7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像
[填一填]
1．正弦函数的性质与图像
2.周期函数
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)是它的周期，最小正周期是2π.
3．“五点法”作图
在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的点主要有五个：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法，就叫五点(画图)法．利用周期性可画出完整的正弦曲线．
[答一答]
1．如何理解周期和周期函数？
提示：(1)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值而言都能使它成立，T是函数f(x)的周期，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如sin＝cos＝sin，但sin≠sin，因此不是sinx的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应注意的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，但T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f＝f(2x)，是f(2x)的周期．
(3)周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈Z且k≠0)一定也是该函数的周期，则x＋kT也一定在定义域内，因此周期函数的定义域
一定是无限集，也就是说定义域一定无上界或无下界．
(4)若无特别说明，我们所说的周期一般指最小正周期．
(5)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝c(c为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)＝c，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合没有最小的，所以f(x)没有最小正周期．
(6)要证明非零数T为函数的一个周期，只需在定义域找到这样一个常数T，使对定义域内的任意的x值都有f(x＋T)＝f(x)即可．
2．怎样作正弦函数的图像？步骤是怎样的？
提示：(1)我们用单位圆中的正弦线作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，具体分为如下五个步骤：
①建立直角坐标系，在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到弧度为0，，，，…，2π的角的正弦线．
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
④找纵坐标：把正弦线对应平移，即可得出相应的12个点．
⑤连线：用光滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，就得到正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，如图所示．
我们通过图像的平移作正弦曲线y＝sinx，x∈R的图像．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像沿x轴向左、右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像，如图所示．正弦函数y＝sinx，x∈R的图像叫做正弦曲线．
(2)五点法作图：作出正弦曲线上五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用平滑曲线连接起来，再利用周期性得到完整的正弦曲线．
类型一 正弦函数的定义域和值域
命题视角1：利用正弦函数的性质判断复合函数的定义域
[例1] 求函数y＝的定义域．
[分析] 只需有sinx≥－即可．在此可以利用前面所学的三角函数线，也可以利用y＝sinx的图像解决．
[解] 要使函数有意义，需有2sinx＋1≥0，
即sinx≥－，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴此函数的定义域是(k∈Z)．
求三角函数的定义域，一般是通过解三角不等式，借助于三角函数的图像或单位圆中的三角函数线来确定.
[变式训练1] 求函数y＝lg
sinα＋的定义域．
解：要使函数y＝lg
sinα＋有意义，需 解得
所以函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．
命题视角2：利用正弦函数性质判断复合函数的值域与最值
[例2] (1)求使函数y＝－2sinx＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；
(2)求使函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值．
[解] (1)当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
∴函数y＝－2sinx＋1取最大值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ－(k∈Z)}，取最小值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}，其值域为[－1,3]．
(2)令t＝sinx，则－1≤t≤1.
y＝－t2＋t＋＝－2＋2.
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sinx＝，
即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
∴当t＝－1时，ymin＝－.
此时sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)．
综上，使函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最大值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z}，且最大值为2.
使函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最小值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}，且最小值为－.
求含正弦函数的复合函数的值域一般有以下两种方法：
?1?将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a?sinx＋b?2＋c型的值域问题.
?2?利用sinx的有界性求值域，如y＝asinx＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
[变式训练2] 求f(x)＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域．
解：令t＝sinx，
∵x∈，
∴≤sinx≤1，即≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝22－1，t∈且该函数在上是单调递增的．
∴f(x)min＝g＝1，f(x)max＝g(1)＝.
∴f(x)＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域为.
类型二 三角函数的奇偶性
[例3] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx；
(2)f(x)＝.
[分析] 本题主要考查三角函数的奇偶性，先求出或判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义予以判断．
[解] (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又∵f(x)＝cosx－x3sinx，
f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵1＋sinx≠0，
∴函数定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋，k∈Z}，
∴函数的定义域不关于原点对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
?1?正确判断函数奇偶性的前提是先看定义域是否关于原点对称.
?2?注意奇偶性判定法的变通式和定义域的用法.
[变式训练3] 判断函数f(x)＝sin的奇偶性．
解：∵x∈R，f(x)＝sin＝－cosx.
∴f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)．
∴函数f(x)＝sin为偶函数．
类型三 正弦函数的单调性和最值
[例4] 已知函数f(x)＝sinx－1.
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合；
(3)比较f与f的大小．
[分析] 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可．
[解] (1)∵函数f(x)＝sinx－1与f(x)＝sinx的单调区间相同，
∴f(x)＝sinx－1的增区间为(k∈Z)，
减区间为(k∈Z)．
(2)∵函数g(x)＝sinx，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取最大值1，
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取最小值－1.
∴函数f(x)＝sinx－1取最大值x的集合为{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}，最大值为0，取最小值x的集合为{x|x＝2kπ＋π(k∈Z)}，最小值为－2.
(3)f－f＝sin－sin，
∵－<－<－<，
且y＝sinx在上是增函数，
∴sin
即sin－sin>0.
∴f>f.
1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性.
2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化.
