2020-2021学年安徽省合肥九年级上册第三次月考数学试卷（word解析版）

2020-2021学年安徽省合肥九年级上册第三次月考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
如果是锐角，且，那么的值为
A.
B.
C.
D.
下列图形中不一定是相似图形的是????
A.
两个等边三角形
B.
两个等腰直角三角形
C.
两个长方形
D.
两个正方形
如图，点D在的边AC上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是
A.
B.
C.
D.
若，是方程的两根，则实数，，a，b的大小关系是
A.
B.
C.
D.
如果，那么sinA的范围是?
?
?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能是
A.
B.
C.
D.
如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则：：
A.
2：5：25
B.
4：9：25
C.
2：3：5
D.
4：10：25
如图，已知，AD：：5，，CE的长为
A.
2
B.
4
C.
9
D.
10
如图，已知在中，，点D沿BC自B向C运动点D与点B、C不重合，作于E，交AD的延长线于F，则的值
A.
不变
B.
增大
C.
减小
D.
先变大再变小
如图，四边形ABCD中，，，，，点P，点Q同时从点A出发，点P沿AD运动到点D停止，点Q沿运动到点C停止，它们运动的速度都是，设P，Q出发x秒时，的面积为，则下列能反映y与x之间函数关系的大致图象是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知点在二次函数的图象上，则m的值为______
．
在中，，，，则
______
．
如图，在中，，高，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为____________．
如图，线段AD与BC相交于点O，，若AB：：3，的面积是2，则的面积等于______
．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为，那么这个平行四边形较短的边长为________cm．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分）
计算：．
已知线段a、b、c满足，且．
求a、b、c的值；
若线段x是线段a、6b的比例中项，求x．
如图，在中，D是AB上一点，且．
求证：∽；
若，，求AC的长．
已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，交AB于F，连接．
与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
设，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
如图，两幢建筑物AB和CD，，，，和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离结果精确到参考数据：，，
如图，已知中，，，AD与CE相交于F，求的值．
如图，在直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点．
求这个二次函数的解析式；
在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标；
对于中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标，并求出的面积；若不存在，请说明理由．
如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，，AC交BD于P，且．
求证：；
如图2，于E交AC于F．
若F为AC的中点，求的值；
当时，请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：为锐角，，
．
故选：B．
根据互为余角三角函数关系，解答即可．
本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查相似图形判定，根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案．
有两个对应角相等的三角形相似；?
有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；?
三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【解答】
A.两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误；
B.两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误；
C.两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确；
D.两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误．
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定．
由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：是公共角，
当或时，∽有两角对应相等的三角形相似；
故A与B正确；
当时，即时，∽两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
故D正确；
当时，即时，不是夹角，故不能判定与相似，
故C错误．
故选C．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．因为和为方程的两根，所以满足方程，再由已知条件、结合图象，可得到，，a，b的大小关系．
【解答】
解：用作图法比较简单，首先作出图象，随便画一个开口向上的，与x轴有两个交点，
再向上平移一个单位，就是，这时与x轴的交点就是，，画在同一坐标系下，很容易发现：
实数、、a、b的大小关系是：．
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握sinA随的增大而增大的性质和特殊锐角的三角函数值．
由sinA随的增大而增大且，结合特殊锐角的三角函数值可得答案．
【解答】
解：随的增大而增大，且，
，，
，
故选：B．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
根据二次函数图象判断出，，，然后求出，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
【解答】
解：抛物线开口向上，
，
由图可知，，，
，
一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数分布在第二、四象限．
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质求出，，求出DE：：5，根据相似三角形的判定推出∽，求出和的面积比，根据三角形的面积公式求出和的面积比，即可求出答案．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出和的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．
【解答】
解：根据图形知：的边DF和的边BF上的高相等，并设这个高为h，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
：：3，
：：5，
，
∽，
，，
：：：10：25，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此求解即可．
【解答】
解：，
，
，
，
故选B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．设，易知，根据，由此即可作出判断．
【解答】解：BEAD，CFAD，CFBE，
DBE，
设，
，，
，
，
，
当点D从BC运动时，是逐渐增大的，
的值是逐渐减小的，
BC的值是逐渐减小的．
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．分类讨论：当，即点Q在线段BA上，点P在线段AD上；当，即点P与点D重合，点Q在点BC上．
【解答】
解：?过点Q作于点G，过点B作于点H，
在直角中，，
，
当，即点P在线段AD上，
，
，
，
，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
?当，即点P与D重合，点Q在BC上，
此时，面积不变；?
