7．2 任意角的三角函数
7．2.1 三角函数的定义
[课程目标]
1.理解并掌握任意角三角函数的定义．
2．理解三角函数是以实数为自变量的函数．
3．通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解．
[填一填]
1．任意角的三角函数
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使∠xOy＝90°.
在角α终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r＝.
(1)称为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝，定义域为{α|α∈R}；
(2)称为角α的余弦，记作cosα，即cosα＝，定义域为{α|α∈R}；
(3)称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝，定义域为.
这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．
2．三角函数在各个象限的符号
[答一答]
1．如何理解三角函数的定义？
提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示．
这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．
(2)设角α是一个任意大小的角，在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|＝r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.，，这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图△OQQ1∽△OPP1，∴＝，＝，….
2．一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负．
三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)．
类型一
求三角函数值
命题视角1：利用定义求三角函数值
[例1] 如图，∠AOP＝，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：
(1)点P的坐标；
(2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则x＝cos∠AOP＝cos＝，
y＝sin∠AOP＝sin＝.
故点P的坐标为.
(2)∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为.
根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝，cos∠AOQ＝－.
利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标?u，v?，由三角函数的定义得sinα＝v，cosα＝u.
[变式训练1] 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sinαcosβ＝( B )
A．－
B．－
C．
D．
解析：sinαcosβ＝×＝－，故选B．
命题视角2：取点求三角函数值
[例2] 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ.
[解] 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cosθ＝＝.
又∵cosθ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sinθ＝＝.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sinθ＝＝.
综上所述，sinθ＝.
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标?a，b?，则对应角的三角函数值分别为sinα＝，cosα＝.
[变式训练2] 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
解：由题意知，cosα≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，
＝＝＝，
∴10sinα＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sinα＝＝＝，
＝＝－＝－，
∴10sinα＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sinα＋＝0.
类型二
判断三角函数值的符号
[例3] 下列各式：①sin1
125°；②tanπ·sinπ；
③；④sin|－1|.其中为负值的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[分析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
[解析] 对于①，因为1
125°＝1
080°＋45°，所以1
125°是第一象限角，所以sin1
125°>0；对于②，因π＝2π＋π，则π是第三象限角，所以tanπ>0，sinπ<0，故tanπ·sinπ<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故<0；对于④，因<1<，则sin|－1|>0.综上，②③为负数．
[答案] B
对于较“大”的角先利用终边相同的角转化为较“小”的角即[0，2π?内的角，再根据角所在的象限与三角函数值的符号进行判断.
[变式训练3] 判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan.
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.
(2)∵<3<π，π<4<，∴sin3>0，cos4<0，
∵－＝－6π＋，∴tan＝tan>0，
∴sin3·cos4·tan<0.
类型三
由三角函数值的符号确定角的范围
[例4] 已知：cosα<0，tanα<0.
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin，cos，tan的符号．
[分析] 根据cosα<0，tanα<0.借助三角函数的符号的判断原则不难解得．
[解] (1)∵cosα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵tanα<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．
∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为.
(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第三象限角．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，
sin>0，cos>0，tan>0；
当是第三象限角时，sin<0，cos<0，tan>0.
设单位圆与角α的终边交于点P?x，y?，则由三角函数定义知＝cosα<0，＝tanα<0，∴x<0，y>0，∴点P在第二象限，即角α为第二象限角，从而为第一或第三象限角.再由符号法则可知?3?中各值的符号.
[变式训练4] 若sin2θ>0，且cosθ<0，试确定角θ所在的象限．
解：因为sin2θ>0，
所以2kπ<2θ<2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ<θ
当k＝2m，m∈Z时，有2mπ<θ<2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，有2mπ＋π<θ<2mπ＋，m∈Z.
故θ为第一或第三象限角．
由cosθ<0可知，角θ在第二或第三象限或其终边位于x轴负半轴上．
综上所述，角θ在第三象限．
类型四
三角函数式的化简求值与证明
[例5] 化简：＋＋.
[分析] 分象限对三角函数值的符号进行讨论．
[解] 因为x≠，k∈Z，所以
当x是第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，
原式＝＋＋＝3；
当x是第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，
原式＝＋＋＝－1；
当x是第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，
原式＝＋＋＝－1；
当x是第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，
原式＝＋＋＝－1.