[变式训练4] (1)比较sin与sin三角函数值的大小；
(2)求函数y＝－2sinx－1的增区间．
解：(1)∵sin＝－sinπ.
sin＝－sin＝－sinπ，
由于<π<π<π，
且y＝sinx在上单调递减，
∴sinπ>sinπ，
∴－sinπ<－sinπ，
即sin(2)∵y＝sinx的单调减区间为
(k∈Z)，
∴y＝－2sinx－1的增区间为
(k∈Z)．
类型四 “五点法”作图
[例5] 作函数y＝sinx，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．
[分析] 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图像，然后比较它们的关系．
[解] 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
－1＋sinx
－1
0
－1
－2
－1
描点并用光滑的曲线连接起来，如图：
由图像可以发现，把y＝sinx，x∈[0,2π]的图像向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的图像．
[变式训练5] 在[0,2π]内，作出y＝2sinx的图像．
解：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
2sinx
0
2
0
－2
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
1．y＝sinx的图像的大致形状是( B )
解析：认真读图，仔细体会A、B、C、D各图所表达的含义，与正弦曲线对照，得出答案，如A缺乏向两侧无限伸展，C没有经过坐标原点，D同C.
2．函数y＝2－sinx的最大值及取得最大值时x的值是( C )
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝1，x＝－＋2kπ(k∈Z)
解析：当sinx＝－1时，y取最大值3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
3．函数f(x)＝( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
4．函数y＝log2(2sinx＋1)的定义域为.
解析：要使函数有意义，则必有2sinx＋1>0，即sinx>－.结合正弦曲线或单位圆，如图(1)(2)所示，
可知函数y＝log2(2sinx＋1)的定义域为
.
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-7．3.2 正弦型函数的性质与图像
[课程目标]
1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．
2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
[填一填]
1．正弦型函数
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝，频率f＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．
2．正弦型函数的性质
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(
A>0，ω>0)有如下性质．
(1)定义域：R.
(2)值域：[－A，A]．
(3)周期：T＝.
(4)单调区间：单调增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得，单调减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得．
3．利用图像变换法作y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像
[答一答]
1．怎样得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？
提示：(1)“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π来确定对应的x值．
(2)由函数y＝sinx图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
步骤1：画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．
步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ)在长度为2π的某闭区间上的简图．
步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
步骤4：纵坐标伸长或缩短，得到y＝Asin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
步骤5：沿x轴伸展，得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．
上述变换步骤概括如下：
步骤1步骤2步骤3步骤4―→步骤5
其中相位变换中平移量为|φ|单位，φ>0时向左移，φ<0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．
2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么？
提示：(1)平移变换：
①沿x轴平移，按“左加右减”规律；
②沿y轴平移，按“上加下减”规律．
(2)伸缩变换：
①沿x轴伸缩：ω>1时，横坐标缩短到原来的倍，0<ω<1时，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变；
②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍，当03．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式？
提示：关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图像的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)则在观察图像基础上可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)A：一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)φ：从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置．
另外应注意，A、ω、φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点外，还可利用五点法确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.
类型一 正弦型函数的定义域和值域
[例1] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x取值集合．
(1)y＝；
(2)y＝3＋2sin；
(3)y＝2cos2x＋5sinx－4.
[分析] 解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin2x＋cos2x＝1消去cos2x便可转化成关于sinx的二次函数问题
[解] (1)∵∴－1≤sinx≤1.
∴当sinx＝－1时，ymax＝，此时x的取值集合为
；
当sinx＝1时，ymin＝，
此时x的取值集合为.
(2)∵－1≤sin≤1，
∴当sin＝1时，ymax＝5，此时2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)，故x的取值集合为.
当sin＝－1时，ymin＝1，此时2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)，故x的取值集合为.
(3)y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2
＝－22＋.
∵sinx∈[－1,1]，
∴当sinx＝－1，
即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y有最小值－9，此时x的取值集合为；
当sinx＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，y有最大值1，此时x的取值集合为.
?1?求有关y＝Asin?ωx＋φ?＋b，x∈R的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y＝sinx的有界性，即|sinx|≤1.?2?形如y＝psin2x＋qsinx＋r?p≠0?形的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，值域为[－5,1]，求a和b的值．
解：因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π.
所以－≤sin≤1.
当a>0时，则
解得
当a<0时，则解得
类型二 三角函数的周期性
[例2] 求下列函数的周期：
(1)y＝sinx；(2)y＝2sin.
[解] 方法一：(1)如果令u＝x，则sinx＝sinu是周期函数，且周期为2π.
∴sin＝sinx，
即sin＝sinx.
∴sinx的周期是4π.
(2)∵2sin＝2sin，
即2sin＝2sin.
∴2sin的周期是6π.
方法二：(1)∵ω＝，∴T＝＝4π.
(2)∵ω＝，∴T＝＝6π.
[变式训练2] 求下列函数的周期：
(1)y＝sin(5x＋)；(2)y＝sin.
解：(1)∵ω＝5，∴T＝＝＝π.
(2)∵ω＝，∴T＝＝＝2π2.
类型三 正弦型函数的单调性
[例3] 求y＝sin的单调区间．
[分析] 复合函数y＝f[g(x)]由函数y＝f(u)和函数u＝g(x)复合而成，其单调性的判定方法是：当y＝f(u)和u＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数；当y＝f(u)和u＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝f[g(x)]为减函数．所以可利用变量代换将函数化成若干个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．
[解] 令u＝3x－，当x∈R时单调递增，所以当函数y＝sinu递增时，复合函数y＝sin也单调递增；
当函数y＝sinu递减时，复合函数y＝sin也单调递减．
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间为，k∈Z.
