第四节
机械能守恒定律
1．(2020·浙江省温州市诸暨中学高一下学期期中)关于以下四幅图，下列说法中正确的是( C )
A．图1中“蛟龙号”被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图2中火车在匀速转弯时动能不变，故所受合外力为零
C．图3中握力器在手的压力作用下弹性势能增加了
D．图4中撑杆跳高运动员在上升过程中机械能守恒
解析：图1中“蛟龙号”被吊车吊下水的过程，钢绳对它做负功，所以机械能不守恒，故A错误；图2中火车在匀速转弯时做匀速圆周运动，所受的合外力指向圆心且不为零，故B错误；图3中握力器在手的压力下形变增大，所以弹性势能增大，C正确；图4中撑杆跳高运动员在上升过程中撑杆的弹性势能转化为运动员的机械能，所以运动员的机械能不守恒，故D错误。
2．(2020·山东省济南外国语学校高一下学期月考)如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物体运动到C点时，弹簧的弹性势能是( B )
A．mgh－mv2
B．mv2－mgh
C．mgh
D．mgh＋mv2
解析：由A到C的过程运用机械能守恒定律得：
mgh＋Ep＝mv2
所以Ep＝mv2－mgh，故选B。
3．(2020·浙江省金华市云富高中高一学业水平段考)如图甲所示为商场内的螺旋滑梯，小孩从顶端A处进入，由静止开始沿滑梯自然下滑(如图乙)，并从底端B处滑出。已知滑梯总长度L＝20
m，A、B
间的高度差
h＝12
m，g＝10
m/s2。
(1)假设滑梯光滑，则小孩从B处滑出时的速度v1多大？
(2)若有人建议将该螺旋滑梯改建为倾斜直线滑梯，并保持高度差与总长度不变。已知小孩与滑梯间的动摩擦因数
μ＝0.25，若小孩仍从顶端由静止自然下滑，则从底端滑出时的速度v2多大？
(3)若小孩与滑梯间的动摩擦因数仍为0.25，你认为小孩从螺旋滑梯底端B处滑出的速度v3与(2)问中倾斜直线滑梯滑出的速度v2哪个更大？试简要说明理由。
答案：(1)4
m/s
(2)4
m/s
(3)v2更大
解析：(1)由机械能守恒可得：mgh＝mv
解得：v1＝＝4
m/s
(2)由动能定理可得：WG＋Wf＝mv
mgh－μmg·L＝mv
解得：v2＝4m/s
(3)v2更大，根据WG＋Wf′＝mv，
与直线下滑相比，重力做功相等，沿螺旋滑梯下滑时，小孩受到的弹力更大(或需要向心力)，受到的滑动摩擦力更大，滑动摩擦力做的负功更多，v3更小。
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-第四节 机械能守恒定律
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．知道机械能的概念。
2．理解机械能守恒定律的内容和守恒条件。
3．能用机械能守恒定律分析生活和生产中的有关问题。
【思维脉络】
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1 追寻守恒量、动能与势能的相互转化
1．追寻守恒量：伽利略的斜面实验中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的__高度__，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是__不变__的。
2．重力势能可以与__动能__相互转化。
3．弹性势能可以与__动能__相互转化。
4．机械能：
(1)重力势能、__弹性__势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为__机械能__。
(2)机械能可以从一种形式__转化__成另一种形式。
知识点
2 机械能守恒定律
1．推导：
如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功。由动能定理可得：W＝mv－mv，又W＝__mgh1－mgh2__
可得：mgh1－mgh2＝mv－mv，
移项后得：mv＋mgh2＝mv＋mgh1，即物体末状态动能与势能之和__等于__物体初状态动能与势能之和。
(2)内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以__互相转化__，而总的机械能__保持不变__。
(3)守恒条件
物体系统中只有__重力__或__弹力__做功。
预习自测
『判一判』
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。(√)
(2)弹性势能可以通过弹力做功转化为物体的动能。(√)
(3)物体的机械能一定是正值。(×)
(4)合力为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(5)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(6)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。(√)
