第七章 三角函数
7．1 任意角的概念与弧度制
7．1.1 角的推广
[课程目标] 1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角．
2．掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法．
3．了解角的概念的推广是为了满足解决现实生活和生产中实际问题的需要，学会用数学的观点分析、解决实际问题，通过训练各种角的表示法提高分析、抽象、概括的能力．
[填一填]
1．任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形，这两条射线分别称为角的始边和终边．旋转生成的角，又常叫做转角．
(2)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：
(3)角的加减法的几何意义：角的减法运算可以转化为角的加法运算即α－β可化为α＋(－β)，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
2．象限角
(1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角．
如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合
第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}．
第二象限角的集合{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}．
第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}．
第四象限角的集合{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合
终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}．
终边落在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}．
终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}．
终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．
终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
3．终边相同的角
(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，集合表示：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)特殊角的集合(表示不唯一)．
①终边在一条射线上时，其角的集合为：
{α|α＝θ＋k·360°，k∈Z}
②终边在一条直线上时，其角的集合为：
{α|α＝θ＋k·180°，k∈Z}
③终边在两条相互垂直的直线上时，其角的集合为：
{α|α＝θ＋k·90°，k∈Z}
其中θ表示终边落在该直线(射线)上的任意角．
(3)区域角的集合．
如第一象限角：{α|k·360°<α[答一答]
1．如何理解终边相同的角？
提示：(1)α为任意角．
(2)集合S的每一个元素与α的终边相同，当k＝0时，对应元素为α.
(3)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同．
(5)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
(6)k∈Z这一条件不可少．
2．具备对称性的两角有怎样的数量关系？
提示：角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中若两个角具有对称性，这两个角就有一定的关系，一般地：
(1)α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝k·360°，k∈Z；
(2)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z；
(3)α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k＋1)·180°，k∈Z；
(4)α与β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°，k∈Z.
3．怎样由α所在象限，求2α，，……所在象限？
提示：(1)利用已知条件写出α的范围，由此确定2α，，的范围，再根据范围确定象限．下面通过探求α为第一象限角时2α，，所在象限的情况，总结出规律．
因为α为第一象限角，则(1)k·360°<α(2)k·180°<(3)k·120°<对于、的判定还有另一种方法——八卦图法．
①所在象限的判断方法：第一步：画出平面直角坐标系．如图，将每一象限两等分；第二步：标号．从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4；第三步：选号．因为α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出．可用阴影表示；第四步：定象限．阴影部分在哪一象限，则的终边就落在哪一象限．
由以上步骤可知，若α为第一象限角，则为第一、三象限角．
②所在象限的判断方法：第一步：画出平面直角坐标系．如图，将每一象限三等分；第二步：标号．从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4；第三步：选号．因为α为第一象限角，在图中将数字1所在的区域用阴影画出；第四步：定象限．阴影部分在哪一象限，则的终边就落在哪一象限．
由以上步骤可知，当α为第一象限角时，则为第一、二、三象限角．
一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是α为第几象限的角时，终边落在的区域，所在的象限就可直观地看出．
类型一 角的概念的理解
[例1] 有下列说法：
①相差360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②{α|α是锐角}?{β|0°≤β<90°}；
③第二象限角都是钝角；
④小于90°的角不一定都是锐角；
⑤钝角都是第二象限角．
其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．
[解析]
题号 正误 原因分析
① × 终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立
② √ α是锐角，即0°<α<90°，故{α|0°<α<90°}?{β|0°≤β<90°}
(续表)
题号 正误 原因分析
③ × 第二象限角不一定都是钝角，如－300°是第二象限角，但它不是钝角
④ √ 负角和零角都小于90°，但它们不是锐角
⑤ √ 钝角α满足90°<α<180°，显然是第二象限角
[答案] ②④⑤
解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可.