综上可知，＋＋的值为3或－1.
求含绝对值的代数式的值时，要根据绝对值的意义先去绝对值符号，为此常采用分类讨论的思想.本题结合自身的特点按角x所在的象限进行讨论.
[变式训练5] 已知角α的终边上的点P与点A(m,2m)(m≠0)关于x轴对称，角β终边上的点Q与点A关于y轴对称，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ的值．
解：由题意知P、Q两点的坐标分别为(m，－2m)、(－m,2m)，且|OP|＝|OQ|＝|OA|＝|m|，
∴sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ
＝·＋·＋·
＝－－＋4＝.
1．若角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα的值是( C )
C．
B．
C．－
D．－
解析：由正弦函数的定义得sinα＝＝＝－.
2．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值为( A )
A．3
B．－3
C．±3
D．5
解析：∵r＝，∴＝－，∴b＝3.
故选C．
3．若θ是第二象限角，且＝－sin，则是( C )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：θ是第二象限角，则是第一或第三象限角，又＝－sin，故sin≤0，则是第三象限角．
4．若α为第二象限角，则－的值为2.
解析：∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，
∴原式＝－＝1＋1＝2.
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-7．2.2 单位圆与三角函数线
[课程目标]
1.理解单位圆、有向线段的概念．
2．学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．
3．通过三角函数的几何表示，进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间．
[填一填]
1．单位圆
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．
2．正弦线、余弦线
如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cosα：的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－||.习惯上，称为角α的余弦线．类似地，图中的可以直观地表示sinα，因此称为角α的正弦线．
3．正切线
如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正弦线．
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
[答一答]
1．对于三角函数线的理解应注意哪些问题？
提示：(1)三角函数线是表示一个角的三角函数值的几何方法，是对任意角的三角函数定义的一种“形”上的补充，它们的大小(即长度)等于角α的三角函数的绝对值，要特别注意它们均有方向．记法：当两个端点都在x轴上时，以原点为起点(余弦线)；当两个端点有一个在x轴上时，以x轴上的点为起点(正弦线、正切线)，三角函数值的正负与轴的方向才相同．
(2)正切线都是过点A(1,0)作圆的切线与角α终边或反向延长线相交所成的有向线段．当角α终边在第一、四象限时，正切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α终边所成的有向线段；当角α终边在第二、三象限时，正切线为过点A(1,0)作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点所成的有向线段．
(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线||＝1或－1；当角α的终边在y轴上时，正弦线||＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．
2．怎样由三角函数值(范围)，利用单位圆中三角函数线确定终边相同的角(范围)?
提示：(1)已知正弦值sinα＝a，因为正弦线是与y轴平行或重合的向量，所以确定的方法是：①在y轴上找出与正弦值对应的一点(0，a)(若正弦值为正，在y轴正半轴上取点，若为负，在y轴负半轴上取点)；②过该点作x轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使sinα＝a的角的终边．若sinα≥a，则平行线上方一段圆弧所对应角的范围为所求，若sinα(2)已知余弦值cosα＝a，因为余弦线是与x轴重合的向量，所以确定的方法是：①在x轴上找出与余弦值对应的一点(a,0)(若余弦值为正，在x轴正半轴上取点，若为负，在x轴负半轴上取点)；②过该点作y轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使cosα＝a的角的终边．若cosα≥a，则该平行线右侧一段圆弧对应角的范围为所求，若cosα(3)已知正切值tanα＝a，过A(1,0)点作单位圆的切线，在切线上截取AT＝a，过O，T作直线交单位圆于两点A，B，则射线OA，OB为所求的使tanα＝a的角α的终边，对于tanα>a(或tanα≤a)型的不等式，用以后所学习的正切函数图像解决比较方便．
类型一 三角函数线
[例1] 分别作出和－的正弦线、余弦线和正切线．
[解] (1)在直角坐标系中作单位圆如图所示，以Ox轴正方向为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则
sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
即的正弦线为，余弦线为，正切线为.