故选B．
11.【答案】0
【解析】解：点在二次函数的图象上，
．
故答案为0．
把点代入即可求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：6．
根据，得出，再根据，求出AB，最后根据勾股定理即可求出BC．
本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出AB．
13.【答案】12
【解析】
【分析】
设，根据相似三角形的性质用x表示出KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【解答】
解：设，
四边形EFGH是矩形，
，
∽，
，即，
解得，，
则矩形EFGH的面积
，
则矩形EFGH的面积最大值为12，
故答案为：12．
14.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
的面积是2，
的面积等于．
故答案为：．
根据，于是得到∽，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
15.【答案】解：平行四边形相邻两边的长度之比是3：1，
平行四边形较长的边周长为24cm．
这个平行四边形的相邻两边长的和是12cm，
这个平行四边形较短的边长为，
故答案为
【解析】此题主要考查平行四边的性质，属于基础题，注意掌握平行四边形的两组对边分别相等由于平行四边形相邻两边之比为3：1，这个平行四边形较短的边长为周长一般的，即可求出．
16.【答案】解：原式
．
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
17.【答案】解：设，
则，，，
，
解得，
，
，
；
线段x是线段a、6b的比例中项，
，
线段．
【解析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
18.【答案】证明：在与中，
，，
∽；
解：∽，
：：AC，
，
，，
，
．
【解析】根据两角对应相等，两三角形相似即可证明∽；
根据相似三角形的对应边成比例得出AC：：AC，即，将数值代入计算即可求出AC的长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简叙为两角对应相等，两三角形相似；
相似三角形的对应边成比例．
19.【答案】解：∽证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
为AD的中点，，，
≌．
．
，，
≌．
．
又，
∽；
设，，，则，
，，
，
假定与相似，则有两种情况：
一是；则与互余，于是，因此此种情况是不成立的．
二是．
根据∽，
于是：，即，得．
所以，因此，
于是．
【解析】本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质，根据相似三角形得出相关线段间的比例关系是解题的关键．
要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据，因此和都是的余角，因此，我们只要再得出即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出和全等，那么，再根据一组直角和一条公共边我们可得出和全等，即可得出也就得出了，于是就凑齐了两三角形相似的条件．
要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：
当时，那么就和互余，因此就是直角，而也是直角因此这种情况是不成立的．
当时，AE：：BF，那么由于E是AD中点，因此，所以我们可得出，即，又根据中，，我们可在中根据和相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值．
20.【答案】
【解析】分析
在中，根据正切函数可求得在中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据求解即可．
详解
解：由题意得：，．
，，
在中，，，．
，
．
在中，，，，
，
．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为．
点睛
本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：过E作，交AD于G，如图，
则有，即，得：，
，
过点D作，交CE于H，则，
，
．
【解析】本题考查的是平行线分线段成比例，关键先过E作，交AD于G，再作，交CE于H，根据平行线分线段成比例，再结合已知条件可分别求出和的值，相加即可．
22.【答案】函数的图象与x轴相交于O，
，
，
，
假设存在点B，过点B做轴于点D，
的面积等于6，
，
当，
，
解得：或3，
，
?即，
?解得：或舍去．
又顶点坐标为：?，．
，
轴下方不存在B点，
点B的坐标为：；
点B的坐标为：，
，，
当，
，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，
即，
解得?或，
在抛物线上仅存在一点P?．
，
使，
的面积为：．
【解析】将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
根据得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出的面积．
本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
23.【答案】解：，
，
，
，
，
．
在图2中，过D作于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，，
，
，
，
，
四边形ABCG是平行四边形，
四边形ABCG是矩形，
，，
，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
或舍弃，
，
，
由1可知四边形ABHD是正方形，
，，
，
，
，，
设，则，
，，
．
【解析】根据得，又故故AD．
在图2中，过D作于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，，根据∽，得到a、b的关系即可解决问题．
根据条件推出即可解决问题．
本题考查正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造特殊图形是解决问题的关键．
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