[变式训练1] 下列说法正确的是( D )
A．三角形的内角必是第一、二象限的角
B．第一象限的角一定是正角
C．第二象限的角一定比第一象限的角大
D．与30°终边相同的角有无数多个
解析：90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限的角，又不是第二象限的角，故A错；－330°是第一象限的角，但不是正角，故B错；120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但390°>120°，故C错．D正确．
类型二 旋转角与角的求和
[例2] 求和并作图表示：
(1)60°＋90°；(2)90°－30°；(3)－60°－45°.
[分析] 只需严格按照各角和的旋转量等于各角旋转量的和来进行解题即可．
[解] (1)60°＋90°＝150°；
(2)90°－30°＝60°；
(3)－60°－45°＝－105°.
作图，如图所示．
[变式训练2]
如图所示，射线OA绕端点O逆时针旋转15°到OB位置，接着顺时针旋转75°到OC位置，然后逆时针旋转100°到OD位置，最后顺时针旋转85°到OE位置，求∠AOE.
解析：由题意知∠AOB＝15°，
∠BOC＝－75°，∠COD＝100°，∠DOE＝－85°，
因此∠AOE＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOE
＝15°－75°＋100°－85°＝－45°.
类型三 象限角
[例3] 已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.
[分析] 判断一个角在第几象限，只要找出与它终边相同的在0°～360°范围内的角即可．这个0°～360°范围内的角所在的象限即为所求．
[解] 如图所示，
由图可知：
(1)420°角在第一象限，在0°～360°范围内与60°角终边相同．
(2)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角终边相同．
(3)855°角在第二象限，在0°～360°范围内与135°角终边相同．
(4)－510°角在第三象限，在0°～360°范围内与210°角终边相同．
利用图像判断角所在的象限时，依据的是终边相同的角的关系.将正角或负角利用公式转化到0°～360°范围内.因为在0°～360°之间，没有两个角的终边是相同的.
[变式训练3] 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)225°；(2)－300°；(3)－450°.
解：以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边分别作出225°，－300°，－450°，如图．
观察角的终边所在位置，知225°，－300°分别是第三象限角和第一象限角，－450°的终边在y轴负半轴上，不属于任何象限．
类型四 终边相同的角
[例4] 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°内的角．
[分析] 本题可获取以下主要信息：①终边相同的角的一般形式；②正角、负角的概念．解答本题可先写出终边相同的角的一般形式，再求满足条件的整数k即可，其中最大的负角在－360°～0°之间，最小的正角在0°～360°之间．
[解] 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°(2)由0°(3)由360° 1 把任意角化为α＋k·360° k∈Z且0°≤α<360° 的形式，关键是确定k.可以用观察法 α的绝对值较小 也可用竖式除法.要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值.
2 其他范围内符合条件的角必与0°～360°范围内满足条件的角终边相同.
[变式训练4] 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．
解：由终边相同的角的表示知：与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β<360°.由－720°≤k·360°－1 910°<360°，
3≤k<6.故取k＝4,5,6，
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°.
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°.
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
类型五 角的对称问题
[例5] 若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是( )
A．α＝－β
B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β(k∈Z)
D．α＝k·360°＋180°＋β(k∈Z)
[分析] 解答本题可根据角的定义，借助坐标系作出相关图形来求解．
[解析] 如图所示，以角β的终边的反向延长线为终边的角有一个为180°＋β，所以α＝k·360°＋180°＋β(k∈Z)．
[答案] D
本题所涉及的问题是终边与终边关于原点的对称问题，充分理解题意借助图形解答能起到事半功倍的效果.
[变式训练5] 已知角α的终边与－120°角的终边关于y轴对称，求α.
