第八章
向量的数量积与三角恒等变换
8．1 向量的数量积
8．1.1 向量数量积的概念
[课程目标]
1.理解平面向量数量积的含义．
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．
[填一填]
1．两个向量的夹角
(1)给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
(3)当〈a，b〉＝0时，a与b同向；
当〈a，b〉＝π时，a与b反向；
当〈a，b〉＝或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.
2．向量的数量积(内积)
(1)当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．
(3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b?a·b＝0.
3．向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量＝a，过A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′、B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影．
(2)如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．
4．平面向量的数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥b?a·b＝0，且a·b＝0?a⊥b；
(3)a·a＝|a|2即|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
[答一答]
1．如何理解平面向量的数量积？
提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式．
(2)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.
(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．
(4)a·b的几何意义是：a的长度与b在a方向上的射影的数量的乘积或b的长度与a在b方向上的射影的数量的乘积．
2．怎样确定两向量数量积的符号？
提示：两向量的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值符号决定．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当a与b同向时，θ＝0°，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，cosθ<0，a·b<0；
当a与b垂直时，θ＝90°，cosθ＝0，a·b＝0；
当a与b反向时，θ＝180°，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.
由上可知，a·b>0?/
θ为锐角，因为还有可能是θ＝0°；
a·b<0?/
θ为钝角，因为还有可能是θ＝180°.
3．向量数量积的各条性质是如何证明的？
提示：(1)①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．
证明：a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝|a|cos〈a，e〉，
e·a＝|e||a|cos〈e，a〉＝|a|cos〈a，e〉，
∴a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．
②a⊥b?a·b＝0.
证明：已知a⊥b，?若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件a⊥b，∴a·b＝0；?若a≠0，b≠0，由已知〈a，b〉＝90°，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0.因此，a⊥b?a·b＝0.
已知a·b＝0，?若a、b中至少有一个为零向量，满足a·b＝0，根据定义知a⊥b；?若a≠0，b≠0，则a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝0.又因为0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°，∴a⊥b.因此，a·b＝0?a⊥b.综上所述，a⊥b?a·b＝0.
③a·a＝|a|2或|a|＝.
证明：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2cos0°＝|a|2，且|a|＝.
④cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
证明：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴当a≠0，b≠0时，cos〈a，b〉＝.
⑤|a·b|≤|a||b|.
证明：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|.
(2)性质①可以帮助理解数量积的几何意义；性质②可以解决有关垂直的问题；性质③可以求向量的长度；性质④可以求两向量的夹角；性质⑤可以解决有关不等式的问题，当且仅当a∥b时，等号成立.
类型一 平面向量数量积的定义
[例1] 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
[解] (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×＝10.
求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
[变式训练1] 在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝0，·＝－16，·＝－16.
解析：由题意知∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，
∴·＝0.
·＝||·||·cos135°＝4×4×＝－16.
·＝||·||·cos135°
＝4×4×＝－16.
类型二 平面向量的投影
[例2] 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影的数量为－3，b在a方向上的投影的数量为－，求a与b的夹角θ.
[解] ∵∴
即∴
∴cosθ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
a在b方向上的投影的数量也可以写成，投影的数量可正，可负，可为0，它的符号取决于θ角的范围.
[变式训练2] 设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，θ＝150°，求a在b方向上的投影的数量；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影的数量．
解：(1)|a|·cosθ＝5×cos150°
＝5×＝－.
∴a在b方向上的投影的数量为－.
(2)＝＝.
∴b在a方向上的投影的数量为.
类型三 平面向量的夹角问题
[例3] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 设a与b的夹角为θ，则根据向量数量积公式可得cosθ＝，则cosθ＝＝.∵θ∈[0，π]．∴θ＝.
[答案] C
[变式训练3] 在等边三角形ABC中，向量与向量的夹角为120°；若E为BC的中点，则向量与的夹角为90°.
解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长边AB至点D，使BD＝AB，
∴＝，
∴∠DBC为向量与的夹角，且∠DBC＝120°.
又∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴与的夹角为90°.
1．若|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为30°，则a·b的值是( C )
A．2
B．4
C．4
D．8
解析：a·b＝|a||b|cos30°＝2×4×＝4.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量为，则a·b为( B )
A．3 B.
C．2 D.
解析：a·b＝|a||b|cosθ＝|b|·|a|cosθ＝3×＝.故选B.
3．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( D )
A．－7
B．7
C．25
D．－25
解析：由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a·b＝－6，则a与b的夹角是120°.
解析：设a与b的夹角为θ.由题意可得cosθ＝＝
－，又θ∈[0，π]，所以θ＝120°.
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-8．1.2 向量数量积的运算律
[课程目标]
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
[填一填]
平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
[答一答]
应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？
提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律．同学们在学习中容易错误地认为：由b·c＝c·a(其中c≠0)，可以约去c而得到b＝a.事实上，a与b完全可以方向不同．处理等式b·c＝c·a的手段是移项提取，即c·(a－b)＝0，所以c⊥(a－b)．
(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律．由于实数满足(a·b)·c＝a·(b·c)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
可以这样理解：(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，显然a与c不一定同向，所以二者一般不相等．
类型一 向量数量积的运算律
[例1] 给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
[解析] 因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
[答案] ④
向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．
[变式训练1] 设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是①③④.