『选一选』
如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是( D )
解析：人上楼、跳绳过程中机械能不守恒，从能量转化角度看都是消耗人体的化学能；水滴石穿，水滴的机械能减少的部分转变为内能；弓箭射出过程中是弹性势能与动能、重力势能的相互转化，只有重力和弹力做功，机械能守恒。
『想一想』
下图是上海“明珠线”某车站的设计方案。由于站台建得稍高，电车进站时要上坡，出站时要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析这种设计的优点吗？
答案：这样设计的主要优点在于节约电能。
解析：电车进站前虽关闭了电动机，但仍具有动能，可使电车爬上斜坡，这是将动能转化为势能储存。出站时，电车可利用斜坡再将势能转化成动能。可见，这种设计方案可以节约电能。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
对机械能守恒定律的理解
┃┃情境导入■
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。
(1)过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒吗？
提示：(1)过山车受重力，轨道支持力、摩擦力和空气阻力；重力做正功，轨道支持力不做功，摩擦力和空气阻力做负功。
(2)过山车下滑时，势能减少动能增加，两种能的和减少。
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒。
┃┃要点提炼■
1．对机械能的理解
(1)机械能是一个状态量，机械运动的物体在某一位置时，具有确定的速度，也就有确定的动能和势能，即具有确定的机械能。
(2)机械能是一个相对量，其大小与参考系、零势能面有关。
(3)机械能是标量，是系统所具有的。
2．对机械能守恒的理解
(1)机械能守恒的判断
①对单个物体而言：其机械能是否守恒一般通过做功来判定。分析除重力，弹簧弹力外，有无其他力做功，若无其他力做功，则其机械能守恒；若有其他力做功，且不为零，则其机械能必不守恒。
②对几个物体组成的系统而言：其机械能是否守恒一般通过能量转化来判定。分析除重力势能、弹性势能和动能外，有无其他形式的能参与转化。若无其他形式的能参与转化，则系统机械能守恒；若有其他形式的能参与转化，则系统机械能必不守恒。
(2)守恒条件的理解
①只受重力(或弹簧弹力)作用，如做抛体运动的物体。
②除重力(或弹簧弹力)外，还受其他力的作用，但其他力不做功。
③除重力(或弹簧弹力)外，受到其他力的作用，但其他力做功的代数和为零。
特别提醒
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能总量总保持不变。
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
┃┃典例剖析■
典题1 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( CD )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计滑轮质量和任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
思路引导：解答本题时应注意以下三个方面：
(1)机械能守恒时力做功的特点；
(2)机械能守恒的研究对象；
(3)机械能守恒中能量转化特点。
解析：甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错。乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错。
丙图中A、B组成的系统只有重力做功，动能和势能相互转化，总的机械能守恒，C对。丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。
┃┃对点训练■
1．(多选)下列几种情况，系统的机械能守恒的是( AC )
A．一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动[图(a)]
B．运动员在蹦床上越跳越高[图(b)]
C．图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连，小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图(c)中如果小车振动时，木块相对小车有滑动
解析：A选项弹丸只受重力与支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒。B选项中运动员做功，其机械能越来越大，C选项中只有弹力做功，机械能守恒。D选项中有滑动摩擦力做功，所以机械能不守恒。
探究?