(2)同理可作出－的正弦线、余弦线和正切线，如图所示．
sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
三角函数线是有向线段，因此书写时应分清起点和终点，这对于下一步学习三角函数性质很有用处.
[变式训练1] 确定下式的符号：sin1－cos1.
解：因为<1<，如图所示，由三角函数线可得sin1>>cos1，故sin1－cos1>0.
类型二 利用三角函数线求三角函数值或角的范围
命题视角1：利用三角函数线求三角函数值的范围
[例2] (1)若－≤θ≤，确定sinθ的范围；
(2)若30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，确定tanθ的范围．
[分析] (1)先在单位圆中画出角θ的终边对应的区域－≤θ≤，借助正弦线确定函数值的变化范围．
(2)先在单位圆中画出角θ的终边对应的区域30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，借助正切线确定函数值的变化范围．
[解] (1)∵－≤θ≤，∴θ的终边对应区域如图，在由OB转向OA过程中sinθ的值在第三象限为负，在第四象限为负，在θ＝－时，正弦线|MB|＝R，故最小值为－1；在第一象限时，正弦线取正值且不断增大，故在θ＝时取最大值.
∴－1≤sinθ≤.
(2)画出角θ的终边对应区域，如图，当角θ的终边从OA转向OB时，tanθ在第一象限取正值，正切线越来越长到无穷，
∴tanθ≥；tanθ在第二象限取负值时，由90°→120°的过程中，正切线越来越短，到OB时，tanθ＝MN＝－，
∴tanθ≤－，
∴tanθ∈(－∞，－]∪.
充分利用单位圆画出已知角的范围，结合正弦线、余弦线、正切线正确解题，应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位置、方向、符号.正弦线为α的终边与单位圆“交点”到x轴的垂直线段，由“垂足”指向“交点”，与y轴同向为正、反向为负；余弦线在x轴上，由“原点”指向“垂足”，与x轴同向为正，反向为负；正切线在过单位圆与x轴正向的交点的切线上，由“切点”指向与α终边或反向延长线的交点，与y轴同向为正，反向为负.
[变式训练2] 已知<α<，则cosα的取值范围是.
解析：角α的终边对应区域如图中阴影部分，角α终边在从OA转向OB过程中，其余弦线OM越来越短，然后变成负值，在α＝π时取最小值－1，然后又增大，由于cos＝，
∴－1≤cosα<.
命题视角2：利用三角函数线求角的范围
[例3] 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)sinα＝；(2)cosα≥.
[分析] (1)在单位圆中画出sinα＝的正弦线，确定在0～2π内符合要求的角，而后根据终边相同的角得出答案；(2)先确定cosα＝的余弦线，再确定符合条件的角的范围．
[解] (1)如图①所示，过点A作x轴的平行线，与单位圆交于P、P′点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝，所以∠xOP＝，∠xOP′＝.
所以满足条件的所有角α的集合是
.
(2)如图②所示，过点B作x轴的垂线，与单位圆交于点P、P′，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝，
所以∠xOP＝，∠xOP′＝－.
所以满足条件的所有角α的集合是
.
表示角的集合时要注意终边相同的角的表示方法，明确角的旋转方向是顺时针还是逆时针，产生的角是变大还是变小.
[变式训练3] 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥；(2)cosα≤－.
解：(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围，如图①.
故满足条件的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α终边的范围，如图②.
故满足条件的角α的集合为
.
类型三 比较三角函数值的大小
[例4] 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sinπ与sinπ；(2)tanπ与tanπ.
[分析] 在同一个单位圆中根据角的大小作出三角函数线，根据三角函数线来比较大小．
[解] 如图所示．
(1)∵||>||且与都与y轴正方向一致，∴sinπ>sinπ.
(2)∵||>||且与都与y轴正方向相反，
∴tanπ利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：?1?角的位置要“对号入座”；?2?比较三角函数线的长度；?3?确定有向线段的正负.
[变式训练4] sin，cos，tan从小到大的顺序是cos解析：由图可知cos<0，tan>0，sin>0，
∵||<||，
故cos类型四 证明三角不等式
[例5] 设角α是锐角，利用单位圆与三角函数线证明：sinα<α[证明] 如图所示，设角α的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，
则sinα＝MP，tanα＝AT，
∵S△OAP∴OA·MP<αOA2又OA＝1，
∴MP<α即MP<α∴sinα<α三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义.