解析：根据向量的数量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题的序号是①③④.
类型二 利用数量积求长度
[例2] 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b夹角θ＝，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.
[分析] 解本题首先求a·b，再考虑|a±b|，|3a＋b|与a·b的联系求解．
[解] a·b＝|a||b|cosθ＝，
|a＋b|＝＝＝5，
|a－b|＝＝＝5，
|3a＋b|＝＝＝5.
此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.
[变式训练2] 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
解：已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2.
(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，
所以|3a－4b|＝4.
(3)因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，
所以|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
类型三 利用数量积解决垂直问题
[例3] 已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？
[分析] 可利用c⊥d?c·d＝0构造方程求m.
[解] 若c⊥d，则c·d＝0，
即(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，
即3ma2－9a·b＋5ma·b－15b2＝0.
由a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝3，
得27m－27＋15m－60＝0，解得m＝.
向量的垂直问题主要借助于结论a⊥b?a·b＝0，把几何问题转化为代数问题.
[变式训练3] 如图，已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，且|a|＝|b|，试用a，b表示，并计算·，判断与的位置关系．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝＝b，∴＝－＝b－a.而＝a＋b，
∴·＝(b－a)·(b＋a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2.
又∵|a|＝|b|，∴·＝0，即⊥.
类型四 用向量解决平面几何问题
[例4] 如图，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥CD.
[证明] 设＝λ，并设正三角形ABC的边长为a，
则有＝＋＝λ＋
＝λ＋
＝(2λ＋1)－λ，
又＝－，∥，
设＝k，
∴(2λ＋1)－λ＝k－k，
于是有解得λ＝.
∴＝，∴＝，
∵＝－，
∴＝＋＝＋
＝＋
＝＋，
∴·＝·
＝·－2＋2－·
＝a2cos60°－a2＋a2－a2cos60°＝0，
∴⊥，∴BP⊥CD.
?1?解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系.
?2?如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算.)
[变式训练4] 四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？并说明理由．
解：四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，
∴(a＋b)2＝(c＋d)2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2.
由于a·b＝c·d，
∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，①
同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②
由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，即四边形ABCD两组对边分别相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，
即a·b＝0，∴a⊥b，即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形．
类型五 平面向量数量积的综合应用
[例5] 设平面内两非零向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k和t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
[分析] 本题主要以向量为载体考查函数的有关知识，由已知条件x⊥y，即x·y＝0，可以得到函数关系式k＝f(t)，然后利用函数性质求最值．
[解] (1)∵a⊥b，∴a·b＝0，又x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0，
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，
即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－，即函数的最小值为－.
以向量为载体考查函数的性质、平面几何、解析几何、立体几何等是近几年高考热点问题，一定要认真掌握.
[变式训练5] 设a与b是两个互相垂直的单位向量，当k为整数时，向量m＝ka＋b与向量n＝a＋kb的夹角能否等于60°？证明你的结论．
解：不能．证明如下：
∵向量a与b是两个互相垂直的单位向量，
∴|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
又|m|2＝(ka＋b)2＝k2＋1，
|n|2＝(a＋kb)2＝k2＋1，
m·n＝(ka＋b)·(a＋kb)＝2k，
∴2k＝·×cos60°，即4k＝k2＋1，解得k＝2±，这与k为整数矛盾，∴m与n的夹角不能等于60°.
1．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝( C )
A．37
B．13
C.
D.
解析：|a＋b|＝＝
＝＝.
2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( D )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：由a∥b，可设b＝λa，又a⊥c，则a·c＝0，所以c(a＋2b)＝c·(1＋2λ)a＝(1＋2λ)ac＝0.故选D.
3．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝( C )
A．－8
B.
C．－
D．8
解析：由题意，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝cos60°＝.
∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e－2e＋7e1·e2＝－8＋＝－.
4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为－.
解析：∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a·b〉＝＝＝－.
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-8．1.3 向量数量积的坐标运算
[课程目标]
1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
[填一填]
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
(1)向量内积的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
2．向量的长度，距离和夹角公式
(1)向量的长度
已知a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间的距离
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
(3)两向量的夹角
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos〈a，b〉＝.
[答一答]
1．向量数量积的运算性质怎样用坐标表示？
提示：设单位向量e＝(1,0)，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)a·e＝e·a?a1＝cos〈a，e〉；
(2)a⊥b?a1b1＋a2b2＝0；
(3)a·a＝|a|2?|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝?cos〈a，b〉＝；
(5)|a·b|≤|a||b|?|a1b1＋a2b2|≤·
.
