8．2 三角恒等变换
8．2.1 两角和与差的余弦
[课程目标]
1.掌握两角和与差的余弦公式，会利用公式进行三角函数式的化简和求值．
2．掌握常用角的变换，会利用公式进行化简和求值．
[填一填]
1．两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)
2．两角差的余弦公式推导
推导：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，如图所示，则P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，||＝||＝1，
则α－β＝±〈，〉＋2kπ(k∈Z)．
∵·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
又·＝||||cos〈，〉＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (1)
在公式(1)中用－β代替β则有
cos[α－(－β)]＝cos(α＋β)
＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)
＝cosαcosβ－sinαsinβ，
即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
[答一答]
1．怎样理解两角和与差的余弦公式？
提示：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征为：
公式的左侧为α，β的差(和)角的余弦，右侧为α，β的余弦之积与正弦之积的和(差)简记为“余余正正符号异”．
(2)公式中的α、
β为任意角，即对任意的角α、
β，公式均成立．
(3)诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．两角中若有的整数倍的角，使用诱导公式会简化运算，不需要再用两角和与差的三角函数公式展开来计算．
(4)和(差)角的余弦公式不能按照分配律展开，即cos(α＋β)≠cosα＋cosβ，cos(α－β)≠cosα－cosβ.
(5)注意公式的逆用，变形应用是灵活使用公式的前提，如cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2＋2cos(α－β)，cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos2α等应用时需灵活掌握．
(6)利用公式可以将非特殊角的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值．利用公式可化简三角函数式，证明三角函数式，已知三角函数值求角等．
2．常见的角的变换有哪些形式？
提示：在解决求值一类问题时，常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼、变换等技巧，使已知角与所求角之间具有某种关系：如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α＋)－＝…，α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(β＋α)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等，掌握此类技巧可以减少运算量，提高解题速度与准确性．
类型一 公式的简单应用
[例1] (1)求cos75°的值；
(2)求证：cos＝cosθ－sinθ.
[分析] 正用公式，尝试从等式的左边推导出等式的右边．
[解] (1)cos75°＝cos(45°＋30°)
＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
＝×－×＝.
(2)证明：cos＝
＝＝cosθ－sinθ.
∴原等式成立．
1.正用Cα±β公式解题时，关键要记清公式的结构特征，尤其是中间的符号，以免出错.
2.熟记特殊角的三角函数值，是解决本章求值问题的必要基石.
[变式训练1] 已知sinx＝，x∈(0，π)，求cos.
解：∵sinx＝，x∈(0，π)，
∴当x∈时，cosx＝＝.
当x∈时，cosx＝－＝－.
∴当x∈时，cos＝cosxcos－sinxsin
＝×－×＝；
当x∈时，cos＝cosxcos－sinxsin
＝－×－×＝－.
类型二 逆用或变形应用公式
命题视角1：公式的逆用
[例2] 求值：
(1)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)；
(2)sin347°cos148°＋sin77°cos58°.
[解] (1)原式＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin[90°＋(x－70°)]sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin(x＋20°)sin(x－40°)
＝cos[(x＋20°)－(x－40°)]
＝cos60°＝.
(2)原式＝sin(－13°＋360°)·cos(180°－32°)＋sin77°cos58°
＝sin(－13°)(－cos32°)＋sin77°cos58°
＝－sin13°(－cos32°)＋sin77°·cos(90°－32°)
＝cos77°cos32°＋sin77°sin32°
＝cos(77°－32°)
＝cos45°＝.
本题若将各式用两角和与差的三角函数公式展开，运算将很麻烦，以上解法是对上式进行整体分析，寻找角度之间的关系，再逆用公式进行化简.
[变式训练2] 求值：
(1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°；
(2)sin＋cos.
解：(1)原式＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝.
(2)原式＝
＝
＝cos＝cos＝.
命题视角2：公式的变形应用
[例3] 化简：.
[分析] 本题主要考查两角和与差的余弦公式的灵活运用，本题中出现的10°，20°角直观上看似乎没有联系．但是两者之和是30°，所以把10°等价转化为30°－20°，就可以用两角差的余弦公式化简．
[解] 原式＝
＝＝.
本题的解题关键是借助已知角之和为30°，将10°转化为30°－20°，利用两角差的余弦公式求解.
[变式训练3] 求的值．
解：原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
类型三 给值求值问题
[例4] 设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
[分析] 注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：－＝，因此可以求出cos.
[解] ∵α∈，β∈.
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝.
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝－×＋×＝.
