第三节
动能和动能定理
1．(多选)(2020·山东省临朐一中高一下学期月考)关于动能的理解，下列说法正确的是( AC )
A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能
B．公式Ek＝mv2中，v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
解析：A对：动能是物体由于运动而具有的能。B错：公式Ek＝mv2中的v是物体相对于参考系的速度，但参考系不一定是地面。C对，D错：速度是矢量，若只有运动方向变化，则动能不变化，此时物体处于非平衡状态。
2．(2020·山东省诸城一中高一下学期期中)2018年2月22日平昌冬奥会短道速滑接力赛，中国男队获得亚军。观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，
并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲，甲获得更大的速度向前冲出。在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则( B )
A．甲对乙的作用力与乙对甲的作用力相同
B．乙对甲的作用力一定做正功，甲的动能增大
C．甲对乙的作用力可能不做功，乙的动能可能不变
D．甲的动能增加量一定等于乙的动能减少量
解析：甲、乙间的相互作用力大小相等方向相反，A错；根据动能定理可判B正确，C、D错误。
3．(2020·四川省成都七中高一下学期检测)如图所示为一滑梯的实物图，滑梯的斜面段长度L＝5.0
m，高度h＝3.0
m，为保证小朋友的安全，在水平面铺设安全地垫。水平段与斜面段平滑连接，小朋友在连接处速度大小不变。某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上。已知小朋友质量为m＝20
kg，小朋友在斜面上受到的平均阻力f1＝88
N，在水平段受到的平均阻力f2＝100
N。不计空气阻力，取重力加速度g＝10
m/s2。求：
(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功；
(2)小朋友滑到斜面底端时的速度v的大小；
(3)为使小朋友不滑出水平地垫，地垫的长度x至少多长。
答案：(1)440
J (2)4
m/s 1.6
m
解析：(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功为：Wf1＝f1L＝88×5
J＝440
J
(2)小朋友在斜面上运动的过程，由动能定理得：
mgh－Wf1＝mv2
代入数据解得：v＝4
m/s
(3)小朋友在水平地垫上运动的过程，由动能定理得：
－f2x＝0－mv2
代入数据解得：x＝1.6
m。
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2
-第三节 动能和动能定理
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．知道动能的定义和表达式。
2．理解动能定理的含义，会推导动能定理。
3．能用动能定理进行相关分析和计算。
【思维脉络】
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1 动能
1．定义：物体由于__运动__而具有的能叫动能。
2．表达式：Ek＝__mv2__
3．单位：与功的单位相同，国际单位__焦耳(J)__
1
kg·m2/s2＝1
N·m＝1
J
4．标矢性
动能是__标量__，只有大小，并且是状态量。
知识点
2 动能定理
如图所示，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。
1．推导过程：
2．内容：力在一个过程中对物体做的__功__，等于物体在这个过程中__动能的变化__。
3．适用范围：
既适用于__恒力__做功，又适用于__变力__做功，既适用于__直线__运动，又适用于__曲线__运动。
预习自测
『判一判』
(1)动能是状态量，是标量，只有正值，动能与速度方向无关。(√)
(2)由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性。(√)
(3)动能定理既适用于直线运动和曲线运动，也适用于恒力和变力做功。(√)
(4)如果物体所受的合外力为零，那么，物体动能的变化量一定为零。(√)
(5)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化。(×)
『选一选』
如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定( A )
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
解析：A对、B错：由题意知，W拉－W阻＝ΔEk，则W拉＞ΔEk；C、D错：W阻与ΔEk的大小关系不确定。
『想一想』
如图所示是古代战争中攻击城门的战车，战车上装有一根质量很大的圆木，有很多士兵推着战车使圆木以很大的速度撞击城门，轻而易举地将城门撞破。圆木的质量很大，速度很大时，是为了增加圆木的什么能？
解析：动能。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
对动能、动能定理的理解
┃┃情境导入■
如图所示，让钢球从斜面上由静止滚下，打到一个小木块上，能将木块撞出一段距离。提高小球的初始高度h，小球滚下撞击木块的速度变大，木块就会被撞的远些，说明功与速度变化有着密切联系。请思考：
功与速度变化(动能)有什么关系？
提示：合外力所做的功等于物体动能的增量。
┃┃要点提炼■
1．动能的“四性”
(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(2)状态性：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
(3)标量性：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。
(4)瞬时性：动能具有瞬时性，与某一时刻或某一位置的速率相对应。
2．对动能定理的理解
(1)表达式的理解
①公式W＝Ek2－Ek1中W是合外力做的功，不是某个力做的功，W可能是正功，也可能是负功。
②Ek2、Ek1分别是末动能和初动能，Ek2可能大于Ek1，也可能小于Ek1。
(2)W的求法
动能定理中的W表示的是合外力的功，可以应用W＝F合·lcosα(仅适用于恒定的合外力)计算，还可以先求各个力的功再求其代数和，W＝W1＋W2＋…＋Wn。
(3)动能定理公式中等号的意义
①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。
②单位相同：国际单位都是焦耳。
③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
(4)适用范围
动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用。
特别提醒
(1)动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能，而是意味着“功引起物体动能的变化”，即物体动能的变化是通过外力做功的过程来实现的。
(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
┃┃典例剖析■
典题1 (多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是( CD )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝mv－mv，其中WN为支持力的功
B．对电梯，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝mv－mv
D．对电梯，其所受合力做功为Mv－Mv
思路引导：(1)应用动能定理时，要进行受力分析，分析在这个过程中有哪些力做功，注意区分功的正负。
(2)应用动能定理时要注意选取的研究对象和对应过程，合力做的功和动能增量一定是对应同一研究对象的同一过程。
解析：电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力N，这两个力做的总功才等于物体动能的增量ΔEk＝mv－mv，故A错误，C正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故B错误，D正确。
┃┃对点训练■
1．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( C )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
解析：力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误。物体合外力做功，它的动能一定变化，速度也一定变化，C正确。物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。
探究?