解：因为角[180°－(－120°)]与－120°角的终边关于y轴对称，所以角α的终边与300°角的终边重合．故角α的集合是S＝{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
类型六 区域角的表示
[例6] 如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解] (1)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理，终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步．
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
[变式训练6] 如图所示，
(1)写出终边在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{α|α＝210°＋k×360°，k∈Z}；
终边在射线OB上的角的集合是
{α|α＝300°＋k×360°，k∈Z}．
(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是{α|210°＋k×360°≤α≤300°＋k×360°，k∈Z}．
类型七 角α与2α、、所在象限关系问题
[例7] 若θ为第三象限角，求，角所在象限，并在该象限表示出来．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①θ是第三象限角；
②所求为，所在象限．
解答本题先写出θ所在象限的表达式，然后化为，，再分类讨论k的取值情况．
[解] 由已知得，k·360°＋180°<θ∴k·180°＋90°<当k为偶数时，在第二象限；当k为奇数时，在第四象限；如图(1)，在第二、四象限的阴影区域内(不含边界)．
又k·120°＋60°<当k＝3n(n∈Z)时，在第一象限；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，在第三象限，
当k＝3n＋2(n∈Z)时，在第四象限．
如图(2)，在第一、三、四象限的阴影区域内(不含边界)．
已知角α所在的象限或它的终边位置，判断的终边所在的位置常用八卦图法.,作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域，就是α为第几象限角时，终边落在的区域，所在的象限就可以直观地看出了.
[变式训练7] 已知α为第二象限角，问2α，分别是第几象限角？
解：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z.
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
又45°＋·360°<<90°＋·360°，k∈Z.
当k为偶数时，令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角．∴为第一或第三象限角．
1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( C )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：由于α为第一象限角，所以－α为第四象限角，又－α与360°－α角的终边相同，可知360°－α也为第四象限的角．
2．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④－315°角是第一象限的角．其中正确的命题有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：因为－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，所以①②③④四个命题都是正确的．故选D．
3.如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( C )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
解析：借助于图形，先写出在(－180°，180°)内角的集合，再在此基础上加上k·360°，k∈Z.
4．与－500°终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°－500°，k∈Z}，它们是第三象限角，它们中的最小正角是220°，最大负角是－140°.
解析：由于－500°＝－720°＋220°，可知应是第三象限角．
PAGE
- 12 -7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
[课程目标] 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
2．熟记特殊角的弧度数．
[填一填]
1．度量角的单位制
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的为1度的角．其中60分等于1度，60秒等于1分．
(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.
2．角度制与弧度制的换算
3．特殊角的弧度数
4.弧度制下的公式
如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数．
(1)弧度数公式：α＝；
(2)弧长公式：l＝αr；
(3)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.
[答一答]
比较弧度制与角度制的异同．
提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度．
(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°等于圆的所对的圆心角的大小．
(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值．
(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数．如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．
(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．
(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．
(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.
类型一 概念的理解
[例1] 下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角
C．根据弧度的定义，180°一定等于π rad
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关
[解析] 根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．
[答案] D
根据弧度、角度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的长短无关，而与弧长与半径的比值有关.
[变式训练1] 下列命题中，真命题是( D )
A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
解析：弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．
类型二 角度制与弧度制的互化
[例2] 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
[解] (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
1 进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°. 2 熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.
[变式训练2] (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
解：(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
类型三 弧度制和角度制的简单应用
[例3] 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角π，－π；
②与β角终边相同的角的表示．
解答本题可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式．
[解] (1)－570°＝－π＝－4π＋π，
750°＝π＝4π＋.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，
由－720°<θ<0°，得－720°∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－π＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°和－420°.
迅速进行角度与弧度的互化，准确判断角所在象限是学习三角函数知识的必备基本功.在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常化为解不等式去求对应的k值，也可使用赋值法，对k在其本身取值范围内取特殊值.
[变式训练3] 用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合．
解：(1)题图(1)中，以OB为终边的330°角与－30°角的终边相同，
－30°＝－，而75°＝75×＝，
阴影部分(不包括边界)位于－与之间且跨越x轴的正半轴．
所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
；
(2)题图(2)中，以OB为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×＝－，而135°＝，阴影部分(不包括边界)位于－与之间且跨越x轴的正半轴．
所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
.