由2kπ＋≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋π≤x≤kπ＋π，k∈Z，
故原函数的单调递减区间为
，k∈Z.
(1)本题用的是代换法，所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间，如y＝sinx在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减．
(2)在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们在解题中常犯的错误．
[变式训练3] 求函数y＝3sin的单调递增区间．
解：设u＝－，则y＝3sinu，
当2kπ＋≤u≤2kπ＋(k∈Z)时，y＝3sinu随u增大而减小，
又∵u＝－随x增大而减小，
∴当2kπ＋≤－≤2kπ＋，k∈Z，
即当－4kπ－≤x≤－4kπ－，k∈Z时，y随x增大而增大．
∴函数y＝3sin的单调增区间为(k∈Z)．
类型四 作正弦型函数的简图
[例4] 用五点法作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、单调区间、对称轴方程．
[分析] 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解] ①列表：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线，作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
T＝＝2π.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋π.(k∈Z)．
[变式训练4] 用五点法作函数y＝2sin在一个周期上的图像．
解：(1)列出五个关键点如下表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
(2)描点作图，如下图．
类型五 正弦型函数的图像变换
[例5] 试说明如何由函数y＝sinx的图像通过变换得到函数y＝sin(2x＋)的图像．
[分析] 尝试用两种方法变换：
(1)y＝sinx→y＝sin→y＝sin→
y＝sin.
(2)y＝sinx→y＝sin2x→y＝sin→
y＝sin.
[解] 解法一：y＝sinxy＝sin
解法二：∵y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，
[变式训练5] 函数y＝sin＋的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：解法1：将函数y＝sinx依次进行如下变换：
(1)把函数y＝sinx的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
(2)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
(3)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
(4)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．
综上得到函数y＝sin＋的图像．
解法2：将函数y＝sinx依次进行如下变换：
(1)把函数y＝sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x的图像；
(2)把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
(3)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
(4)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．
综上可得函数y＝sin＋的图像．
类型六 由函数的图像求解析式
[例6] 如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．
[分析] 由给出的函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像信息确定其中的A、ω及φ的值．从图像的最高点、图像的起始点、结束点来分析出A、ω及φ的值．
[解] 解法一：(最值点法)
由题中图像可得A＝2，T＝2×＝3π＝，
∴ω＝.
将最高点坐标代入y＝2sin，
得2sin＝2.所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.由－π<φ<π知φ＝.
所以此函数的解析式为y＝2sin.
解法二：(起始点法)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像一般由“五点法”作出，
而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，
故只要找出起始点的横坐标x0就可以迅速求得角φ.
由题中图像求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝，又因为A＝2，
所以此函数的解析式为y＝2sin.
解法三：(平移法)
由图像知，将y＝2sinx的图像沿x轴向左平移个单位长度，就得到本题图像，故所求函数的解析式为
y＝2sin，即y＝2sin.
[变式训练6] 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图像如图，求函数的一个解析式．
解：由题图可知，A＝＝，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以y＝sin(2x＋φ)，由题图可知，当x＝时，y＝sin＝0，则π＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，φ可以取－π，所以函数的一个解析式为y＝sin.
1．已知函数y＝f(x)，f(x)图像上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx图像相同，则y＝f(x)的图像表达式为( D )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：采用逆向思维的方法y＝sinx沿x轴向右平移个单位得到y＝sin，再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin.
2．函数y＝sin的单调递减区间是( C )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：2kπ－≤－2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( A )
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
解析：本题考查正弦型函数的周期与初相．
T＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.
4．函数y＝3sin，x∈[0，＋∞)的振幅是3，周期是，频率是，相位是4x－，初相是－.
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-7．3.3 余弦函数的性质与图像
[课程目标]
1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间和最值．
2．会用“五点法”、“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
[填一填]
1．余弦函数的性质
2.余弦函数的图像
把正弦函数y＝sinx的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cosx的图像，该图像叫做余弦曲线．
[答一答]
1．怎样得到余弦函数的图像？
提示：(1)描点法：按照①列表，②描点，③连线的顺序作图．
(2)平移法：由y＝cosx＝sin，x∈R知，余弦函数y＝cosx的图像与正弦函数y＝sin的图像相同，于是只要把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图像．
(3)五点法：观察余弦函数的图像可以看出，下面五个点在确定余弦函数图像形状时起着关键的作用，(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cosx(x∈[0,2π])的图像形状就基本确定了，然后再把这一段的图像向左向右延伸，即得y＝cosx在R上的图像．
2．怎样求含有三角函数式的函数值域？
提示：到目前为止，运用所学知识可以求解的类型主要有：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)型，值域为[－A，A](A>0)．
(2)y＝或y＝型，解决这类问题的常用方法：反解sinx(或cosx)，得到sinx＝f(y)(或cosx＝f(y))，再利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1)，列出|f(y)|≤1，解出y的范围，即为所求函数的值域．
(3)y＝型，一般用数形结合法求解．
(4)y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)型，可以通过配方法转化为二次函数在区间sinx∈[－1,1]上的最值求解．
(5)y＝sinx＋(a>0)型，转化为利用函数y＝x＋(p>0)型函数值域(最值)，即利用函数的单调性．
类型一 余弦函数的定义域和值域
[例1] (1)求f(x)＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－2cosx－1；
②y＝；
③y＝cos2x－3cosx＋2.