动能定理的应用
┃┃情境导入■
如图所示，质量为m的小球以初速度v0从山坡底部A处恰好冲上高为h的坡顶B，请思考：
(1)小球运动中哪些力做了功？
(2)如何求得小球克服阻力做的功？
提示：(1)小球受的重力和阻力都对小球做了负功，支持力不做功；(2)根据动能定理－mgh－Wf＝0－mv，可求得小球克服阻力做的功。
┃┃要点提炼■
1．应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
―→―→―→―→
(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解。
2．动能定理与牛顿定律解题的比较
牛顿定律
动能定理
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
适用条件
只能研究恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
两种思路对比可看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错。
特别提醒
(1)动能定理的研究对象是单一物体，或者是可以看作单一物体的物体系统。
(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式。当题目涉及位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速度问题时也要优先考虑动能定理。
(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑也可整个过程考虑。但求功时，有些力不是全过程都做功，必须根据不同的情况分别对待求出总功。
┃┃典例剖析■
典题2 如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。质量m＝2.0×103kg的汽车沿下坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数v1＝36
km/h，汽车继续沿下坡匀加速直行l＝350
m、下降高度h＝50
m时到达“避险车道”，此时速度表示数v2＝72
km/h。(g取10
m/s2)
(1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量；
(2)求汽车在下坡过程中所受的阻力；
(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路上的3倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移(sin
17°≈0.3)。
思路引导：(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，在本题第(2)问中求阻力，用动能定理要比用牛顿运动定律解决起来更简便。
(2)本题中涉及了临界问题，求最大位移，也就是找到末速度为零的状态。
解析：(1)由ΔEk＝mv－mv
得ΔEk＝3.0×105J。
(2)由动能定理mgh－Ffl＝mv－mv
得Ff＝＝2.0×103N。
(3)设汽车在“避险车道”上运动的最大位移是x，由动能定理－(mgsin
17°＋3Ff)x＝0－mv得x＝≈33.3
m。
答案：(1)3.0×105
J (2)2.0×103N (3)33.3
m
┃┃对点训练■
2．(2020·浙江温州九校高一下学期期中)如图，小飞用手托着质量为m的“地球仪”，从静止开始沿水平方向运动，前进距离L后，速度为v(地球仪与手始终相对静止，空气阻力不可忽略)，地球仪与手掌之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是( C )
A．手对地球仪的作用力方向竖直向上
B．地球仪所受摩擦力大小为μmg
C．手对地球仪做的功等于mv2/2
D．地球仪对手做正功
解析：经受力分析知，手对地球仪的作用力斜向前上方，A错；地球仪所受摩擦力f＝ma，B错；由动能定理Wf＝mv2，C对；地球仪对手做负功，D错。
核心素养提升
以题说法·启智培优
易错点：位移、速度不相对于同一参考系
案例 子弹以某速度击中静止在光滑水平面上的木块，当子弹进入木块的深度为x时，木块相对水平面移动的距离为，求木块获得的动能ΔEk1和子弹损失的动能ΔEk2之比。
易错分析：本题对子弹用动能定理列方程时易错列为：－fx＝Ek末－Ek初，从而导致错解为。
错误原因是对子弹和木块选用了不同参考系，动能定理中，速度和位移都具有相对性，应选用同一参考系。
正确解答：对子弹：
－f(x＋)＝Ek末－Ek初＝－ΔEk2，
对木块：f·＝ΔEk1，所以＝＝。
素养警示
子弹和木块所受水平作用力f(相互摩擦力)大小相等，可认为是恒力。但二者的位移大小不同，做功不同。运用动能定理分别研究子弹和木块，求出各自的动能变化。
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-第三节
动能和动能定理
一、选择题(本题共8小题，每题6分，共48分)
1．在水平路面上，有一辆以36