[变式训练5] 利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.
证明：当角α的终边在x(y)轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，此时|sinα|＋|cosα|＝1.
当角α的终边落在某一个象限内时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋|cosα|＝MP＋OM>1.
综上有|sinα|＋|cosα|≥1.
1．已知，，分别是60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有( B )
A．MPB．OMC．ATD．OM解析：OM2．已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( C )
A．第一象限角平分线上
B．第四象限角平分线上
C．第二、第四象限角平分线上
D．第一、第三象限角平分线上
解析：角α的正弦与余弦值异号，且其值的绝对值相等，则α的终边在第二或第四象限的角平分线上．
3．若－<α<－，则sinα、cosα、tanα的大小关系是( D )
A．sinαB．tanαC．cosαD．sinα解析：如图，在单位圆中，作出－<α<－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．
由图知，||<||<||，考虑方向可得sinα4．若θ∈，则sinθ的取值范围是.
解析：由图可知正弦值在第二象限为正，第三象限为负，且逐渐减小至－1，故MPmax＝sin＝，MPmin＝sin＝－1，>sinθ>－1，即sinθ∈.
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-7．2.3 同角三角函数的基本关系式
[课程目标]
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
2．会运用以上两个基本关系式进行化简、求值和证明．
3．通过学习同角三角函数的基本关系式，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩证唯物主义观．
[填一填]
1．同角三角函数的基本关系式
2.同角三角函数基本关系式的常见变形
同角三角函数基本关系式的变形有：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝cosαtanα，cosα＝(tanα≠0)，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，＝1等．
在三角函数的求值、化简和证明中经常用到同角三角函数的基本关系式及其变形公式，要注意灵活运用，掌握一些转化技巧，如“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)，化切为弦，化弦为切等．
[答一答]
证明三角恒等式有哪些常用方法？
提示：证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常用如下几种：
(1)从不等式的一边证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是等式的传递性；
(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想；
(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性；
(4)差比法：证明“左边－右边＝0”．
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
[例1] 已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．
[分析] 由tanα得出sinα与cosα的关系，结合sin2α＋cos2α＝1，即可得出答案．
[解] ∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，
又由tanα＝－2得sinα＝－2cosα.
(1)当α为第二象限角时，
?5cos2α＝1，
∵cosα<0，∴cosα＝－，sinα＝－2×＝.
(2)当α为第四象限角时，
?5cos2α＝1，
∵cosα>0，
∴cosα＝，sinα＝－2×＝－.
综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，
cosα＝－，sinα＝，
当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－.
同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思想的应用.
[变式训练1] 已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
解：∵cosα＝－<0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sinα＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sinα＝－＝－，tanα＝.
类型二 条件求值
命题视角1：化简代入求值
[例2] 已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α－sinαcosα＋5cos2α；
(3).
[分析] 由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应把条件tanα＝代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tanα表示的式子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为以tanα表示的式子．
[解] (1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝.
(3)原式＝
＝
＝＝.
第?3?题对分母中常数“1”的处理是利用平方关系将其转化为sin2α＋cos2α，从而将分母转化为sinα和cosα的齐次式，这是处理三角变换中经常用到的方法.
[变式训练2] 已知3sinα－2cosα＝0，求下列各式的值．
(1)＋；
(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
解析：(1)∵3sinα－2cosα＝0，
∴tanα＝，cosα≠0，
＋＝＋
＝＋＝.
(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α
＝
＝＝＝.
命题视角2：根据和差求值
[例3] 已知sinθ＋cosθ＝(0<θ<π)，求tanθ的值．
[解] ∵sinθ＋cosθ＝，
∴两边平方得sinθcosθ＝－.
又∵0<θ<π，∴<θ<π.
∴sinθ－cosθ＝＝＝.
∴解方程组得
∴tanθ＝＝.
1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：?sinα±cosα?2＝1±2sinαcosα.
2.求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号.
[变式训练3] 已知sinα＋cosα＝，计算下列各式的值：
(1)sinα－cosα；(2)sin3α＋cos3α.