[解] (1)由2cosx－1≥0知cosx≥，
作出y＝cosx在x∈[－π，π]的图像知
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴定义域为.
(2)①∵－1≤cosx≤1，
∴－2≤－2cosx≤2，
∴－3≤－2cosx－1≤1.
∴函数y＝－2cosx－1的值域为[－3,1]．
②由y＝可得(1－2y)cosx＝y，
cosx＝，
∵|cosx|≤1，∴cos2x≤1，
∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，
∴y≤或y≥1.
∴函数y＝的值域为∪[1，＋∞)．
③令t＝cosx，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．
∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝2－，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t＝，
∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．
∴t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0.
∴函数y＝cos2x－3cosx＋2的值域为[0,6]．
?1?求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图像.
?2?与余弦函数有关的值域的求法.
①直接法.利用y＝cosx的有界性或已知x的范围求y＝cosx的值域.
②反解法.也是利用有界性，但是要把函数反解成cosx＝g?y?的形式，再用－1≤g?y?≤1，解得y的范围.
③换元法.令t＝cosx，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等.
[变式训练1] 求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝；
(2)y＝2cos，x∈.
解：(1)方法一：y＝＝2＋，
∵－1≤cosx≤1，
∴－5≤≤－，－3≤2＋≤，
∴ymax＝，ymin＝－3.
方法二：由y＝，解得cosx＝.
∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，
解得－3≤y≤.
∴ymax＝，ymin＝－3.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴－1≤2cos≤2，
当cos＝1，即x＝－时，ymax＝2，
当cos＝－，即x＝时，ymin＝－1.
类型二 余弦函数的性质
命题视角1：余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin(cosx)；(2)f(x)＝.
[分析] 先写出函数定义域，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，若定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数．
[解] (1)定义域为R，
f(－x)＝sin(cos(－x))＝sin(cosx)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵cos＝cos＝－sinx.
∴f(x)＝.
∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x≠2kπ－(k∈Z)．
∴定义域为.
不关于原点对称，∴原函数为非奇非偶函数．
1.复合函数y＝f?g?x??的奇偶性.
y＝f?t?与t＝g?x?只要有一个为偶函数，则y＝f?g?x??为偶函数.
y＝f?t?与t＝g?x?二者均为奇函数，则y＝f?g?x??为奇函数.
2.判断函数奇偶性时，应先确定定义域的对称性，然后化简，最后判断.
[变式训练2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝＋；
(2)f(x)＝sin.
解：(1)由?cosx＝1.
∴x＝2kπ(k∈Z)．
∴定义域关于原点对称，而此时y＝0.
∴y＝＋既是奇函数又是偶函数．
(2)因为f(x)＝sin＝－cosx，其定义域为R，所以f(－x)＝－cos＝－cosx＝f(x)，所以函数f(x)＝sin为偶函数．
命题视角2：余弦函数的周期
[例3] 求下列函数的周期：
(1)y＝－2cos；
(2)y＝cos3x＋sin2x.
[解] (1)y＝－2cos＝－2cos，
∴函数周期T＝＝4π；
(2)y1＝cos3x的周期T1＝，
y2＝sin2x的周期T2＝＝π.
因为T1＝，T2＝的最小公倍数是，
所以T＝＝2π.
(1)一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝.今后，可以使用这个公式直接求这个函数的周期．
(2)两个三角函数和(或差)的周期．
如果f(x)周期为T1，φ(x)周期为T2，T1与T2的“最小公倍数”为T，则F(x)＝f(x)±φ(x)的周期为T.
如f(x)＝sin(－3x)＋cosx，sin(－3x)周期为，cosx周期为，与的“最小公倍数”为，故所求函数的最小正周期为.
分数与(m、n、p、q∈N
)的“最小公倍数”求法是先通分，然后求分子的最小公倍数k，则以最简公分母为分母，以k为分子的分数为“最小公倍数”．如与的“最小公倍数”为：＝2π.
[变式训练3] 求下列函数的周期．
(1)y＝3cos；
(2)y＝2cos.
解：因为y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为T＝.
所以(1)T＝＝.
(2)T＝＝π.
命题视角3：余弦函数的对称轴与对称中心
[例4] 求下列函数图像的对称轴、对称中心：
(1)y＝2cos；
(2)y＝cos.
[解] (1)由x＋π＝kπ＋(k∈Z)得x＝3kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝2cos的图像的对称中心为(k∈Z)．
由x＋π＝kπ(k∈Z)得x＝(3k－1)π(k∈Z)．
所以函数y＝2cos的图像对称轴为直线x＝(3k－1)π(k∈Z)；
(2)由3x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝π＋π(k∈Z)，
所以函数y＝cos的图像的对称中心为(k∈Z)．
由3x＋＝kπ(k∈Z)得x＝π－(k∈Z)，
所以函数y＝cos的图像的对称轴是直线x＝π－(k∈Z)．
关于函数y＝Acos?ωx＋φ?的对称性：将ωx＋φ看作整体，代入到y＝cosx的对称中心，对称轴的表达式，可以求出函数y＝Acos?ωx＋φ?的对称中心，对称轴.