km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4
kg的行李以相对客车5
m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则以地面为参考系行李的动能和以客车为参考系行李的动能分别是( B )
A．200
J 50
J
B．450
J 50
J
C．50
J 50
J
D．450
J 450
J
解析：行李相对地面的速度v＝v车＋v相对＝15
m/s，所以行李的动能Ek＝mv2＝450
J。
行李相对客车的速度v′＝5
m/s，
所以行李的动能Ek′＝mv′2＝50
J
2．如图所示，两个质量相同的物体a和b处于同一高度，a自由下落，b沿固定光滑斜面由静止开始下滑，不计空气阻力。两物体到达地面时，下列表述正确的是( C )
A．a的速率大
B．b的速率大
C．动能相同
D．速度方向相同
解析：根据动能定理有：mgh＝mv2－0知：高度相同，所以末动能相等，速度的大小相等，但方向不同。故本题选C。
3．某同学用200
N的力将质量为0.44
kg的足球踢出，足球以10
m/s的初速度沿水平草坪滚出60
m后静止，则足球在水平草坪上滚动过程中克服阻力做的功是( B )
A．4.4
J
B．22
J
C．132
J
D．12
000
J
解析：根据动能定理，W＝mv2＝×0.44×102
J＝22
J。
4．如图所示，一物体以6
J的初动能从A点沿AB圆弧下滑，滑到B点时动能仍为6
J，若物体以8
J的初动能从A点沿同一路线滑到B点，则物体到B点时的动能是( A )
A．小于8
J
B．等于8
J
C．大于8
J
D．不能确定
解析：当物体以6J的初动能从A点沿AB圆弧下滑，滑到B点时动能仍为6
J，根据动能定理有：WG＋Wf＝0，当以8
J的初动能从A点下滑时，由于物体沿圆弧下滑，指向圆心的合力提供向心力，由于速度变大，圆弧轨道给物体的弹力变大，根据滑动摩擦力大小的计算式：f＝μFN，可得物体受到的摩擦力增大，在从A到B的过程中，物体通过的圆弧长度不变，所以物体在从A到B的过程中，克服摩擦力做功增大，重力做功不变，所以到达B点时动能小于8
J，故A正确，BCD错误。
5．如图所示，某人骑自行车下坡，坡长l＝500
m，坡高h＝8
m，人和车总质量为100
kg，下坡时初速度为4
m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10
m/s，g取10
m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( B )
A．－4
000
J
B．－3
800
J
C．－5
000
J
D．－4
200
J
解析：由动能定理有
mgh＋Wf＝m(v－v)，解得：
Wf＝－mgh＋m(v－v)＝－3
800
J，故B正确。
6．帆船即利用风力前进的船。帆船起源于荷兰，古代的荷兰地势很低，所以开凿了很多运河，人们普遍使用小帆船运输或捕鱼，到了13世纪，威尼斯开始定期举行帆船运动比赛，当时比赛船只没有统一的规格和级别，1900年第2届奥运会将帆船运动开始列为比赛项目；在某次帆船运动比赛中，质量为500
kg的帆船，在风力和水的阻力共同作用下做直线运动的v－t图像如图所示。下列表述正确的是( A )
A．在0～1
s内，合外力对帆船做了1
000
J的功
B．在0～2
s内，合外力对帆船做了250
J的负功
C．在1～2
s内，合外力对帆船不做功
D．在0～3
s内，合外力始终对帆船做正功
解析：在0～1
s内，帆船的速度增大，动能增加，根据动能定理W合＝ΔEk，得：W合＝mv2－0＝×500×22J＝1
000
J，即合外力对帆船做了1
000
J的功，故A正确；在0～2
s内，动能增加，根据动能定理W合＝ΔEk，得：W合′＝mv′2－0＝×500×12J＝250
J，即合外力对帆船做了250
J的正功，故B错误；在1～2
s内，动能减小，根据动能定理W合＝ΔEk，则合外力对帆船做负功，故C错误；在0～3
s内，根据动能定理W合＝ΔEk，合外力对帆船先做正功，后做负功，故D错误。
7．(多选)(2019·上海市风华中学高一下学期期中)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB的水平距离为s。下列说法正确的是( AB )
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是Fs－mgh
D．小车克服阻力做的功是mv2＋mgh－Fs
解析：阻力为变力，设克服阻力做的功为Wf，由动能定理可得Fs－mgh－Wf＝mv2－0，得Wf＝Fs－mgh－mv2，故D错误；推力对小车做的功为Fs，故C错；由动能定理可知，B正确；克服重力做功为mgh，A也正确，故正确答案为A、B。
8．(多选)在光滑的水平面上，质量为m的小滑块停放在质量为M、长度为L的静止的长木板的最右端，滑块和木板之间的动摩擦因数为μ.现用一个大小为F的恒力作用在M上，当小滑块滑到木板的最左端时，滑块和木板的速度大小分别为v1、v2(v1≠v2)，滑块和木板相对于地面的位移大小分别为s1、s2，下列关系式正确的是( ABD )
A．μmgs1＝mv
B.