类型四 弧长公式与扇形面积公式的应用
[例4] 求解下列各题．
(1)若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形面积；
(2)若一扇形的周长为60 cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大，最大值是多少？
[分析] 利用弧长公式及扇形面积公式，或应用公式建立方程组．求最值时可构造成面积关于r(或角θ)的二次函数．
[解] (1)圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm.
∴扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．
(2)设扇形半径为r，圆心角为θ，弧长为l，面积为S.
则l＋2r＝60，∴l＝60－2r.
S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝225－(r－15)2.
当r＝15时，面积Smax＝225(cm2)．
此时θ＝＝＝＝2.
∴当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为225 cm2.
1 给出周长 即间接给出弧长 及面积，列方程组求弧长及半径，最后求得圆心角的弧度数.在以面积作等式时可以有弧度制和角度制下的两种方式.
2 求面积最值，本题可以以r为变量建立面积关于半径r的二次函数，也可以建立关于θ角的函数，求函数的最值方法较多，希望尽力把握.
3 使用弧度数公式|α|＝时，应注意α是弧度数，且三个量l，r，α中知道其中任意两个可求另外一个；有些问题还要注意角α的方向和旋转的圈数.
[变式训练4] (1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；
(2)已知扇形OAB的面积为1 cm2，它的周长是4 cm，求该扇形OAB的圆心角AOB的弧度数．
解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝＝＝(rad)，该扇形面积为S＝lr＝×18×12＝108(cm2)．
(2)设该扇形的圆心角为α，半径为r，周长为P，依题意知：
解得∴α＝＝2 rad.
所以该扇形OAB的圆心角AOB的弧度数为2 rad.
类型五 弧度制的实际应用
[例5] 视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5′.试求：
(1)离人10m处，人所能阅读的最小文字的大小如何？
(2)要看清长宽均为5m的大字标语，人离标语最远距离为多少米？
[分析] 解决实际问题的关键是构建数学模型，即如何将实际问题转化为数学问题．本题可转化为以眼睛为圆心，以视角为圆心角，距离为半径的弧长问题，第(1)问是已知半径、圆心角求弧长．第(2)问是已知弧长、圆心角求半径．
[解] (1)设该文字的长宽均为l m，则l≈10α，其中视角α＝5′≈0.001 454弧度．
∴l＝10×0.001 454＝0.014 54 m≈1.45 cm.
故视力正常的人，在10 m远处能阅读最小为1.45 cm见方的文字；
(2)设人离标语x m处，对5 m见方的文字所张的视角是5′，约为0.001 454弧度，则x≈≈≈3 439 m.
故视力正常的人，最远能在约3 439 m远处看清5 m见方的文字．
本题包含两种意识：一是空间向平面转化的意识，因为人的眼睛看标语时是一个空间图形，我们把它抽象为平面图形；二是近似意识，当半径很大，圆心角较小时，圆心角所对的弧可近似看成一条线段 即文字的长度与宽度 .
[变式训练5] 如图，动点P、Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长．
解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π，所以t＝4(s)，即P、Q第一次相遇所用的时间为4 s．设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在·4＝π的位置，则xC＝－4·cos＝－2，yC＝－4·sin＝－2，所以C点的坐标为(－2，－2)．P点走过的弧长为π·4＝π；Q点走过的弧长为π.
1．下列各式中，正确的是( D )
A．π＝180 B．－15°＝
C．1 rad＝π D．90°＝ rad
解析：π＝180°，单位为弧度可以省略，单位为度不能省略，故A错；－15°＝－，故B错；1 rad＝，故C错．
2．若α＝－4，则α是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由－π<－4<－π，知－4是第二象限角．
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( C )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
4．已知半径为100 mm的圆上，有一条弧的长是150 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.
解析：|α|＝＝＝1.5，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.
PAGE
- 1 -
