9.1.1
正弦定理
1、在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角A为（
）
A．
B．
C．
D．
2、在中，，,角A的平分线,
则BC长为（
）
A．1
B．
C．
D．
3、已知的内角的对边分别为，，，则角C的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
4、已知的内角的对边分别为,若,且，则边c上的高为(
)
A.
B.
C.2
D.
5、在中,内角的对边分别为.若,且,则（
）
A.
B.
C.
D.
6、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则B＝（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
7、在中，，三角形的面积为，则外接圆的直径为（
）
A.
B.
C.
D.
8、在中，，则的最大值为（
）
A．
B．
C.
D．
9、在中，，D是AB边上的一点，，
的面积为1，则BD的长为（
）
A.
B.4
C.2
D.1
10、的内角的对边分别为,已知,,,则的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
11、在中,,,则__________.
12、设的内角的对边长成等比数列，，延长至.若,则的面积的最大值为
.
13、的内角的对边分别为,若,,,则____________.
14、已知三个内角所对的边分别为，且满足若，则面积的最大值为
.
15、在中,内角所对的边分别为.已知?.
(1).证明:;
(2)若,求的值.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：C
解析：在中,
,且
由正弦定理可得:
∵
∴
∴B为锐角
∴
2答案及解析：
答案：B
解析：中,由正弦定理可得,
，
∴，
∴，
∴，
3答案及解析：
答案：A
解析：因为，所以所以，即.因为，所以，则.
4答案及解析：
答案：C
解析：所以由正弦定理得
,
,又所以边c上的高为,故选C
5答案及解析：
答案：A
解析：由正弦定理得,即.因为,,所以,所以或,又因为,所以,故选A.
6答案及解析：
答案：C
解析：∵中
∴根据正弦定理得
∴
又，∴
∴
∴或
7答案及解析：
答案：D
解析：∵，
∴，
∴，
∴外接圆的直径为.
8答案及解析：
答案：C
解析：中，,则，，其中，由于，所以最大值为
9答案及解析：
答案：C
解析：如图：
∵的面积为1，
∴，
即，
∵，
∴，
在三角形BCD中,
，
则，
10答案及解析：
答案：B
解析：由正弦定理及已知条件.
又,
从而.
11答案及解析：
答案：1
解析：由正弦定理知,所以,则,所以,所以,即.
12答案及解析：
答案：
解析：
因为，
所以，
所以，①
又因为长a，b，c成等比数列，
所以，
由正弦定理得：，②
1
?②得：，
化简得：，
解得：，
又，
所以，
①+②：
cos(A?C)=1，
即A?C=0，
即A=C，
即三角形ABC为正三角形，
设边长为x，由已知有0则
(当且仅当x=2?x，即x=1时取等号)，
故答案为：
13答案及解析：
答案：
解析：因为,
所以,
由正弦定理得
解得
14答案及解析：
答案：
解析：由题意得.
，，，.
又，，即.，
.
即面积的最大值为.
15答案及解析：
答案：(1)由正弦定理得,
故,
于是,,
又,故,所以或,
因此,(舍去)或,
所以,.
(2)由,得,,
故,,
.
解析：
PAGE9.1.2
余弦定理
1、在中，分别是角的对边,若,且，则的值为(
)
A.2
B.
C.
D.4
2、在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
3、在中，若，则的面积为（
）
A．
B．1
C．
D．2
4、在中,角所对的边分别为若,的面积为,,则(
)
A.
B.
C.或
D.或3
5、中角的对边分别是,已知?,则
(???)
A.
B.
C.
D.
6、在中,若,,,则
（
）
A.
B.
C.
D.
7、在中,
边上的高等于,则
(??
)
A.
B.
C.
D.
8、在中,
,边上的高等于,则
(???)
A.
B.
C.
D.
9、的内角的对边分别为.已知,,且,则(
)
A.
B.
C.
D.
10、在中,角所对的边分别为,若,则(
)
A.
B.
C.
D.
11、在中，内角的对边分别是，且满足，，，则的值为
.
12、在中，，则=__________，的面积为__________.
13、在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足，若，则的面积的最大值是__________.
14、在中，角所对的边分别为满足，，且，则的周长为
.
15、在中,角的对边是,且
(1)求角B的大小
(2)若,求的面积
答案以及解析
1答案及解析：
答案：A
解析：中,由,利用正弦定理得，
∴,故.
由余弦定理得,即，
又,所以,求得
2答案及解析：
答案：B
解析：由余弦定理及可得，，
即，得，整理得.
，，得.
由正弦定理得，又，，整理得.
易知在锐角三角形中，
，，
且.
，
，
，
当且仅当时等号成立故选B.
3答案及解析：
答案：C
解析：∵中,
,即，
∴，
∴，
∵，
∴
4答案及解析：
答案：D
解析：因为,所以
又的面积为,所以,得
又,所以,所以,所以根据余弦定理得或,故选D
5答案及解析：
答案：C
解析：因为
,
所以由余弦定理得:
,
又因为,
所以,
因为,
所以,因
为,
所以,故选C.
6答案及解析：
答案：A
解析：设中,角的对边分别为,则,,,由余弦定理得,解得,即.
7答案及解析：
答案：C
解析：设BC边上的高线为AD，则BC=3AD，所以，.由余弦定理，知
8答案及解析：
答案：D
解析：设,则高
在中,
在中,由余弦定理得
由正弦定理得
故选D
9答案及解析：
答案：D
解析：∵在中,,
∴,
∴,
∴,
解得或.