Fs2－μmgs2＝Mv
C．μmgL＝mv
D．Fs2－μmgs2＋μmgs1＝Mv＋mv
解析：对m由动能定理得：μmgs1＝mv，故A正确C错误；对M由动能定理得：Fs2－μmgs2＝Mv，故B正确；由以上两式整理得Fs2－μmgs2＋μmgs1＝Mv＋mv，故D正确。
二、非选择题
9．(12分)冰壶场地如图所示，假设质量为m的冰壶在运动员的操控下，先从起滑架A点由静止开始加速启动，经过投掷线B时释放，以后匀减速自由滑行刚好能滑至营垒中心O停下。已知A、B相距L1，B、O相距L2，冰壶与冰面各处的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g。求：
(1)冰壶运动的最大速度vmax；
(2)在AB段，运动员水平推冰壶做的功W。
解析：(1)由题意知，在B点冰壶有最大速度，设为vmax，在BO段运用动能定理有－μmgL2＝0－mv，
解得vmax＝。
(2)全过程运用动能定理。对AO过程：
W－μmg(L1＋L2)＝0，
解得W＝μmg(L1＋L2)。
一、选择题(本题共3小题，每题8分，共24分)
1．如图所示，篮球从手中①位置投出后落到篮筐上方③位置，空中到达的最高点为②位置(空气阻力不能忽略)，则
( D )
A．②位置篮球动能等于0
B．①位置到③位置过程只有重力做功
C．①位置到②位置的过程，篮球的动能全部转化为重力势能
D．②位置到③位置过程，篮球动能的变化量等于合力做的功
解析：②位置速度不为零，故A错；①→②→③过程重力和阻力做功，由Wf＋WG＝ΔEk可知，选项D正确，B、C错误。
2．如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC为水平的，其距离d＝0.50
m，盆边缘的高度h＝0.30
m，在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止出发下滑，已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10，小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停下的地点到B的距离为( D )
A．0.50
m
B．0.25
m
C．0.10
m
D．0
解析：分析小物块的运动过程，可知由于克服摩擦力做功，物块的机械能不断减小。设物块在BC上运动的总路程为l。根据动能定理得mgh－μmgl＝0，解得l＝＝
m＝3
m＝6d，即小物块正好停在B点，所以D选项正确。
3．(多选)如图所示为一滑草场。某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ。质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。则( AB )
A．动摩擦因数μ＝
B．载人滑草车最大速度为
C．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g
解析：由题意根据动能定理得，2mgh－Wf＝0，即2mgh－μmgcos45°·－μmgcos37°·＝0，得动摩擦因数μ＝，故A项正确；载人滑草车克服摩擦力做的功为Wf＝2mgh，故C项错误；载人滑草车在上下两段的加速度分别为a1＝g(sin45°－μcos45°)＝g，a2＝g(sin37°－μcos37°)＝
－g，则载人滑草车在上下两段滑道上分别做加速运动和减速运动，则在上段底端时达到最大速度v，由运动学公式有2a1＝v2得，v＝＝，故B项正确，D项错误。
二、非选择题
4．(16分)如图所示，小滑块从高为h的斜面上的A点，由静止开始滑下，经B点在水平面上滑到C点而停止，现在要使小滑块由C点沿原路径回到A点时速度为0，那么必须给小滑块以多大的初速度？(设小滑块经过B点时无能量损失，重力加速度为g)
解析：由动能定理可知小滑块从A点开始下滑到C点静止的过程中有W重－W阻＝0，所以W阻＝W重＝mgh。
当小滑块沿原路径返回时，由动能定理得
－W重－W阻＝0－mv，
所以mv＝2W重＝2mgh，
解得vC＝＝2。
即要使小滑块从C点沿原路径返回到A点速度为0，必须给小滑块以2的初速度。
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