圆的基本性质(4)
01不在同一直线上的三个点可以确定_____________.
02经过三角形三个顶点的圆叫做___________,外接圆的圆心叫做_______,
这个三角形叫做____________,三角形的外心到三角形的_______的距离相等.
03证明时,先假设命题结论___________,然后经过推理,得出_______,最后断言结论________,这样的证明方法叫做_________.
04如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,对角线AC,BD交于P点,请写出⊙O的所有内接三角形.
5下列命题不正确的是(
)
A.三点确定一个圆
B三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆
D.经过两点有无数个圆
6A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=6,AC=5,下列说法正确的是(
)
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C一定在圆外
可以画一个圆,使A,C在圆上,B一定在圆外
可以画一个圆,使B,C在圆上,A一定在圆内
7三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,它是三角形(
)
A.三个内角平分线的交点
B三边垂直平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三条中线的交点
8在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=6cm,BC=8cm,则它的外心到顶点C的距离为(
)
A.5cm
B.6cm
C.7cm
D.8cm
9用反证法证明命题“若⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在⊙O的外部”,应先假设(
)
A.d
B.d=r
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或点P在⊙O内
10平面直角坐标系内的三个点A(1,0),B(0,-3),C(2,-3)_______确定一个圆.(填“能”或“不能”)
11如图,△ABC的外接圆的圆心坐标是________________.
12小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(
)
A.第①块
B第②块
C.第③块
D.第④块
13如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,AB=AC=2,则弦BC的长为(
)
A.
B.3
C.2
D.4
14有下列命题:①经过两点只可以作两个圆;②同圆上的三个不同点A,B,C,一定有|AB-BC|)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
15小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞,其中三角形的两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这块圆布的直径最小应等于(
)
A.2cm
B.3cm
C.2cm或3cm
D.2cm或
16若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为____.
17用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
18如图,在△ABC中,BD,CE为△ABC的中线,延长BD到F,使DF=BD,延长CE到G,使EG=CE求证:过A,G,F三点不能作圆.
答案
1
一个圆
2
三角形的外接圆
三角形的外心
圆的内接三角形
三个顶点
3不成立
矛盾的结果
一定成立
反证法
4解:⊙O的所有内接三角形有△ADB,△ACB,△ADC,△CDB
5
A
6
A
7
B
8
A
9
D
10能
11(6,2)
12
B
13
C
14
A
15
A
16
2-或2+
17证明:设弦AB,CD(不是直径)相交于点连接圆心O与点P,则AB⊥OP,CD⊥O两条直线AB,CD同时垂直于OP”,这与所以圆内不是直径的相交弦不能互相平
18略圆的基本性质（2）
1垂直于弦的直径______并且平分弦所对的两条弧.
2平分弦(不是直径)的直径____,并且平分弦________所对的两条弧.
3圆心到弦的距离叫做________.
4如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M则有AM=___,⌒AC
=_________,⌒AD=___________.
5如图,AB是⊙O的直径,CD是弦若CD⊥AB于点E,则下列结论不一定正确的是（
）
A∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.⌒AC=⌒AD
D.OE=BE
6如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点若弦AB=10cm,CD=6cm,则AC的长为
A.0.5cm
B.1cm
C.1.5cm
D.2cm
7如图,⊙O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为点E,若OE=3,则AB的长是(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
8如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是(
)
B.2
C.6
D.8
9如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段OM的长的取值范围是(
)
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3D.410如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC=______cm.
11如图,在⊙O中,弦AB与半径OC互相平分,交点为D,若⊙O的半径为4,则弦AB的长为__________.
12已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且OE=OF.
求证:AE=BF.
13如图,在半径为的⊙O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=4,则OP的长为(
)
A.1
B.
C.2
D.2
14如图,点A,B是⊙O上两点,AB=10,点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合),连接AP,PB,过点O分别作OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F,则EF=(
)
A.4
B.5
C.5.5
D.6
15如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),若⊙P的半径为,则点P的坐标为________.
16已知⊙O的直径CD=10,AB是⊙O的弦,CD平分AB,交点为M,且AB=8,则AC的长为___________.
17如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),若其跨度是24米,拱的半径为13米,则拱高为(
)
A.5米
B.8米
C.7米
D.5米
18如图,∠C=90°,以AC为半径的⊙C与AB相交于点D.若AC=3,CB=4,求BD长.
19在直径为50cm的⊙O中,有两条弦AB和CD,AB∥CD,且弦AB为40cm,弦CD为48cm,求AB与CD之间的距离.
20某数学小组开展了测算一圆弧型小桥所在圆的半径的活动如图所示,他们发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含小桥在内的路上小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小桥所在圆的半径.
