6.2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
[目标]
1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算．
[重点]
向量加法的三角形法则及平行四边形法则．
[难点]
向量加法的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 向量的加法
[填一填]
1．定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则
前提：已知非零向量a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取任意一点A.
(2)作＝a，＝b，再作向量.
(3)则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
3．平行四边形法则
前提：已知不共线的向量a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取一点O.
(2)如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作?OACB.
(3)对角线就是a与b的和，即a＋b＝＋＝.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
[答一答]
1．两向量和的三角形法则的实质是什么？能否推广到多个向量和的多边形法则？
提示：两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和．可以推广到多个向量和的多边形法则，即＋＋＋…＋An－1An＝.
2．向量加法的三角形法则和平行四边形法则之间有什么关系？它们各自的适用条件是什么？
提示：当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，从某种意义上讲，三角形法则是平行四边形法则的简化．向量共线时，平行四边形法则不再适用．由于向量共线，因此也不能构成三角形，但由于三角形法则运用时要求“首尾相接”，这一点对共线向量仍然适用．
3．a，b处于什么位置时，
(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
提示：(1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
知识点二 向量加法的运算律
[填一填]
1．交换律：a＋b＝b＋a.
2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[答一答]
4．化简下列各式．
(1)＋＋＝；
(2)＋＋＝0.
解析：(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
典例讲练破题型
类型一 向量的加法法则
[例1] 四边形ABCD是边长为1的正方形，设＝a，＝b，＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.
[分析] 利用折线法，平移向量c，使a、b、c首尾相接，即可得和向量．
[解] 如图，延长AC到E，使AC＝CE，
则＝，
∴a＋b＋c＝＋＋＝.
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴||＝，
∴||＝2||＝2.
故|a＋b＋c|＝2.
求作两个向量的和，一般用三角形法则或平行四边形法则，求作三个或三个以上向量的和，常用“折线法”，即先平移向量，使这些向量首尾相接，再连接第一个向量的起点和最后一个向量的终点，即得其和向量.
[变式训练1] (1)如图①所示，求作向量和a＋b.
(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c.
解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示．
(2)方法一(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b，再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
类型二 向量的加法运算
[例2] (1)化简：①＋；②＋＋＋＋.
(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①＋；
②＋；
③＋.
[分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
[解] (1)①＋＝＋＝；
②＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0.
(2)①由题图知，四边形OAFE为平行四边形，
∴＋＝；
②由题图知，四边形OABC为平行四边形，
∴＋＝；
③由题图知，四边形AEDB为平行四边形，
∴＋＝.
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
[变式训练2] 如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( C )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
类型三 向量加法的应用
命题视角1：向量在平面几何中的应用
[例3] 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[分析] 首先引入向量，再利用向量的关系进行证明．
[证明] 如图，根据向量加法的三角形法则有＝＋，＝＋.
又∵＝，＝，
∴＋＝＋.
∴＝.
∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.
[变式训练3] 如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.
解：连接CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，∴AN綉DC，
∴四边形ANCD是平行四边形，＝－＝－b.
又＋＋＝0，
∴＝－－＝－a＋b.
＝－＝＋＝a－b.
命题视角2：向量加法的实际应用
[例4] 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．
[解] 如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km.则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
所以||＝
＝＝800(km)．
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km.
向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：?1?将应用问题中的量抽象成向量；?2?化归为向量问题，进行向量运算；?3?将向量问题还原为实际问题.
[变式训练4] 如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10
N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
所以||＝||·cos30°＝10×＝5，
||＝||cos60°＝10×＝5.
所以A处所受的力为5
N，B处所受的力为5
N.
课堂达标练经典
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( C )
A.＝
B.＋＝
C.＝＋
D.＋＝0
解析：因为＝＋≠＋，所以C错误．
2．下列等式不成立的是( C )
A．0＋a＝a
B．a＋b＝b＋a
C.＋＝2
D.＋＝
解析：对于C，∵与方向相反，∴＋＝0.
3．已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于( D )
A．△ABC的AB边上
B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
解析：如图，＋＝，则P在△ABC的外部．
4.＋＋＝0.