[变式训练4] 已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
解：因为<α<，0<β<，
所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
类型四
给值求角问题
[例5] 已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．
[解] ∵α，β均为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝，
又∵sinα
∴－<α－β<0，∴α－β＝－.
解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图像就易求出角的值.
[变式训练5] 已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
解：∵α，β∈且cosα＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
1．cos(－15°)的值是( D )
A．
B．
C．
D．
解析：cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°
＝·＋×＝.
2．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝，则cosαcosβ的值为( D )
A． B．
C． D．
解析：由两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
∴cos(α＋β)＋cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2cosαcosβ＝.
∴cosαcosβ＝.
3．已知α为第二象限角，若sinα＝，则cos等于( A )
A．－
B．
C．－
D．
解析：∵α是第二象限角，
∴cosα＝－＝－.
∴cos＝cosαcos－sinαsin
＝－×－×＝－.
4．cos(27°＋x)sin(57°＋x)－sin(207°＋x)sin(327°＋x)＝.
解析：原式＝cos(27°＋x)sin(57°＋x)－sin(180°＋27°＋x)sin(360°－33°＋x)
＝cos(27°＋x)sin(57°＋x)－sin(27°＋x)sin(33°－x)
＝cos(27°＋x)cos(33°－x)－sin(27°＋x)sin(33°－x)
＝cos[(27°＋x)＋(33°－x)]
＝cos60°＝.
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-8．2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
[课程目标]
1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程及公式的结构特征．
2．掌握两角和与差的正弦公式并能运用公式进行化简和求值．
[填一填]
1．两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)
2．公式的推导
(1)两角和的正弦公式的推导
运用Cα－β和诱导公式，有
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscosβ＋sinsinβ
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)两角差的正弦公式的推导
在公式Sα＋β中用－β代替β可以得到
sin(α－β)
＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
即sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
将其简记为Sα－β，即差角的正弦公式．
3．化一公式
y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝
.
[答一答]
1．应用两角和与差的正弦公式应注意哪些问题？
提示：(1)公式中的α，β均为任意角．
(2)当α(或β)中有一个是的整数倍角时，直接利用诱导公式更简捷一些．
(3)对公式的应用，要能熟练地“正用”“逆用”“变形用”，如sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.
(4)公式的结构特征：两个角的正、余弦交叉相乘再相加(减)，即“正余余正符号同”．要注意与两角和与差的余弦公式“余余正正符号异”对比记忆．
(5)正弦函数的计算不符合分配律，即sin(α－β)≠sinα－sinβ.
2．使用公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)时应注意什么问题？
提示：(1)asinx，bcosx中的x是同一个角．
(2)一般在提取系数时，我们提取，特殊情况下，也可以提取－.
(3)θ由cosθ＝，sinθ＝决定．通常将θ化归到区间内．
(4)若令sinφ＝，cosφ＝，则有asinx＋bcosx＝(sinφsinx＋cosφcosx)＝cos(x－φ)．
因此，化一公式也可看作是两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用．
类型一 两角和与差的正弦公式的简单应用
[例1] 求值：(1)sin44°cos74°－sin74°cos44°；
(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°.
[分析] 尝试运用非特殊角向特殊角转化或创造条件逆用公式，然后求值．
[解] (1)原式＝sin44°cos74°－cos44°sin74°
＝sin(44°－74°)＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°
＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°
＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－.
该类问题融两角和与差的三角函数及诱导公式于其中，求解时先借助诱导公式分析角之间的关系，在此基础上逆用两角和与差的正弦、余弦公式化简求值.
[变式训练1] 求值：
(1)sin195°；
(2)cos285°cos15°－sin255°sin15°.
解：(1)原式＝sin(60°＋135°)＝sin60°cos135°＋cos60°sin135°＝×(－)＋×＝.
(2)原式＝cos(270°＋15°)cos15°－sin(270°－15°)sin15°
＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°
＝sin(15°＋15°)＝sin30°＝.
类型二 给值求值问题
[例2] 已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β是第三象限角，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．
[分析] 求解过程中注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦公式中，求出和角或差角的正弦．
[解] ∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－＝－＝－.
∵cosβ＝－，β是第三象限角，
∴sinβ＝－＝－＝－.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×－×＝－.
本题主要是和角差角公式的直接应用，在解题时务必要注意角的范围.
[变式训练2] 已知α∈，β∈，且sin(α＋β)＝，cosβ＝－，求sinα.
解：由0<α<，<β<π，
得<α＋β<，
故由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝－.
由cosβ＝－，得sinβ＝.
所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝×－×＝.