解：(1)∵sinα＋cosα＝，
∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝.
∴2sinαcosα＝－.
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
∴sinα－cosα＝±.
(2)∵sin3α＋cos3α
＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)
＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，
又由(1)知，sinαcosα＝－，且sinα＋cosα＝，
∴sin3α＋cos3α＝×＝×＝.
类型三 三角函数式的证明
[例4] 求证：＝.
[分析] 方法1：因为右边分母为cosα，故可将左边分子、分母同乘cosα，整理化简即可．
方法2：只要证明左式－右式＝0即可．
[证明] 证法1：左边＝＝
＝＝＝右边，
∴原式成立．
证法2：∵－
＝
＝
＝＝0，
∴＝.
关于三角恒等式的证明，一般方法有以下几种：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)比较法，即证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
(4)分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到成立的条件为已知条件或明显的事实为止，就可以判定原式成立．
[变式训练4] 求证：＝.
证明：∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
类型四 综合问题
[例5] 设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sinα，cosα是关于x的方程8x2－6mx＋2m＋1＝0的根？若存在，求出实数m；若不存在，说明理由．
[分析] 此类题型的求解，一般地，我们先假设存在，再在此基础上求解出m的值，符合条件则存在，不符合则不存在．
[解] 不存在．设存在这样的实数m满足条件，由题设得
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0①
sinα＋cosα＝m，②
sinα·cosα＝>0.③
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1.④
把②③代入④得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0.解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，m2＝－不满足条件③，
故这样的实数m不存在．
[变式训练5] 已知sinα，cosα为方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个实根，α∈，求m及α的值．
解：因为sinα，cosα为方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个实根，
所以m2－2m＋1≥0且sinα＋cosα＝m，sinαcosα＝，
代入(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα，得m＝.
又α∈，
所以sinα·cosα＝<0，即m<，
所以sinα＋cosα＝m＝，
所以sinα＝－，cosα＝.
又因为α∈，所以α＝－.
1．α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝( D )
A.
B．－
C.
D．－
解析：解法1：∵α为第四象限角，∴sinα<0，
又∵tanα＝－，∴sinα＝－.
解法2：∵解得sinα＝±.
又∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－.
2．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( B )
A．tanα＝－
B．cosα＝－
C．sinα＝－
D．tanα＝
解析：由同角三角函数的基本关系式，知tanα＝，故A，D错误；又因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，故C错误，B正确．
3．若α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是( D )
A．正三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
解析：由sinα＋cosα＝平方得：2sinαcosα＝－<0.又∵α是三角形的一个内角，故sinα>0，∴cosα<0，即α为钝角．
4．化简的结果是cos4－sin4.
解析：原式＝＝|sin4－cos4|＝cos4－sin4.
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-7．2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
[课程目标]
1.借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式．
2．掌握正弦、余弦和正切的诱导公式的应用．
3．通过对公式的运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归数学思想，提高分析问题、解决问题的能力．
[填一填]
1．诱导公式①
终边相同的角的同名三角函数值相等．
即：cos(α＋k·
2π)＝cosα，sin(α＋k·2π)＝sinα，tan(α＋k·2π)＝tanα.
其作用是把绝对值大于2π的任意角的三角函数值化为[0,2π)上的角的同名三角函数值．
2．诱导公式②
角－α的三角函数等于角α的同名三角函数，前边放上把α看作锐角时，－α所在象限的原三角函数值的符号．即
cos(－α)＝cosα，sin(－α)＝－sinα，
tan(－α)＝－tanα.
其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．
3．诱导公式③
角π－α的三角函数等于角α的同名三角函数，前边放上把角α看作锐角时，π－α所在象限的原三角函数值的符号，即
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.
4．诱导公式④
角π＋α的三角函数等于角α的同名三角函数，前边放上把角α看作锐角时，π－α所在象限的原三角函数值的符号，即
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.