解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
5．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
解：(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
——本课须掌握的三大问题
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
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-6．2.2 向量的减法运算
[目标]
1.知道相反向量的定义；2.记住向量减法法则及其几何意义；3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．
[重点]
向量减法法则及其几何意义．
[难点]
向量减法法则及其几何意义的应用．
要点整合夯基础
知识点一 相反向量
[填一填]
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
[答一答]
1．(1)相反向量就是方向相反的向量吗？
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b吗？
提示：(1)不是．相反向量是方向相反且长度相等的向量．
(2)若|a|＝|b|，则a，b不一定共线，有可能a≠b且a≠－b.
知识点二 向量的减法及其几何意义
[填一填]
1．向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，知＝a＋(－b)＝a－b.
又b＋＝a，
所以＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在?ABCD中，＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
[答一答]
2．在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？
提示：含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量，仍得到向量等式．移项法则对向量等式也是适用的．
3．类似于向量和的三角形不等式，向量差是否也存在三角形不等式呢？
提示：向量差也存在三角形不等式．对于任意a，b，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成立，并且当a，b同向且|a|≥|b|，|a|－|b|＝|a－b|.当a，b共线且反向时，|a－b|＝|a|＋|b|.
典例讲练破题型
类型一 向量减法的几何意义
[例1] 如下图，已知向量a、b、c，求作向量a＋c－b.
[分析] 先作差向量c－b，再把它平移，使其起点与a的终点重合，然后利用三角形法则可得向量a＋(c－b)．
[解] 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝c－b，过点A作AD綉BC，则＝.∴＝＋＝a＋c－b.
求作几个已知向量的和与差，一般先将这几个向量的起点平移到同一点O，然后两两组合，作出它们的和或差，依次累进就可得出所求作的向量.其中作图的先后次序可任意确定，作图过程不是唯一的.
[变式训练1] 如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝a－b＋c.
解析：由于＝－，而＝－＝a－b，＝－＝－c，所以＝a－b＋c.
类型二 向量减法的运算
[例2] 化简：(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
[分析] 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．
[解] (1)解法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
解法二：原式＝＋－－
＝＋(－)－＝＋(－)
＝＋0＝.
(2)解法一：原式＝－＝.
解法二：原式＝－(＋)＝－＝.
满足下列两种形式时可以化简：
?1?首尾相接且为和；?2?起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
[变式训练2] 化简：(－)－(－)．
解：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
类型三 向量加减法的综合运用
[例3] 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
[分析] 向量a＋b，a－b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简、转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解．
[解析] ∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝.
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
[答案] 平行四边形
?1?利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
?2?根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.
[变式训练3] 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.求证：
(1)|a－b|＝|a|.
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，
得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由||＝||，
得|a＋(a－b)|＝|b|.
课堂达标练经典
1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是( C )
A．a∥b
B．|a|＝|b|
C．|a|≠|b|
D．b＝－a
解析：∵长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，∴选项C错误．
2．如图所示，已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于( D )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
解析：由题图知＝＝－＝b－c.
3．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝c，d＋a＝b.
解析：d－a＝－＝＋＝＝c，
d＋a＝＋＝＋＝＝b.
4．四边形ABCD是边长为1的正方形，则|－|＝.
解析：|－|＝||＝＝.
5．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；(3)－；
(4)＋；(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
——本课须掌握的三大问题
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
学科素养培优精品微课堂
|a±b|与|a|，|b|的关系
开讲啦
(1)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝
|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝
|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
[典例] 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
[分析] 本题利用不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意分析向量和的方向．
[解] ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
[针对训练] 已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值．
解：根据三角形法则，可知||b|－|a||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|＝23.
且当a，b，c同向时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|，此时|a＋b＋c|有最大值23.
又∵|a＋b＋c|≥||a＋c|－|b||，当a，c同向且与b异向时，
|a＋b＋c|最小，此时|a＋b＋c|有最小值5.
故|a＋b＋c|的最大值为23，最小值为5.