机械能守恒定律的应用
┃┃情境导入■
如图，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，请思考：
(1)谁先到达B处；
(2)到达B处时谁的速度大。
提示：(1)甲先到达B处
(2)甲、乙到达B处时速度大小相等。
┃┃要点提炼■
1．机械能守恒的表达式及其意义：
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律解题的步骤
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
两大规律比较内容
机械能守恒定律
动能定理
应用范围
只有重力和弹力做功时
无条件限制
物理意义
其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度
合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度
守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小
动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)
说明
－ΔEp＝ΔEk等号右边表示动能增量时，左边表示势能的减少量，“mgh”表示重力势能(或重力势能的变化)
W＝mv－mv等号左边是合外力的功，右边是动能的增量，“mgh”表示重力的功
特别提醒
(1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。
┃┃典例剖析■
典题2 如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B端在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力的9倍。求：
(1)释放点距A的竖直高度；
(2)落点C与A的水平距离。
思路引导：根据机械能守恒定律、竖直平面内的圆周运动和平抛运动规律，综合分析求解。
答案：(1)3R (2)(2－1)R
解析：(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有
9mg－mg＝m
又由机械能守恒定律得
mg(h＋R)＝mv
所以h＝3R
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为s
由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg2R
由平抛运动规律得R＝gt2
R＋s＝v2t
由此可解得s＝(2－1)R
┃┃对点训练■
2．2018年冬季奥林匹克运动会跳台滑雪比赛在韩国平昌举行。图为一跳台的示意图。假设运动员从雪道的最高台A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10
m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，取g＝10
m/s2)
答案：4
m/s 2
m/s
解析：运动员在滑雪过程中只有重力做功，故运动员在滑雪过程中机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面。由题意知A点到B点的高度差h1＝4
m，B点到C点的高度差h2＝10
m，从A点到B点的过程由机械能守恒定律得mv＝mgh1，
故vB＝＝4m/s；
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
mv＝－mgh2＋mv，
故vC＝＝2
m/s。
核心素养提升
以题说法·启智培优
易错点：没从系统性的角度分析机械能是否守恒
案例 木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起摆到一定高度，如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是
( D )
A．子弹的机械能守恒
B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块的总机械能守恒
D．以上说法都不对
易错分析：易错选C。误认为子弹和木块组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，其实在子弹射入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒。
正确解答：子弹射入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒，子弹的机械能不守恒，木块的机械能不守恒。
素养警示
研究机械能守恒一定要先明确要研究的系统，然后根据守恒条件认真分析判断。
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-第四节
机械能守恒定律
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．下列各种运动过程中，物体机械能守恒的是(忽略空气阻力)( D )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一个物体，双手拉着细线慢慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
解析：将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对箭做功，故机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一物体，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能增大，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，故机械能守恒，故D正确；故选D。
2．如图，质量为m的苹果，从离地面H高的树上由静止开始落下，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，则当苹果落到坑底时的机械能为( B )
A．－mgh
B．mgH
C．mg(H＋h)
D．mg(H－h)
解析：苹果下落过程机械能守恒，开始下落时其机械能为E＝mgH，落到坑底时机械能仍为mgH。
3．为了方便打开核桃、夏威夷果等坚果，有人发明了一款弹簧坚果开核器，它是由锥形弹簧、固定在弹簧顶部的硬质小球及放置坚果的果垫组成。如图所示，是演示打开核桃的三个步骤。则下列说法正确的是( C )
A．弹簧被向上拉伸的过程中，弹簧的弹性势能减小
B．松手后，小球向下运动过程中，小球的机械能守恒
C．小球向下运动过程中，弹簧对小球做正功
D．打击过程中，果垫对核桃做负功
解析：弹簧被向上拉伸过程中，弹簧的形变量增大，故弹簧的弹性势能增大，故A错误；松手后，小球向下运动过程中，由于弹簧弹力做功，故小球的机械能不守恒，故B错误；小球向下运动过程中，弹力向下，故弹簧对小球做正功，故C正确；在打击过程中，核桃对果垫的作用力方向上没有发生位移，故果垫核桃对树不做功，故D错误。