类型三 给值求角问题
[例3] 已知α，β均为锐角，且cosα＝，sinβ＝，求α－β.
[分析] 根据平方关系求出sinα，cosβ，从而可求出sin(α－β)．
[解] 由已知α，β均为锐角，且cosα＝
，sinβ＝，得sinα＝＝，cosβ＝＝，
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×－×＝－.
又∵sinα∴－<α－β<0，∴α－β＝－.
已知α，β的三角函数值求α，β的和或差的值，通常是先求其三角函数值，再求角.需要注意的是，要对角的范围进行判断，再确定其值.
[变式训练3] 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，试求角α的大小．
解：因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sinβ＝－，知cosβ＝.
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
又α∈，所以α＝.
类型四 利用公式解三角形
[例4] 在△ABC中，sinA＋cosA＝，求sinA的值．
[解] 解法1：∵sinA＋cosA＝cos(A－45°)＝，
∴cos(A－45°)＝.
又∵0°∴sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.
解法2：∵sinA＋cosA＝sin(A＋45°)＝，
∴sin(A＋45°)＝.
又∵0°∴sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.
解决三角形中的有关问题的解题技巧
(1)三角形的内角和等于180°.
(2)创设条件使之能运用两角和与差的三角函数公式．
(3)记住以下常用结论：
在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sin＝cos，cos＝sin，tan(A＋B)＝－tanC．
[变式训练4] △ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( C )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0.亦即sin(A－B)＝0，
∴A－B＝0，A＝B，从而△ABC是等腰三角形．
类型五 asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)的应用
命题视角1：利用公式化简函数
[例5] 求函数y＝sin＋cos的最大值和最小正周期．
[分析] 将函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后求其最大值和最小正周期．
[解] y＝sin＋cos(＋2θ)
＝＋
＝(cos2θ－sin2θ)＝－sin，
当2θ－＝2kπ－，即θ＝kπ－(k∈Z)时，
ymax＝，T＝＝π，
∴函数的最大值是，最小正周期是π.
[变式训练5] 求函数f(x)＝3cos5x＋4sin5x的最大值、最小值、最小正周期．
解：f(x)＝sin(5x＋θ)＝5sin(5x＋θ)，其中θ＝arctan.
所以函数f(x)＝3cos5x＋4sin5x的最大值是5，最小值是－5，最小正周期为.
命题视角2：利用公式限定定义域
[例6] 已知函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2.
(1)若x∈R，求函数的最大值和最小值；
(2)若x∈，求函数的最大值和最小值．
[分析] 将sinx＋cosx平方得1＋2sinxcosx，于是sinx＋cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替，这样就可以把原函数转化为关于此未知数的二次函数．
[解] (1)设t＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]，
则t2＝1＋2sinxcosx，
∴2sinxcosx＝t2－1.
∴y＝t2＋t＋1＝2＋∈.
∴ymax＝3＋，ymin＝.
(2)若x∈，则t∈[1，]．
∴y∈[3,3＋]，即ymax＝3＋，ymin＝3.
在解与三角函数有关的最值问题中经常用到三角函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.在这类问题中，要注意最值点是否在定义域内.
[变式训练6] 求函数f(x)＝的最大值和最小值．
解：设sinx＋cosx＝t，则t＝sin.
∵－1≤sin≤1，又1＋sinx＋cosx≠0，
∴t∈[－，－1)∪(－1，]．
则sinxcosx＝，
f(x)＝＝.
当t＝－时，
f(x)取最小值－.
当t＝时，
f(x)取最大值.
因此，f(x)的最小值是－，最大值是.
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( A )
A． B． C． D．
解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是( C )
A．
B．π
C．2π
D．4π
解析：y＝sinx－cosx＝＝sin.∴原函数的最小正周期为2π.
3．已知θ是锐角，则sinθ＋cosθ的值可能是( A )
A．
B．
C．
D．1
解析：∵θ为锐角，∴θ＋∈.
∴sin(θ＋)∈.
又∵sinθ＋cosθ＝sin，
∴sinθ＋cosθ∈(1，]．
因此sinθ＋cosθ的值不可能等于，，1.
4.＝2－.
解析：原式＝＝
＝＝＝＝2－.
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9
-第2课时 两角和与差的正切
[课程目标]
1.理解两角和与差的正切公式的推导．
2．掌握公式的正、逆向及变形运用．
3．能够灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明．
[填一填]
1．两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝，(Tα＋β)
tan(α－β)＝.(Tα－β)
2．公式的推导
tan(α＋β)＝＝，
把后面一个分式的分子、分母分别除以cosαcosβ(cosαcosβ≠0)得：tan(α＋β)＝.