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8
-6.2.3 向量的数乘运算
[目标]
1.记住向量数乘的定义及其规定；2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题；3.记住向量数乘运算法则并能进行相关运算．
[重点]
向量数乘的定义．
[难点]
向量共线基本定理．
要点整合夯基础
知识点一 向量数乘的定义
[填一填]
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0.
[答一答]
1．数乘向量与数乘数有什么区别？
提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．
2．－2a与a有什么关系？
提示：－2a与a方向相反，－2a的长度是a长度的2倍．
知识点二 向量数乘的运算律
[填一填]
实数与向量的积的运算律中，结合律是λ(μa)＝(λμ)a，它的几何意义是将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同．
第一分配律是(λ＋μ)a＝λa＋μa，几何意义是将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同．
第二分配律是λ(a＋b)＝λa＋λb，几何意义是将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同．
[答一答]
3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？
提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．
知识点三 向量共线基本定理
[填一填]
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
[答一答]
4．定理中条件a≠0能漏掉吗？
提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
5．与非零向量a共线的单位向量是±.
知识点四 线性运算
[填一填]
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
(2)任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[答一答]
6．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？
提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．
典例讲练破题型
类型一 向量的数乘运算
[例1] 计算：(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2.
[分析] 综合运用向量数乘的运算律求解．
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a；
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
[变式训练1] (1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( C )
A．－a
B．－b
C．－c
D．以上都不对
(2)[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]＝a－b.
解析：(1)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c，故选C.
(2)原式＝
＝
＝＝a－b.
类型二 用已知向量表示未知向量
[例2] 如图所示，已知?ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
[分析] 利用向量的加法和数乘运算进行化简．
[解] 设＝x，则＝x，＝e1－x，
＝＝＝e1－x.
由＋＝，得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.
由＝－，＝e1－x，
得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
[变式训练2] 如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量.
解：连接AM并延长交BC于D点．
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)
＝＋
＝＋
＝＋
＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋
＝(a＋b＋c)．
类型三 向量共线定理的应用
[例3] 已知非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数值．
[分析] 对于(1)，欲证明A，B，D三点共线，只需证明存在λ，使＝λ即可．对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
[解] (1)证明：∵＝e1＋e2，
＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B.∴A，B，D共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有则k＝±1.
用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa?a，b为由这三点构成的任意两个向量?.证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线.
[变式训练3] 已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( A )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
解析：首先判定①能否使a，b共线，由向量方程组
可求得：a＝－e，b＝－e，∴b＝10a，∴a，b共线，因此可排除C、D；而由②可得λ，μ是相异实数，所以λ，μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴b＝－a，故a，b共线，所以排除B，故选A.
课堂达标练经典
1．设λμ∈R，下列叙述不正确的是( D )
A．λ(μa)＝(λμ)a
B．(λ＋μ)a＝λa＋μa
C．λ(a＋b)＝λa＋λb
D．λa，a的方向相同(λ≠0)
解析：A，B，C选项是向量数乘满足的运算律，均正确；D不正确，当λ<0时，λa与a的方向相反．
2．点P在△ABC所在平面上，且满足＋＋＝2，则＝( B )
A. B.
C. D.
解析：因为＋＋＝2＝2(－)，所以3＝－＝，所以，共线，且3||＝||，所以＝.
3．若|a|＝m，b与a方向相反，|b|＝2，则a＝－b.
解析：∵2|a|＝m|b|，a与b方向相反，∴a＝－b.
4．在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝.
解析：如图，因为＝＋＝＋，所以λ＋μ＝＋1＝.
5．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
∴∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
——本课须掌握的三大问题
1．向量数乘运算的意义
(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
(2)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
2．对向量共线定理的理解
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
3．判断两个向量是否共线的方法
判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程．若方程有解且与题目条件无矛盾，则存在，反之不存在．
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-6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的概念
[目标]
1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；2.知道向量的投影向量；3.记住数量积的几个重要性质．
[重点]
向量夹角，数量积的含义及公式．
[难点]
向量夹角，数量积的重要性质．
要点整合夯基础
知识点一 向量的夹角
[填一填]
(1)已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量夹角θ的取值范围是0≤θ≤π；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
(3)如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
[答一答]
1．零向量与向量a的夹角是多少呢？
提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量a的夹角没有意义．
2．等边三角形ABC中，向量与的夹角是60°吗？
提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120°而不是60°.