答案
1平分弦
2垂直于弦
3弦心距
4
BM
BC
BD
5
D
6
D
7
C
8
B
9
B
10
5
11
43
12证明:过点O作OM⊥AB于点M,则AM=BM∵OE=OF,∴EM=FM,
∴AM一EM=BM-FM,
13
B
14
B
15(3,1)
16
45或25
17
B
18解:∵在三角形ABC中,∠ACB=900
∴AB===5过点C作CE⊥AB于点E,则AD=2AE
∴△ACE∽△ABC
∴AC2=AE·AB,即32=AE×5,∴AE=1.8,
AD=2AE=2×1.8=3.6,∴BD=AB-AD=5-3.6=1.4
19解:当两弦位于圆心的同旁时,过O作OM⊥AB,交AB于点M,交CD于点N
AB∥CD,ON⊥CD
由垂径定理,得BM=0.5AB=0.5×40=20(cm)
由题意知BO=25cm
∴OM=15(cm)
同理可求ON=7(cm),MN==15-7=8(cm)
当两弦位于圆心的两旁时,过O作OM⊥AB,交AB于点M,反向延长OM交CD于点N
∵AB∥CD,
由垂径定理,得BM=0.5×AB=0.5×40=20(cm)
由题意知BC=25cm,
∴OM=15(cm)
同理可求ON=7(cm)
MN=OM+ON=15+7=22(cm)
综上所述,AB与CD之间的距离为8cm或22cm
20解:小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米
∴由相似得,8米高旗杆DE的影长为12米
∵测得EG的长为3米,HF的长为1米
∴GH=12-3-1=8(米)
∴GM=MH=4米设小桥所在圆的圆心为O,如图,连接OM,OGMN=2米
∴GOP=MO2+42
设小桥所在圆的半径为米
r2=(r-2)2+16,解得r=5
故小桥所在圆的半径为5米圆的基本性质（1）
1在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线叫做_______,线段OA叫做圆的________,点O叫做圆的____符号用
______表示,圆心是O的圆表示为________,读作__________.
2连接圆上任意两点的线段叫做_______,经过圆心的弦叫做______圆上任意两点之间的部分叫做______,简称______,用符号“~”表示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做______,小于半圆的弧叫_____弧,用表
示弧的两个端点的字母表示;大于半圆的弧叫____弧,用表示弧的两个端点的字母和表示弧上的一个点的字母表示由弦及其所对的弧组成的图形叫做_______.
3能够________的两个圆是等圆;等圆的半径____________,在同圆或等圆中能够重合的两弧是____________.
4点和圆的位置关系:
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d则有:
①点P在圆外:____
②点P在圆上:___
③点P在圆内:___
5下列条件中,能确定一个圆的是(
)
A.以点O为圆心
B以2cm为半径
C.以点O为圆心,5cm为半径
D.经过已知点A
6如图,在⊙O中,点A、O、D,点B、OC以及点E、DC分别在一条直线上,图中弦的条数为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
7下列说法正确的有(
)
①半圆是弧,但弧不一定是半圆;②过圆上任意一点只能作一条弦,且这条弦为直径;③弦是直径;④直径是圆中最长的弦
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8关于半径为5的圆,下列说法正确的是(
)
若有一点到圆心距离为5,则该点在圆外
B若有一点在圆外,则该点到圆心的距离不小于5
圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D圆上任意两点之间的部分可以大于10
9如图,AB和CD都是⊙O的直径若∠AOC=50°,则∠C的度数是(
)
A.20°
B.25°
C.30°
D.50°
10如图,若AC,BD为⊙O的两条直径,则四边形ABCD一定是___________形.
11如图,半圆中有一正方形,则半圆的直径AB=___________.
12如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠BOC=70°,AD∥OC,则∠AOD=_____________.
13一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是(
)
A.1.5cm
B.7.5cm
C.1.5cm或7.5cm
D.3cm或15cm
14设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.在直角坐标系中,如果⊙P是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
15如图,点A,D,G,M在半圆上,四边形ABCC,DBF,HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是(
)
A.a>b>c
B.a=b=c
C.c>a>b
D.b>c>a
16已知⊙O的半径为4,点P与圆心O的距离为d,且方程x2-4x+d=0有实数根,则点P在⊙O_________(填位置关系)
17如图,⊙O的弦AB、半径OC的延长线交于点DBD=OA.若∠AOC=120,则∠D的度数是_____________.
18已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm.
若以点A为圆心,4cm为半径作⊙A,则点B,C,D与⊙A的位置关系如何?
(2)若以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是什么?
19如图,AB是⊙O的任一直径,CD是⊙O中不过圆心的任一弦,求证:AB>CD.
20如图所示,在△ABC中,BD,CE是两条高,求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
21如图①,AB为⊙O的直径,P为射线BA上的一点,质点由点P向点B匀速运动,图②是质点距离A点的距离s与时间t的函数图象,求⊙O的半径.