[变式训练4] 已知函数y＝f(x)的图像和y＝sin关于点对称，则f(x)的表达式是( B )
A．y＝cos
B．y＝－cos
C．y＝－cos
D．y＝cos
解析：本题主要考查利用函数的对称性求解析式，设M(x，y)是所求函数y＝f(x)图像上任意一点，则点M关于点的对称点为M，代入已知函数解析式中有－y＝sin＝sin＝cos，则y＝－cos.
命题视角4：余弦函数的单调性
[例5] 求函数y＝cos的单调递增区间和周期．
[分析] 利用余弦函数的单调性和周期公式求解．
[解] 设u＝2x－，则u是x的增函数，
而y＝cosu在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
故当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)时，
y＝cos单调递增．
故函数y＝cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
周期T＝＝＝π.
对于y＝Acos?ωx＋φ?的单调区间的求法，先将ωx＋φ看作一个整体，然后根据三角函数的单调性，确定x的范围即为所求单调区间.
[变式训练5] (1)函数y＝3－2cosx的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)函数y＝1＋cosx，x∈[－π，2π]的单调递增区间为[－π，0]，[π，2π]．
解析：(1)y＝3－2cosx与y＝3＋2cosx的单调性相反，
由y＝3＋2cosx的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
∴y＝3－2cosx的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)函数y＝1＋cosx的单调递增区间为[2kπ＋π，2π＋2kπ](k∈Z)，
∵[2kπ＋π，2π＋2kπ]∩[－π，2π]＝[－π，0]∪[π，2π]，
∴y＝1＋cosx的单调递增区间为[－π，0]，[π，2π]．
类型三 余弦函数性质的应用
[例6] 比较下列各数的大小：
(1)cos与cos；
(2)cos(－828°)与cos(－765°)．
[解] (1)cos＝cos，
因为0<<<π，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，
所以cos>cos，即cos>cos.
(2)cos(－828°)＝cos(－1
080°＋252°＝cos252°，
cos(－765°)＝cos(－1
080°＋315°)＝cos315°，
∵180°<252°<315°<360°，
且y＝cosx在[180°，360°]上为增函数，
∴cos252°即cos(－828°)比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内，通过函数的单调性进行比较.
[变式训练6] 不求值，比较下列各对余弦值的大小：
(1)cos1
155°和cos(－1
516°)；
(2)cos与cos；
(3)cos与cos.
解：(1)cos1
155°＝cos(3×360°＋75°)＝cos75°，
cos(－1
516°)＝cos1
516°＝cos(4×360°＋76°)＝cos76°，
∵y＝cosx在[0，]上是递减的，
且0°<75°<76°<90°，
∴cos75°>cos76°，即cos1
155°>cos(－1
516°)．
(2)cos＝cos，
∵y＝cosx在[0，π]上是递减的，且0<<<π，
∴cos>cos，即cos(3)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵y＝cosx在[0，π]上是递减的，
且0<<<π，∴cos>cos，
即cos 类型四 作余弦函数的图像
[例7] 用“五点法”画函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图．
[分析] 解答本题先在[0,2π]上找出五个关键点，然后用平滑曲线连接即可．也可先画出y＝cosx在[0,2π]上的图像，再作关于x轴对称的图像．
[解] 方法一：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
－cosx
－1
0
1
0
－1
描点并用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
方法二：先用五点法画y＝cosx在[0,2π]上的图像，再作它关于x轴对称的图像(图略)．
“五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如平移、对称、翻折等.
[变式训练7] 画出函数y＝2＋cosx的简图．
(1)求函数的最大值与最小值并写出使此函数取得最大值与最小值的自变量x的集合．
(2)写出此函数的单调区间．
解：列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
y＝2＋cosx
3
2
1
2
3
描点画出图像(如图)．
由图像可知：
(1)当cosx＝1即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝2＋1＝3.
当cosx＝－1即x∈{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝2－1＝1.
(2)此函数的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，单调增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z.
类型五 余弦函数的图像变换
[例8] 函数y＝cos(2x－)的图像可由y＝sin2x的图像平移得到，若使平移的距离最短，则应( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[分析] 应尝试先统一三角函数的名称，然后再进行图像变换．
[解析] 方法一：∵y＝cos＝sin＝sin＝sin2，
∴只要将y＝sin2x的图像向左平移个单位即可．
方法二：y＝sin2x＝cos＝cos＝cos2，
y＝cos＝cos2，
而x－＋＝x－.
∴只要将y＝sin2x的图像左移个单位即可．
[答案] A
1.余弦型函数y＝Acos?ωx＋φ?的图像变换的方法与正弦型函数y＝Asin?ωx＋φ?的图像变换的方法完全一致.
2.若所给函数的三角函数名称不统一，一般先用诱导公式进行函数名称的统一，然后再进行图像变换.
[变式训练8] 函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝.
