cos
x.
∴S△ABC＝AB·＝－cos
x.
∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝sin
x－cos
x＋.
7.如图，某地一天从
6
~
14
时的温度变化曲线近似满足函数：
，则中午
12
点时最接近的温度为（??
）
A.??????????????????????????????B.????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】不妨令A＞0，B＞0，则由
?得：A=10，B=20°C；
又
=14﹣6=8，∴T=16=
，∴|ω|=
，不妨取ω=
．
由图可知，6×
+φ=2kπ﹣
（k∈Z），∴φ=2kπ﹣
，不妨取φ=
．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（
x+
）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：
y=10sin（
×12+
）+20°C=10sin
+20°C=20+10sin
=5
+20°C≈27°C.
故答案为：B．
8.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A.?仍保持平静?????????????????B.?不断波动??????????????C.?周期性保持平静??????????D.?周期性保持波动
【答案】
A
【解析】∵
=sint+sint?cos+cost?sin+sint?cos+cost?sin
=sint﹣sint+cost﹣sint﹣cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静.故选A。
9.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s和0.5s时速度最大
D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大
【答案】
B
【解析】周期为2×(0.7-0.3)=0.8s,故A错;由题中图象可知,振幅为5cm,故B对;在最高点时,速度为零,加速度最大,故C、D错.故选B。
10.(多选题)（2020·山东潍坊·高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（
）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点到轴的距离的最大值为
D．当时，
【答案】AD
【解析】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，
当t＝0时，y＝f(t)＝，
代入可得＝6sin
φ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，
所以函数在不是单调递增的，故B不正确；
因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，
故C不正确；
当时，，此时，点，，
故D正确，
故选：AD．
二、填空题
1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[(x-6)](x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.?
【答案】20.5
【解析】本题考查三角函数的实际应用.
由题意可知A==5，a==23，从而y=5cos[(x-6)]+23，
故10月份的平均气温为y=5cos(×4)+23=20.5℃
2.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是________?米．
【答案】
10
【解析】由题意，AB=10米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，
有此易得CD=AD=10米
再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=AD=10
∴塔高为DE+CD=10+10=10
故答案为：10米
3.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(右图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T为 .?
【答案】29.5天
【解析】本题考查三角函数模型在地理中的应用.
由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期.
故答案为：29.5天
4.在
中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若
则实数x的取值范围是________.
【答案】
【解析】两直角边和斜边分别为a，b，c，
则
，
则
，则
，故
.
故答案为：
.
5.（2020·浙江高一课时练习）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．
【答案】13
【解析】由图像可得，，，
∴，．
∵最低点坐标为，∴，得，
于是，∴，取，
∴．
当时，．
故答案为：13
三、解答题
1.如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
【答案】(1)10℃.(2)y＝5sin－7(6≤x≤14).
【解析】(1)由图象得这一天的最高温度是－2
℃，最低温度是－12
℃，
所以这一天最大的温差是-2－(-12)＝10(℃)．
(2)由(1)得解得
由图象得函数的周期T＝2×(14－6)＝16，则＝16，解得ω＝.
所以y＝5sin－7.
由图象知点(6，－12)在函数的图象上，
则-12＝5sin－7，整理得sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，则可取φ＝.
所以这段曲线的函数解析式是y＝5sin－7(6≤x≤14)．
2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
【答案】(1)h＝5.6＋4.8sin.(2)30秒.
【解析】(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ-，
故B点坐标为.
∴h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t
s转过的弧度数为.
∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4
m.
由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，∴tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.
3.受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间
（
，单位：小时，
表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为
．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．
(1)试求函数
的表达式；
(2)某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
【答案】(1)
;(2)该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口.
【解析】(1)依题意，
，∴
，
，
又
，∴
，∴
，
又
，∴
，∴
(2)令
得
，∴
，
∴
∵
，∴
或
，
∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口.
4．（2020·开封市第二十五中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，）求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
【答案】(1)，；(2)；(3)h取最大值为62米.
【解析】(1)由题意，（其中，，）
摩天轮的最高点距离地面为145米，最低点距离地面为米，
，得，，
又函数周期为30分钟，所以，
又，所以，．
所以，．
，
所以，，所以（分钟）．
(3)经过t分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，，
所以两人离地面的高度差，
当或时，即或25分钟时，h取最大值为62米
.
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