∵,∴.
10答案及解析：
答案：C
解析：由余弦定理得
,
所以,
因为,所以.
11答案及解析：
答案：3
解析：由正弦定理，得，即.
又因为，所以，即，所以.
由余弦定理，得.
又，所以.又，所以.
12答案及解析：
答案：
解析：（1）中，，
由余弦定理得，
.
（2）如图，作于点D,
设,
∵,
∴，
∵,
∴,
∴,
解得，
∴,
∴,
.∴
13答案及解析：
答案：
解析：∵，
∴，
∴.
∴.
∵,∴.
∵,由余弦定理可得：,(当且仅当,不等式等号成立).
∴.
∴
14答案及解析：
答案：
解析：，由余弦定理得.
又，，(b为边长，故).
，，，解得或(舍去)，
，，的周长为.
15答案及解析：
答案：(1)由题及余弦定理得,
整理得
(2)由知,a不是最大边,A是锐角
由得
解析：
PAGE9.2
正弦定理与余弦定理的应用
1、在中,内角满足,则的形状为(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
2、在中,角所对的边分别为,若,则为(
)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
3、为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求,的长度大于1米,且比长0.5米,为了稳固广告牌,要求越短越好,则最短为(
)
A.米
B.2米
C.米
D.米
4、在中,
,则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5、在中，角A，B，C的对边分别为若则（
）
A．
B．
C．
D．
6、如图,在山脚A处测得该山峰仰角为θ,对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍,继续在平行地面上前进后,测得山峰的仰角为原来的4倍,则该山峰的高度为(
)
A.
B.
C.
D.
7、某船开始看见灯塔A时,灯塔A在船南偏东方向,后来船沿南偏东的方向航行后,看见灯塔A在船正西方向,则这时船与灯塔A的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
8、如图,测量员在水平线上点B处测得一塔的塔顶仰角为,当他前进到达点C处时,测得塔顶仰角为,则塔高为(
)
A.
B.
C.
D.
9、两灯塔与海洋观察站C的距离都等于,灯塔A在C北偏东,B在C南偏东,则之间的距离的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
10、在某次户外活动中,同学们在湖边上看见了一座塔,为了估算塔高,某同学在塔的正东方向选择某点A处观察塔顶,其仰角约为,然后沿南偏西方向走了大约到达B处,在B处观察塔顶其仰角约为,由此可以估算出塔的高度为(
)
A.
B.
C.
D.
11、在中,分别为的对边,,则的形状为_________.
12、的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，有下列结论：
①；
②；
③，时，面积为；
④当时，为钝角三角形.
其中正确的是________________（填写所有正确结论的编号）
13、已知船在灯塔北偏东80°处,且到的距离为船在灯塔北偏西40°处,
,两船的距离为,则到的距离为__________.
14、如图,分别表示甲、乙两楼,,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角,测得乙楼底部D处的俯角,已知甲楼高,则乙楼高__________m.
15、如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，地面观测点A、B两地相距100米，，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为，A地测得最高点H的仰角为.(声音的传播速度为340米/秒)
（1）设AC两地的距离为x米，求x；
（2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(结果保留根式）
答案以及解析
1答案及解析：
答案：B
解析：∵,
∴,
∴,
∴,∴,
∴的形状是等腰三角形.故选B.
2答案及解析：
答案：A
解析：由正弦定理可得,得.
∵,∴,整理得,得B为钝角,
∴为钝角三角形.
3答案及解析：
答案：D
解析：设的长度为x米，的长度为y米.则的长度为米，在中，由余弦定理，得，化简得.因为，所以,因此。
当且仅当时取等号，即时，y取得最小值,因此.最短为米.
4答案及解析：
答案：C
解析：根据正弦定理可将已知化为，即，根据余弦定理有，根据余弦函数性质可知.
5答案及解析：
答案：A
解析：原式=
=
=
=
6答案及解析：
答案：B
解析：依题意可知,
,
∴,
∴,则,
∴.
7答案及解析：
答案：D
解析：设船开始的位置为B,
船行后处于C,如图所示,
可得,
∴.
在中,利用正弦定理可得
,
∴.
故选D.
8答案及解析：
答案：C
解析：设塔高为,则,.
因为,所以,所以.
故选C.
9答案及解析：
答案：A
解析：如图,连接,在中,,,所以.
10答案及解析：
答案：C
解析：根据题意,建立数学模型,如图所示,
其中,.
设塔的高度为,
则,,
在中,由余弦定理
,
得,
化简得,
即,
解得,
即塔的高度为.故选C.
11答案及解析：
答案：等腰三角形
解析：∵,∴.
∵,
∴,
化简整理得.
∴为等腰三角形.
12答案及解析：
答案：①②④
解析：，∴，
故可设，，，.，∴，则，当时，，故为钝角三角形.
面，
又，∴.
，∴，即，∴.当，时，的面积为，故四个结论中，只有③不正确.填①②④。
13答案及解析：
答案：
解析：如图,由题意可得,.
设则由余弦定理可得:,
即,整理得解得.
14答案及解析：
答案：32
解析：如图,,垂足为E,则,
.
在中,,
所以.
15答案及解析：
答案：（1）由题意，设，则，
在内，由余弦定理：，
即
解得．
（2）在中，，，
，
由正弦定理：,可得
答：该仪器直弹射高度CH为米
解析：
PAGE