解析：y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位得y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝sin＝sin，而它与函数y＝sin的图像重合，令2x＋φ－＝2x＋得，φ＝，符合题意．
1．要得到余弦函数y＝cosx，x∈R的图像，只要将正弦函数y＝sinx，x∈R的图像向右平移( C )
A.个单位长度
B．π个单位长度
C.π个单位长度
D．2π个单位长度
解析：y＝sin＝－cosx，∴A错；y＝sin(x－π)＝－sinx，∴B错；y＝sin＝cosx，∴C对；y＝sin(x－2π)＝sinx，∴D错．故选C.
2．函数y＝cos2x( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：∵cos(－2x)＝cos2x，且x∈R，∴y＝cos2x为偶函数．
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( A )
A．－1,3
B．－1,1
C．0,3
D．0,1
解析：∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，
∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.
4．函数y＝－cos的单调递增区间是(k∈Z)．
解析：函数y＝－cos的单调递增区间，即函数y＝cos的单调递减区间，令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故该函数的单调递增区间为(k∈Z)．
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-7.3.4 正切函数的性质与图像
[课程目标]
1.掌握正切函数的性质会求正切函数的定义域、值域和周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．
2．会作出正切函数的简图，并能借助图像理解函数的性质．
[填一填]
1．正切函数的性质
2.正切函数的图像
根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈，利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出y＝tanx，x∈的图像，而后向左、右扩展，得y＝tanx，x∈R且x≠kπ＋(k∈Z)的图像，如图所示，y＝tanx的函数图像称为正切曲线．
[答一答]
1．有人说：正切函数在整个定义域内是增函数，这种说法对吗？
提示：这种说法不对，正切函数在某个单调区间上是增函数，在整个定义域上不是增函数，如x1＝，x2＝π时，显然x1y2，不符合增函数的定义．
2．怎样作正切函数的图像？
提示：由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z.知正切函数是周期函数，并且可以证明π是它的最小正周期．用单位圆上的正切线可作正切函数y＝tanx在开区间内的图像，如图(1)．根据正切函数的周期性，我们可以把图像向左、向右连续平移，得出y＝tanx，x∈，k∈Z的图像，我们把它叫做正切曲线，如图(2)．
类似于正弦函数、余弦函数的“五点法”作图，正切函数y＝tanx，x∈的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(0,0)，，.两线为直线x＝，直线x＝－.
正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．
类型一 正切函数的定义域和值域
命题视角1：正切函数的定义域
[例1] 求函数y＝的定义域．
[分析] 根据解析式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
[解] 要使y＝有意义，
须满足
∴∴
∴原函数的定义域为.
1.此类问题常常归结为解三角不等式?组?问题，这时可以利用基本三角函数的图像或单位圆中的三角函数线直观地求解集.
2.解题时，函数y＝tanx本身的定义域极容易被忽视，遇到解析式中含tanx的题目时，一定要格外慎重.
[变式训练1] 求函数y＝tan的定义域．
解：由于y＝tanx的定义域为.
所以x＋≠kπ＋，即x≠kπ＋，k∈Z.
故函数y＝tan的定义域为.
命题视角2：正切函数的值域
[例2] 求函数y＝sinx＋tanx在的值域．
[分析] 先判断单调性，再利用单调性求出上的值域．
[解] ∵y＝sinx在上是增函数，y＝tanx在上也是增函数，
∴函数y＝sinx＋tanx在上是增函数．
∴当x＝－时，函数有最小值，
ymin＝sin＋tan＝－－1；
当x＝时，函数有最大值，
ymax＝sin＋tan＝＋1.
∴函数的值域为.
利用函数的单调性确定函数的值域是一种常用方法.若函数y＝f?x?在定义域[a，b]内为增?减?函数，则函数在定义域[a，b]内的最小?大?值为f?a?，最大?小?值为f?b?，函数的值域为[f?a?，f?b?]?[f?b?，f?a?]?.
[变式训练2] 求下列函数的值域．
(1)y＝tan，x∈；
(2)y＝tan2x＋4tanx－1.
解：(1)∵x∈，∴－≤x－<，
y＝tan在上为增函数，
且tan＝－1，
∴函数y＝tan，x∈的值域为[－1，＋∞)．
(2)令t＝tanx，则t∈R，y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
∴函数y＝tan2x＋4tanx－1的值域为[－5，＋∞)．
类型二 正切函数的性质
命题视角1：正切函数的奇偶性
[例3] 判断函数y＝lg的奇偶性．
[解] 由>0，得tanx>1或tanx<－1.
故函数的定义域为
∪(k∈Z)．
又f(－x)＋f(x)＝lg＋lg
＝lg＝0，
即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f?－x?与f?x?的关系.
[变式训练3] 判断函数y＝的奇偶性．
解：函数的定义域为{x|x≠kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z}，其关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)．所以函数y＝是奇函数．
命题视角2：正切函数的单调性
[例4] 求函数y＝tan的定义域，单调区间和周期．
[分析] 尝试利用整体替换的方法解不等式求出定义域和单调区间，利用公式T＝求函数的周期．
[解] 由2x－≠kπ＋，k∈Z可得：
x≠＋π，k∈Z，
∴原函数的定义域为.
由kπ－<2x－－∴原函数的单调增区间为，k∈Z，
由T＝＝，∴原函数的周期为.