答案
1圆
半径
圆心
⊙
⊙O
圆O
2弦
直径
圆弧
弧
半圆
劣
优
弓形
3重合
相等
等弧
4
d>r
d=r
d5
C
6
B
7
B
8
C
9
B
10
矩
11
2
12
40°
13
C
14
B
15
B
16
内或上
17
20°
18解:(1)BA=3cm<4cm,点B在⊙A内;
DA=4cm,点D在⊙A上;
CA=5cm>4cm,点C在⊙A外
(2)3cm19证明:连接OC,OD.根据三角形三边关系得OC+OD>CD
AB=OA+OB,
OA=OB=OC=OD∴AB=OC+OD,∴AB>CD.
20证明:取BC的中点O,连接OD,OE,则OD=OE=BC=OB=OC.
故B,C,D,E四点在以O为圆心,BC的一半为半径的圆上
21解:由题图②,得t=3时,s=0,
∴PA=3,速度为每秒1个单位长度
当t=8时,s=1×5=5,
∴AB=5单位长度,
∴⊙O的半径为2.5单位长度圆的基本性质(3)
1________的角叫圆心角圆心角的度数和___________相等.
2圆是旋转对称图形,旋转中心为________,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的_______相等,所对的________相等,所对的______相等.
3如图,在⊙O中,点C是AB的中点,若∠A=50°,则∠BOC等于(
)
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
4如图,AC和BD是⊙O的两条直径指出图中相等的弦和劣弧.
5在同圆中,有下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角;(2)两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;(3)两条弦相等,它们所对的弧也相等;(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6在⊙O中,AB=AC,∠A=30°,则∠B=(
)
A.150°
B.75°
C.60°
D.15°
7如图,AB是半圆O的直径,O为AB中点,C,D两点在AB上,且AD∥OC,连接BC,BD.若CD=62°,则AD的度数为(
)
A.56°
B.58°
C.60°
D.62°
8如图,C,D为半圆O上的三等分点,则下列说法正确的是____________.
①AD=CD=BC;②∠AOD=∠DOC=∠BOC;③AD=CD=OC;④△AOD沿OD翻折与△COD重合
9一条弦把圆分成1:5两部分,则弦所对的圆心角为度_____________.
10如图,AB为⊙O的弦,∠OBC=108°,∠EOF=36,则AB______________EF.(填“>”“=”或“<”)
11如图,若在半径为2cm的⊙O内有一条长为23cm的弦AB,则∠AOB=________.
12如图,A,B是半径为3的⊙O上的两点若∠AOB=120°,C为AB的中点,试求四边形AOBC的周长并判断它的形状.
13在⊙O中,若AB=2CD,则有(
)
A.AB=2CD
B.AB>2CD
C.AB<2CD
D.AB与CD的大小关系不能确定
14如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,以点C为圆心,BC为半径的圆分别交AB,AC于点D点E,连接CD,则弧BD的度数为(
)
A.26°
B.64°
C.52°
D.128°
15如图,在⊙O中,A,C,D,B是⊙O上四点,OC,OD交AB于E,F,且AE=BF.下列结论不正确的是(
)
OE=OF
B.AC=BD
C.AC=CD=DB
D.CD//AB
16如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长等于__________.
17如图,AB,CD是⊙O的弦,M,N分别为AB,CD的中点,且∠AMN=∠CNM求证:AB=CD
18已知:如图,∠AOB=90°,C,D是弧AB的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.求证:AE=BF=CD
19如图,⊙O的半径OA⊥OC点D在AC上,且AD=2CD,OA=4,连接OD.
∠COD=__________.
(2)求弦AD的长;
(3)P是半径OC上一动点,连接AP,PD,请求出AP+PD的最小值并说明理由.
答案
1顶点在圆心
它所对的弧的度数
2圆心
弦
弧
弦的弦心距
3
A
4相等的弦
5
A
6
B
7
A
8
①②③④
9
60
10
=
11
120°
12解:连接OC.
∵C为⌒AB的中点,∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=60°.又∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形,
∴AC=BC=OA=OB=3,
∴四边形AOBC是菱形,其周长为3×4=12.
13
C
14
C
15
C
16
2
17
8
18证明:连接OM,ON,OA,OC
M,N分别为AB,CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=AB,CN=CD
∠AMN=∠CNM,
∴∠NMO=∠MNO,∴OM=ON
∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL),AM=CN,∴AB=CD
19证明:连接AC,BD.
∵C,D是⌒AB的三等分点
∠AOB=90°∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°
∴AC=CD=DB.∵AO=OB,∠OAB=∠OBA=45°OA=OC,∠AOC=30°
∴∠OAC=∠OCA=75°.∵∠OAB=45°
∴∠BAC=30°,∴∠AEC=180-∠BAC-∠OCA=75°
∴AC=AE=CD
同理可证BF=CD,所以AE=BF=CD
20解:(1)∵OA⊥OC,∴∠AOC=90°∵⌒AD=2⌒CD,
∴∠AOD=2∠COD
∴∠COD=∠AOC=30°
(2)连接AD
由(1)知∠AOD=2∠COD=2×30°=60.∵OA=OD△AOD为等边三角形,∴AD=OA=4.
(3)略