知识点二 向量数量积的定义
[填一填]
(1)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
(2)零向量与任一向量的数量积为0.
[答一答]
3．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示：向量的数量积a·b是一个实数，数乘向量λa仍是一个向量．
知识点三 投影向量
[填一填]
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量；
如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
[答一答]
4．如图(2)，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
提示：对于任意的θ∈[0，π]，都有＝|a|cosθe.
知识点四 数量积的几个性质
[填一填]
设a、b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
[答一答]
5．a·b＝0时，a＝0或b＝0吗？
提示：不一定，当a⊥b时，也有a·b＝0.
典例讲练破题型
类型一 向量的夹角问题
[例1] 在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)与的夹角大小；
(2)与的夹角大小．
[分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题．
[解] (1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，
∴AB2＋BC2＝()2＋12＝22＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
∴tanA＝＝＝，∴∠A＝30°.
∵D为AC的中点，
∴∠ABD＝∠A＝30°，＝.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.
∴与的夹角为120°.
(2)∵＝，
∴与的夹角也为120°.
求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
[变式训练1] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β.求α＋β.
解：如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作?OACB，
则＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB.
所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即a＋b与a的夹角α＝30°，
∴α＋β＝90°.
类型二 向量数量积的运算
[例2] 已知|a|＝2，|b|＝3，当：(1)a与b的夹角θ为60°；(2)a⊥b；(3)a∥b时，分别求a·b.
[分析] 由于已知|a|＝2，|b|＝3，因此要求a·b的关键是通过条件得出a与b的夹角，然后代入数量积的计算式求得．
[解] (1)当a与b的夹角θ为60°时，
a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.
(2)当a⊥b，即a与b的夹角θ为90°时，
a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos90°＝0.
(3)当a∥b，即a与b的夹角θ＝0°或θ＝180°，
若θ＝0°，则a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos0°＝6；
若θ＝180°，则a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos180°＝－6.
已知|a|，|b|求a·b时，需先确定两向量的夹角θ，再利用数量积的定义求解.本题中注意a∥b时，要分θ＝0°和θ＝180°两种情况讨论.
[变式训练2] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·＝( D )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
解析：设∠CAB＝θ，所以AB＝，·＝||||·cosθ＝×4cosθ＝16.
类型三 向量的投影
[例3] 设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，θ＝150°，求a与b方向上的投影；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影．
[解] (1)|a|·cosθ＝5×cos150°＝5×＝－.
∴a在b方向上的投影为－.
(2)＝＝.
∴b在a方向上的投影为.
a在b的方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于角θ的范围.
[变式训练3] 已知向量a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，则a在b的方向上的投影为( A )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：|a－2b|＝4，即(a－2b)2＝16，
从而得a2－4a·b＋4b2＝16，
∴－4a·b＋4|b|2＝15，①
|a＋2b|＝2，即(a＋2b)2＝4，
从而得a2＋4a·b＋4b2＝4，
∴4a·b＋4|b|2＝3，②
联立①②解得|b|＝，a·b＝－，
∴a在b的方向上的投影为＝＝－1.
课堂达标练经典
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝( B )
A．－3
B．－6
C．6
D．12
解析：a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×＝－6.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( B )
A．3
B.
C．2
D.
解析：a·b＝|a||b|cosθ＝|b|·|a|cosθ＝3×＝.故选B.
3．在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是( B )
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
解析：由向量夹角的定义可知，与的夹角为∠A，为锐角．
4．给出以下命题：
①a·0＝0；
②0a＝0；
③0－＝；
④|a·b|＝|a|·|b|；
⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；
⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
⑦a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中正确命题的序号是③⑦.