[答一答]
1．对四组诱导公式的理解应注意什么问题？
提示：(1)公式①的作用是：其一，可以将任意角的正弦、余弦、正切函数值，分别化为0°到360°的角的同一三角函数值(方法是先在0°到360°的范围内找出与它终边相同的角，再把它写成公式①的形式，然后得出结果)；其二，便于研究这三种三角函数的周期性．
(2)公式②和③和④的推导，要紧扣点P(x，y)关于坐标轴和关于原点的对称性，而且点P是角α的终边与单位圆的交点．于是P(x，y)可以写为P(cosα，sinα)，P点关于x轴的对称为P′(cosα，－sinα)，P点关于原点的对称点为P″(－cosα，－sinα)，由此推导出诱导公式②.
关于诱导公式③，最主要的是α与π－α的三角函数间的关系，即
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα.
tan(π－α)＝－tanα.
将上面的三个公式与诱导公式①联合起来，就得到诱导公式④.由诱导公式②③又得到关于α与π＋α这两个互补的角的关系式：
sin(α＋π)＝－sinα，cos(α＋π)＝－cosα，
tan(α＋π)＝tanα.
这是将公式③中的－α换成α以后得到的结果．
(3)这一组公式的共同特点：角－α，2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α的三角函数等于角α的同名三角函数，前边放上把角α看成锐角时，该角所在象限的原三角函数值的符号，口诀为：“函数名不变，符号看象限”．
(4)
三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，因此，用数形结合的思想从单位圆关于坐标轴、直线y＝x、原点等的对称性出发研究诱导公式，可以发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)与单位圆(形)得到紧密结合，成为一个整体．
2．运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤是怎样的？
3．常用的特殊角的三角函数值有哪些？
提示：
类型一 利用诱导公式求值
[例1] 求下列各三角函数值．
(1)sin；(2)cos(－945°)；(3)tan(－855°)；
(4)sin(－1
200°)·cos1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＋tan945°.
[解] (1)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(2)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2×360°＋225°)
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.
(4)sin(－1
200°)·cos1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＋tan945°＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2.
运用诱导公式求任意角的三角函数值时，一般步骤是：负化正→正化主→主化锐→求值.即先把负号化去?诱导公式②?，再把任意正角写成2kπ＋α，0≤α<2π?或k·360°＋α，0°≤α<360°?的形式转化为α的三角函数，[0，2π?称为主区间，再用π±α?或180°±α?化为锐角的三角函数，最后求值.
[变式训练1] 计算：
(1)sin405°·cos(－765°)；
(2)sin·tanπ－cosπ·tan.
解：(1)原式＝sin(360°＋45°)·cos765°
＝sin45°·cos(2×360°＋45°)
＝sin45°·cos45°＝×＝.
(2)原式＝·tan－cos·tan
＝－sin·tan－cos·tan
＝－××－×(－1)＝0.
类型二 条件求值
[例2] 已知cos＝，求cos－sin2的值．
[解] ∵cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－2＝，
∴cos－sin2
＝－－＝－.
?1?解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
?2?可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
[变式训练2] 已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解：∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
类型三 三角函数式的化简
[例3] 化简.
[分析] 由于本例含有根式且所给角度不一样，化简时应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时还应注意三角函数的正负．
[解] 原式＝
＝＝
＝＝－1.
1.三角函数式的化简常用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
2.化简时要特别注意“1”的变式应用.
[变式训练3] 化简：－(n∈Z)．
解：原式＝＋
＝＋＝－cosα＋
＝－cosα－cos2α.
类型四 三角函数式的证明
[例4] 求证：＝tanθ.
[分析] 运用诱导公式①②，尝试从等式的左边入手，直至推出右边即可．
[证明] 左边＝
＝＝tanθ＝右边．
∴原等式成立．
1.用从等式的一边开始化为等式的另一边的方法证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题.
2.证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明.
[变式训练4] 设tan＝a.
求证：＝.
证明：
左边＝
＝
＝＝＝右边．
∴等式成立.
1．cos300°＝( C )
A．－
B．－
C.
D.
解析：该题考查三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值．cos300°＝cos(360°－60°)＝cos(－60°)＝cos60°＝，故选C.
2．已知sin＝m，则cos的值等于( C )
A．m
B．－m
C.
D．－
解析：∵sin＝sin＝sin，
∴sin＝m，且∈，∴cos＝.