4．(2020·天津二中高一下学期检测)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项错误的是( A )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
解析：若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，所以A选项错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，因而B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv＋mgh
，C选项正确；在地面处的机械能为mv，因此在海平面上的机械能也为mv，D选项正确。
5．如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使L/2长部分垂在桌面下，(桌面高度大于链条长度)，现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时的动能为( D )
A．0
B．mgL
C．mgL
D．mgL
解析：取桌面下为零势能面，根据机械能守恒定律得Ek＝·＋·＝mgL，故选D。
6．如图所示，倾角30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量m的小球从斜面上高为R/2处静止释放，到达水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积，不计摩擦和机械能损失。则小球沿挡板运动时对挡板的作用力是( B )
A．0.5mg
B．mg
C．1.5mg
D．2mg
解析：由机械能守恒定律知，mg＝mv2，又F＝m得F＝mg，选项B正确。
二、非选择题
7．(11分)质量为25
kg的小孩坐在秋千上，小孩重心离拴绳子的横梁2.5
m，如果秋千摆到最高点时，绳子与竖直方向的夹角是60°，秋千板摆到最低点时，忽略手与绳间的作用力，求小孩对秋千板的压力大小。(不计空气阻力，g取10m/s2)
答案：500
N
解析：秋千摆到最低点过程中，只有重力做功，机械能守恒，则：mgl(1－cos60°)＝mv2①
在最低点时，设秋千对小孩的支持力为FN，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m②
解得：FN＝2mg＝2×25×10
N＝500
N，
由牛顿第三定律得小孩对秋千板的压力为500
N。
8．(13分)如图所示，弯曲斜面与半径为R的竖直半圆组成光滑轨道，一个质量为m的小球从高度为4R的A点由静止释放，经过半圆的最高点D后做平抛运动落在水平面的E点，忽略空气阻力(重力加速度为g)，求：
(1)小球在D点时的速度vD；
(2)小球落地点E离半圆轨道最低点B的距离x；
(3)小球经过半圆轨道的C点(C点与圆心O在同一水平面)时对轨道的压力大小。
答案：(1)2 (2)4R (3)6mg
解析：(1)小球从A到D，根据机械能守恒定律可得：
mg(4R－2R)＝mv整理可以得到：vD＝2。
(2)小球离开D点后做平抛运动，根据平抛运动规律可以得到：
水平方向有：x＝vDt
竖直方向有：2R＝gt2
整理可以得到：x＝4R。
(3)从A到C，根据机械能守恒定律得：
mg(4R－R)＝mv。
在C点，设轨道对小球的支持力为N，根据牛顿第二定律：
N＝m
整理可以得到：N＝6mg。
由牛顿第三定律可知，小球经过半圆轨道的C点时对轨道的压力为6mg。
一、选择题(本题共3小题，每题8分，共24分)
1．一小球以一定的初速度从图示位置进入竖直光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( C )
A．2mg
B．3mg
C．4mg
D．5mg
解析：小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，C项正确。
2．如图所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，A物体自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上。若以地面为零势能面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面高度是( B )
A．H/5
B．2H/5
C．4H/5
D．H/3
解析：A、B组成的系统机械能守恒，设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v
则有：mAgh＝mAv2，可得v2＝2gh
从开始到距地面的高度为h的过程中，减少的重力势能为：ΔEP＝mAg(H－h)＝2mBg(H－h)
增加的动能为：ΔEK＝(mA＋mB)v2＝(3mB)2gh＝3mBgh，由ΔEP＝ΔEK得h＝H。
3．(多选)如图甲所示，一个小环套在竖直放置的光滑圆形轨道上做圆周运动。小环从最高点A滑到最低点B的过程中，其线速度大小的平方v2随下落高度h变化的图像可能是图乙所示四个图中的( AB )
解析：设小环在A点的速度为v0，选A点为零势面，由机械能守恒定律得－mgh＋mv2＝mv得v2＝v＋2gh，可见v2与h是线性关系，若v0＝0，B正确；v0≠0，A正确，故正确选项是A、B。
二、非选择题
4．(16分)(2020·河北省唐山市高一下学期三校联考)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下，图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8
m，h2＝4.0
m，x1＝4.8
m，x2＝8.0
m。开始时，质量分别为M＝10kg和m＝2
kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头。大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零。运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10
m/s2。求：
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小。
答案：(1)8
m/s (2)4
m/s (3)216
N
解析：猴子先做平抛运动，后做圆周运动，两运动过程机械能均守恒。寻求力的关系时要考虑牛顿第二定律。
(1)设大猴从A点水平跳离时速度最小值为vmin，根据平抛运动规律，有：
h1＝gt2
①
x1＝vmint
②
由①②式，得vmin＝8
m/s
③
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有：
(M＋m)gh2＝(M＋m)v
④
vC＝＝m/s＝4
m/s
⑤
(3)设拉力为F，青藤长度为L，在最低点，由牛顿第二定律得：
F－(M＋m)g＝
⑥
由几何关系(L－h2)2＋x＝L2
⑦
故L＝10
m
⑧
综合⑤⑥⑧式并代入数据得F＝216
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