[变式训练4] 求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解：由x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠2kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝tan的定义域为，T＝＝2π，
由kπ－2kπ－所以函数y＝tan的单调增区间为
(k∈Z)．
类型三 正切函数的性质的应用
[例5] 比较tan与tan的大小．
[分析] 可先把角化归到同一单调区间内，再利用y＝tanx在上的单调性判断大小关系．
[解] tanπ＝tan＝tanπ，
tan＝－tan
＝－tan＝tanπ，
又－<π<π<，y＝tanx在上是单调递增函数，所以tan>tan.
[变式训练5] 不求值，比较下列各组中的两个正切函数值的大小．
(1)tan156°与tan171°；
(2)tan与tan.
解：(1)90°<156°<171°<270°，而90°＝，270°＝π，
∵函数y＝tanx在上是增函数，
∴tan156°(2)tan＝－tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝－tan＝tan.
∵函数y＝tanx在上是增函数，
而－<<<，
∴tantan.
类型四 正切函数的图像
[例6] 用正切函数的图像求满足tanx≥的x的取值范围．
[分析] 作出函数y＝tanx在一个周期内的图像，确定满足条件的x的取值范围，再求出整个定义域内的解．
[解] 如图，利用图像知，在区间x∈上满足tanx≥的x的取值范围为，由正切函数的周期性知，满足tanx≥的x的取值范围为(k∈Z)．
[变式训练6] 利用函数图像解不等式－1≤tanx≤.
解：作出函数y＝tanx，x∈的图像，如图所示．观察图像可得，在内，自变量x应满足－≤x≤，由正切函数的周期性可知，不等式的解集为.
1．下列叙述函数y＝tanx的性质的语句中正确的个数是( C )
①在上是增函数；②是奇函数；③最小正周期为2π；④图像关于原点对称．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据正切函数的性质①②④正确，③不正确．
2．与函数y＝3tan的图像不相交的一条直线是( D )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
解析：当x＝时，2x＋＝，y＝3tan(2x＋)无意义，故选D.
3．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( C )
解析：在上，cosx>0，f(x)＝tanx，所以在上其图像与y＝tanx的图像相同，在和上，cosx<0，f(x)＝－tanx，所以在这两段上其图像是y＝tanx的图像关于x轴的对称图像．
4．函数y＝tan的递增区间是(k∈Z)．
解析：由kπ－<＋2kπ－PAGE
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1
-7．3.5 已知三角函数值求角
[课程目标]
1.会由已知三角函数值求角．
2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．
3．已知三角函数值，会使用计算器求角．
[填一填]
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝arcsiny.
2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccosy(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
3．已知正切值，求角
如果正切函数y＝tanx(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tanx＝y，记作x＝arctany.
[答一答]
1．如何理解反正弦函数？
提示：(1)已知三角函数值求角，实际上是求三角函数的反函数问题，根据反函数的概念，当函数由定义域到值域一一对应时，才存在反函数，也就是说，在函数的一个单调区间上，该函数才有反函数，因此arcsiny(其中|y|≤1)只表示上正弦值等于y的角，原因是是函数y＝sinx的一个单调区间，对于每一个可能的值y(|y|≤1)，在这个区间上都有唯一的x值和它对应；反之，对于上每一个x的值，在区间[－1,1]上都有唯一的y值和它对应，因此，函数y＝sinx在上存在反函数，并且把这个反函数记为x＝arcsiny，因此它的定义域为[－1,1]，值域为.
(2)要熟练地记住下列特殊的y值对应的角，arcsin＝±；arcsin＝±；arcsin＝±等．对于非特殊值，要会用反三角符号表示角，如sinx＝时，x＝arcsin，
若sinx＝－时，x＝arcsin＝－arcsin.即y＝arcsinx表示内的一个角．
2．怎样由三角函数值求角？
提示：已知角x的一个三角函数值，求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当三角函数值不是1或0时，可以分为以下几步来解决：
第一步，确定角x可能是第几象限角．确定的方法有两种：一是借助单位圆运用三角函数线来判断，根据已知的三角函数值，画出相应的三角函数线．二是借助三角函数的图像来思考．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.
第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出(0,2π)内对应的角．如果是第二象限角，那么可表示为－x1＋π，如果是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π.
第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．
具体见下表：
类型一 已知正弦值求角
[例1] 已知sinx＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
[分析] 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
[解] (1)∵y＝sinx在上是增函数，
且sin＝.∴x＝，∴是所求集合．
(2)∵sinx＝>0，∴x为第一或第二象限的角．
且sin＝sin＝.
∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π.
∴x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.
[变式训练1] 已知sinα＝－，在下列条件下求α：
(1)α∈；
(2)α∈R.
解：(1)∵α＝arcsin，∴α＝－.
(2)∵sinα＝－，α∈R，
∴α＝2kπ＋π＋arcsin＝2kπ＋，
或α＝2kπ＋2π－arcsin＝2kπ＋＝2kπ－(k∈Z)．
即α＝2kπ＋或α＝2kπ－(k∈Z)．
类型二 已知余弦值求角
[例2] 已知cosx＝－0.287.