3.等于( A )
A．sin2－cos2
B．sin2＋cos2
C．±(sin2－cos2)
D．cos2－sin2
解析：∵<2<π，∴sin2>cos2，即sin2－cos2>0，
∴＝
＝＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.
4．已知cos＝，则cos＝.
解析：∵－θ＋＋θ＝2π，
∴－θ＝2π－，
∴cos
＝cos
＝cos＝.
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-第2课时 诱导公式(二)
[课程目标]
1.掌握诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．
2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．
[填一填]
[答一答]
1．角α与－α以及角α与＋α间三角函数关系是如何推导的？
提示：(1)如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，角－α的终边与单位圆的交点P2与P1关于直线y＝x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是有：
cosα＝x，sinα＝y；
cos＝y，
sin＝x，
从而有sin＝cosα，cos＝sinα.
(2)∵＋α＝－(－α)，
∴sin＝sin＝cos(－α)＝cosα，
cos＝cos＝sin(－α)＝－sinα.
即sin＝cosα，cos＝－sinα.
2．如何快速记忆所学的诱导公式？
提示：(1)±α、±α的三角函数等于α的余函数，前边放上把α看作锐角时，该角所在象限的原函数值的符号．即“函数变余函，符号看象限”．
(2)诱导公式可并在一起记忆如下：
2kπ±α(k∈Z)，π±α，－α，±α，±α，(2k＋1)π±α(k∈Z)的三角函数，可以统记作±α(k∈Z)．
±α的三角函数，当k为偶数时，等于角α的同名函数，前边放上把α看作锐角时，该角所在象限的原函数值的符号；当k为奇数时，等于角α的余函数，前边放上把角α看作锐角时，该角所在象限的原函数值的符号，即“奇变偶不变，符号看象限”.
类型一 给角求值
[例1] 求下列各三角函数值．
(1)sin(－1
920°)；(2)cos(－1
560°)；(3)tan.
[分析] 应用诱导公式来化简求值．
[解] (1)原式＝－sin1
920°＝－sin(360°×5＋120°)
＝－sin(90°＋30°)＝－cos30°＝－；
(2)原式＝cos1
560°＝cos(360°×4＋120°)
＝cos120°＝cos(90°＋30°)＝－sin30°＝－；
(3)原式＝tan＝tan＝1.
[变式训练1] 求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cosπ；(3)sinπ.
解：(1)sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(2)cosπ＝cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
(3)sin＝sin＝sin＝sin
＝cos＝.
类型二 给值求值
[例2] 已知sin＝，求cos的值．
[分析] 尝试对角进行整体分析的方法，建立互余或互补角关系的思想，然后套用诱导公式解决．
[解] ∵sin＝，
且＋＝，
∴cos＝cos
＝sin＝.
[变式训练2] (1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值．
解：(1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，
∴cosα＝，又α为第一象限角．
则cos＝－sinα＝－
＝－＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
类型三 三角函数式的化简
[例3] 化简：，其中k∈Z.
[解] k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝
＝.
＝＝1.
k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)．
仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.
用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
[变式训练3] 化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝＝1.
类型四 三角函数式的证明
[例4] 已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
[分析] 由sin(α＋β)＝1得到角α、β间的关系，用β表示α，代入等式左边，化简可得等式右边．
[证明] ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋，k∈Z，
∴α＝2kπ＋－β，k∈Z，
∴tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ
＝－tanβ＋tanβ＝0.
∴等式成立．
[变式训练4] 证明：＝.
证明：左边＝
＝
＝＝，
右边＝，所以等式成立．
1．已知cosα＝，则sin等于( A )
A. B．－
C. D．－
解析：sin＝cosα＝.
2．若cos(π＋α)＝－，那么sin等于( A )
A．－
B.
C.
D．－
解析：cosα＝，sin＝－cosα＝－.故选A.
3．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( D )
A. B.
C．－
D．－
解析：∵cos(75°＋α)＝，∴sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－.故选D.
4．已知f(x)＝sin，且f(2
019)＝1，则f(2
020)＝0.
解析：由sin＝1，得sin＝sin＝－sin＝－cosα＝1，∴cosα＝－1，∴f(2
020)＝sin(1
010π＋α)＝sinα＝0.
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