2．垂直向量和平行向量的坐标有什么关系？
提示：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0；反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥B．
(2)如果a⊥b，则向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．这是因为由a⊥b，得a1b1＋a2b2＝0(
)，当b1b2≠0时，
式可以表示为＝，即向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．
(3)对任意实数k，向量k(－b2，b1)与向量(b1，b2)垂直．
运用向量垂直的条件，可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系求参数．
3．应用两向量的夹角公式应注意什么问题？
提示：(1)运用向量内积的坐标运算求两向量的夹角，cos〈a，b〉的符号由a1b1＋a2b2确定，若a1b1＋a2b2＝0，则〈a，b〉＝，此时a⊥b；若a1b1＋a2b2>0，则〈a，b〉∈；若a1b1＋a2b2<0，则〈a，b〉∈.
(2)当cos〈a，b〉＝±1时，向量a与b共线，若a与b同向时，a1b1＋a2b2＝·；若a与b反向时，a1b1＋a2b2＝－·.
运用此公式可以求平面内任意两个非零向量的夹角．
类型一 向量数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(2a－b)；
(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
[分析] 直接应用公式a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2进行求解．
[解] (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2×(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17·c＝17×(2,1)＝(34,17)，
a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝a·(2×2＋5×1)＝9a＝(9,27)．
对于公式的直接应用，体现了一种程序化的思想，就是将已知逐步代入公式，直至算出结果，由(3)也进一步验证了向量的数量积的运算律中不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．
[变式训练1] 已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．
解：方法1：∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)，
b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
方法2：∵(5a－b)(b－3a)
＝5a·b－15a2－b2＋3a·b
＝－15a2＋8a·b－b2
＝－15×(9＋4)＋8[(－3)×(－4)－2k]－(16＋k2)
＝－55.
整理得：k2＋16k＋60＝0.
解得k＝－10或k＝－6.
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
类型二
两向量垂直的坐标表示
[例2] (1)设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________；
(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
[解析] (1)a＋mb＝(2＋m,4＋m)，
∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.
(2)解：∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
[答案] (1)－3 (2)见解析
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，题?2?中未明确哪个角是直角，故要分类讨论.
[变式训练2] 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝－1.
解析：－t＝(－3，－1)－t(2，－1)＝(－3－2t，t－1)，∵(－t)⊥，∴(－t)·＝2(－3－2t)－(t－1)＝－5t－5＝0，∴t＝－1.
类型三 两向量夹角的坐标表示
[例3] 已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，求λ的取值范围．
[分析] a与b夹角θ为钝角时，a·b<0，但是a·b<0时，<θ≤π，因此求解本题时，要排除θ＝π，即a与b反向的时候．
[解] 由题意cosθ＝＝，
∵90°<θ<180°，∴－1∴－1<<0，∴
即即
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
[变式训练3] (1)已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，求a与b的夹角；
(2)已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,5)，求证△ABC是锐角三角形．
解：(1)由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，得a·b＝＋1＋×(－1)＝4，|a|＝2，|b|＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)证明：由条件得＝(1,1)，＝(－4,3)，＝(3，－4)，因为·＝－4＋3＝－1<0，所以，的夹角是钝角，从而∠ABC为锐角．
同理∠BCA，∠BAC也为锐角，所以△ABC是锐角三角形．
类型四 向量的长度、距离问题
[例4] 设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
[解] (1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝3×(－2)＋5×1＝－6＋5＝－1，
所以c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝＝.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[变式训练4] 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与||.
解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.
又AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.
联立方程组解得
∴点D的坐标为(1,1)，||＝＝.
类型五 向量数量积的综合应用
[例5] 已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB．
[分析] 要求，关键是求出·的表达式．为此需设出C点的坐标，然后利用点C，O，P三点共线，用P点坐标将其表示出来，再借助于二次函数求最值．
[解] (1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，设＝t(t∈R)，则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t,1－t)，
所以·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
所以当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(4,2)，所以＝(－3,5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8.
所以cos∠ACB＝＝－.
本题利用三点共线去设点的坐标，借助于数量积的运算得到二次函数，将函数与向量运算结合在一起.
[变式训练5] 已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使m＝a＋(t2－3)b，n＝ka＋tb，且m⊥n，试求的最大值．
解：∵a＝(，－1)，b＝，
∴m＝a＋(t2－3)b＝，
n＝ka＋tb＝，
又∵m⊥n，∴m·n＝0，
即＋·＝0，
∴4k＋t(t2－3)＝0，∴k＝，
∴＝＋t＝(－t2＋4t＋3)＝－(t－2)2＋，
故当t＝2时，有最大值.
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于( B )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( B )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
解析：m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
∵(m＋n)⊥(m－n)，
∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3.
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B )
A．
B．2
C．4
D．12
解析：因为a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋2b|＝＝2.
4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝.
解析：设b＝(x，y)，故2b－a＝(2x－3,2y－3)＝(－1,1)?x＝1，y＝2，即b＝(1,2)，则a·b＝(3,3)·(1,2)＝9，|a|＝3，|b|＝，故cosθ＝＝.
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