解析：本题考查数量积的概念及向量运算．上述7个命题中只有③⑦正确，对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应为0a＝0；对于④，由数量积定义，有|a·b|＝|a||b|cosθ≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可有a⊥b，即可以都非零．
5．已知向量a、b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．
解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3，
又a·b＝－12，∴|a·b|＝12.
∵|a·b|≤|a||b|，
∴12≤3|b|，∴|b|≥4，
故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
——本课须掌握的三大问题
1．两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
2．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
3．(1)投影的概念：若向量a与b的夹角为θ，则向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ；向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积；数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b的方向上的投影|a|cosθ的乘积，这两个投影是不同的．
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-第2课时 向量的数量积的运算律
[目标]
1.了解数量积的运算律；2.会用向量数量积的公式解决相关问题．
[重点]
会用向量数量积的公式解决相关问题．
[难点]
会用向量数量积的公式解决相关问题．
要点整合夯基础
知识点一 向量的数量积的运算律
[填一填]
已知向量a，b，c和实数λ，有：
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
[答一答]
1．对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a一定成立吗？
提示：不一定成立．∵若(a·b)c≠0，其方向与c相同或相反，而(b·c)a≠0时，其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立．
2．若a·b＝a·c(a≠0)，则一定有b＝c吗？
提示：不一定．可能有
a⊥(b－c)成立．
知识点二 向量的数量积的综合应用
[填一填]
设a、b都是非零向量，它们的夹角是θ，则
(1)cosθ＝；
(2)a⊥b?a·b＝0；
(3)|a|＝.
[答一答]
3．对于向量a，b，等式|a±b|＝＝一定成立吗？
提示：成立.
典例讲练破题型
类型一 向量的数量积的运算律
[例1] 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[分析] 根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．
[解] (1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
[变式训练1] 已知向量a与b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于2.
解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.
类型二 向量的模
[例2] 已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
[分析] 利用模的公式和数量积的运算律进行求解．
[解析] 因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝＝
＝＝.
[答案]
?1?要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.
?2?已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.
[变式训练2] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝3.
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.
类型三 向量的夹角
[例3] 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
[分析] 利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．
[解析] 设a，b夹角为θ，由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝＝＝－，所以θ＝.
[答案] C
[变式训练3] 设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴.
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
类型四 向量垂直的判定
[例4] 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[分析] 利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．
[解] ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，
ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k＝，即k为时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．
解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b?,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.
[变式训练4] P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析：由·＝·得·(－)＝0，
即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
类型五 向量数量积的综合应用
[例5] 在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
[分析] 易知a＋b＋c＝0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系．
[解] 在△ABC中，易知＋＋＝0，
即a＋b＋c＝0，
因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，
从而
两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，
则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，
因为a·b＝c·a＝a·c，
所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
同理可得|a|＝|b|，故||＝||＝||，
即△ABC是等边三角形．
依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.
[变式训练5] 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为( B )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，即·＝0，从而AB⊥AC，故△ABC为直角三角形.
课堂达标练经典
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析：A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B.
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2
B．4
C．6
D．12
解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72.
∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
又∵|a|≥0，∴|a|＝6.
3．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( A )
A．－25
B．－20
C．－15
D．－10
解析：∵＋＋＝0，∴|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，
∴·＋·＋·＝－25.
4．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝.
解析：|a＋b|＝＝
＝＝.
5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：
(1)c·d；(2)|c＋2d|.
解：(1)因为向量a与b的夹角为60°.
|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝1，
因为c＝2a－b，d＝a＋2b，
所以c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2
＝2|a|2＋3×1－2|b|2＝2×22＋3－2×12＝9.
(2)因为c＋2d＝(2a－b)＋2(a＋2b)＝4a＋3b，
(c＋2d)2＝(4a＋3b)2＝16a2＋24a·b＋9b2＝16|a|2＋24×1＋9|b|2＝16×22＋24×1＋9×1＝97，
所以|c＋2d|2＝97，所以|c＋2d|＝.
——本课须掌握的三大问题
1．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a|·|b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
2．在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cosθ有可能为0.
3．在实数中，若ab＝bc，b≠0则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0?/
a＝c.
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