(1)当x∈[0，π]时，求x；
(2)当x∈R时，求x的取值集合．
[分析] 解答本题可先求出定义arccosα的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．
[解] (1)∵cosx＝－0.287，且x∈[0，π]，
∴x＝arccos(－0.287)．
(2)当x∈R时，先求出x∈[0,2π]上的解．
∵cosx＝－0.287，故x是第二或第三象限角，
由(1)知x1＝arccos(－0.287)是第二象限角．
∵cos(2π－arccos(－0.287))
＝cos(arccos(－0.287))
＝－0.287，且2π－arccos(－0.287)∈，
∴x2＝2π－arccos(－0.287)．
由余弦函数的周期性知，
当x＝2kπ＋x1或x＝2kπ＋x2，k∈Z时，
cosx＝－0.287.
即所求x值的集合是：{x|x＝2kπ±arccos(－0.287)，k∈Z}．
cosx＝a?－1≤a≤1?，当x∈[0，π]时，则x＝arccosa，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccosa，k∈Z}.
[变式训练2] 已知cosα＝－，α∈，求α.
解：由余弦函数在[0，π]上是减函数和cosα＝－可知，在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos，即arccos∈[0，π]．
又∵cosα＝－<0，∴arccos∈.
∴0<π－arcccos<.
∴π<π＋π－arccos<，
即π<2π－arccos<.
∴α＝2π－arccos.
类型三 已知正切值求角
[例3] (1)已知tanx＝且x∈，求x；
(2)已知tanx＝且x∈[0,2π]，求x的取值集合；
(3)已知tanx＝且x∈R，求x的取值集合．
[分析] 根据正切值，遵循相关步骤求角．
[解] (1)在区间上y＝tanx是增函数，符合条件的角是唯一的．
∴x＝arctan.
(2)∵tan(π＋α)＝tanα，
∴x＝π＋arctan或x＝arctan.
∴所求x的集合是.
(3)由(2)可知：x＝kπ＋arctan或x＝kπ＋π＋arctan(k∈Z)，∴所求x的取值集合为{x|x＝kπ＋arctan(k∈Z)}．
已知三角函数的正切值求角，要结合角所属的范围和正切函数在此区间上的单调性来确定.
[变式训练3] 已知tanα＝－2，(1)α∈；
(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R，求角α.
解：(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tanα＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2)．
(2)∵tanα＝－2<0，所以α是第二或第四象限角．
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间，上是增函数知，符合tanα＝－2的角有两个．
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tanα＝－2且arctan(－2)∈.
∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．
(3)α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．
类型四 综合应用
[例4] 已知A，B为△ABC的两个内角，且满足sinA＝cosB，tanA＝.求△ABC三个内角的度数．
[分析] 先将后一个条件切化弦，再考虑三角消元．
[解] ∵tanA＝，∴＝.
将sinA＝cosB代入，有＝.
若cosB＝0，则sinA＝0，而A，B∈(0，π)此时无解．
∴cosB≠0，∴cosA＝sinB.
由sinA＝cosB及cosA＝sinB，平方后相加得
2cos2B＋sin2B＝1，
即sin2B＝，∴sinB＝±.
∵0当B＝时，sinA＝cos＝，∴A＝或(舍)．
当B＝时，sinA＝cos＝－与0故A＝，B＝，C＝.
?1?本题运用了三角消元方法，它是处理多角度问题的一种常见方法.
?2?在求出角B后进行了讨论，舍去其中这种情况.另外在求得角A后又进行讨论，它们都是围绕三角形内角和展开的.有时仅这一点还不够，还必须借助其他条件进行取舍.)
[变式训练4] 计算下列各题：
(1)sin(arcsinx)(－1≤x≤1)；
(2)cos(arccosx)(－1≤x≤1)；
(3)sin(arccosx)(－1≤x≤1)；
(4)sin(arctanx)(x∈R)．
解：(1)∵－1≤x≤1，∴arcsinx∈，
设α＝arcsinx，∴x＝sinα，∴sin(arcsinx)＝sinα＝x.
(2)∵－1≤x≤1，∴arccosx∈[0，π]，设α＝arccosx，
∴x＝cosα，∴cos(arccosx)＝cosα＝x.
(3)∵－1≤x≤1，∴arccosx∈[0，π]，设α＝arccosx，
∴x＝cosα，
∴sin(arccosx)＝sinα＝＝.
(4)∵x∈R，∴arctanx∈，设α＝arctanx，
∴x＝tanα，∴sin(arctanx)＝sinα，
即已知tanα＝x，且α∈时，求sinα的值．
∵x＝tanα＝，∴x2＝＝，
∴sinα＝(sinα的正负由x确定)．
1．若sinx＝，x∈，则角x等于( B )
A．arcsin
B．π－arcsin
C.＋arcsin
D．－arcsin
解析：∵sinx＝，x为第二象限角，∴x＝π－arcsin.
2．若A．arccos
B．－arccos
C．π－arccos
D．π＋arccos
解析：∵x∈，∴x＝arccos＝π－arccos.
3．方程tanx＝－(－πA.
B.
C.
D.
解析：∵tan＝－tan＝－，tan＝－tan＝－，又－，π－在(－π，π)内，故选C.
4．tan＝－.
解析：令α＝arccos，α∈[0，π]，则cosα＝－，sinα＝，∴tanα＝－.
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