以－β代替上式中β可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝.
[答一答]
1．运用两角和与差的正切公式时应注意哪些问题，公式有哪些应用？
提示：(1)公式Tα＋β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
(2)公式Tα－β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋(k∈Z)，且在从左向右写出等式时，角α，β的位置不要写反．
应用：由Tα＋β，Tα－β可知：(1)已知α，β的正切值可以求α＋β的正切值，实际上在公式中共有3个量：tan(α±β)，tanα，tanβ.因此知二求一．(2)利用公式可以进行求值、化简、证明三角恒等式．(3)特别地，当α＝45°时，tan(45°±θ)＝.
2．两角和与差的正切公式有哪些常见变形？
提示：对于公式tan(α＋β)＝而言，两边都是角的正切，因此，可以有以下一些变形：
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
(2)tanαtanβ＝1－；
(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)当β＝时，tan(α＋β)＝tan＝.
对于公式tan(α－β)＝，也有类似的结论．
类型一 两角和与差的正切公式的直接应用
命题视角1：公式的正用
[例1] 已知sinα＝－，α是第四象限角，求tan，tan的值．
[分析] 已知sinα的值，求tan用两角差的正切公式，而求tan则只能用诱导公式来做．
[解] 因为sinα＝－，α是第四象限角，得
cosα＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
于是有tan＝＝＝－7.
tan＝＝
＝＝＝.
在运用正切的和差角公式来解题时一定要注意公式成立的条件.
[变式训练1] (1)求tan105°的值；
(2)已知cosθ＝－，θ∈，求tan的值．
解：(1)tan105°＝tan(180°－75°)＝－tan75°
＝－tan(45°＋30°)＝－＝－
＝－＝－2－.
(2)∵cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－＝－，
∴tanθ＝＝.
∴tan＝＝＝－.
命题视角2：公式的逆用及变形应用
[例2] 求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)……(1＋tan44°)；
(3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°.
[分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．
[解] (1)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，
所以原式＝222.
(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝＝，
∴tan25°＋tan35°＝(1－tan25°tan35°)，
∴tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝.
1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的.,2.若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有?1＋tanα??1＋tanβ?＝2.,3.若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan?α±β?的变形公式.
[变式训练2] 求值：(1)；
(2)tan＋tan＋tan·tan.
解：(1)原式＝＝
＝－tan(15°＋45°)＝－tan60°＝－.
(2)原式＝tan·＋tan·tan
＝tan·＋tan·tan
＝－tantan＋tan·tan＝.
类型二 给值求值问题
[例3] 已知sinα＝，α∈(0,2π)，tan(α－β)＝，求tanβ及tan(2α－β)．
[分析] 先求出tanα，然后将所求式中的角分拆，并运用两角和与差的正切公式可求解．
[解] 因为sinα＝>0，所以α∈(0，π)．
(1)当α∈时，
cosα＝＝＝，
所以tanα＝＝＝，
所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2；
(2)当α∈时，
cosα＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝＝－，
所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝－2，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝－.
综上可得，当α∈时，tanβ＝，tan(2α－β)＝2；
当α∈时，tanβ＝－2，tan(2α－β)＝－.
[变式训练3] 已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan.
解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－，
tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝
＝＝，
tan＝＝＝.
类型三 给值求角问题
[例4] 已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[分析] 本题主要考查已知三角函数值求角，可先利用已知条件求出tan(2α－β)的值，然后由2α－β的范围作出判断，求出2α－β的值．
[解] ∵tanβ＝－，tan(α－β)＝，
∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝
＝＝1.
∵tanα＝>0，tanβ＝－<0，
∴α∈，β∈，α－β∈(－π，0)．
又tan(α－β)＝>0，∴α－β∈.
2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π.
[变式训练4] 已知－<α<，－<β<，且tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，求α＋β的值．
解：由根与系数的关系，得tanα＋tanβ＝－6<0，
tanαtanβ＝7>0，∴tanα<0，tanβ<0.
又∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0，
∴－π<α＋β<0.
∵tan(α＋β)＝＝＝1.
∴α＋β＝－π.
类型四 在解三角形中的应用
[例5] 已知在△ABC中，满足tanA＋tanB＋＝tanAtanB，且sinAcosA＝，判断△ABC形状．
[分析] 先利用tan(A＋B)变形转化tanA＋tanB＋＝tanAtanB得出结论，再与另一个条件sinAcosA＝结合，最后求解．
[解] 若tanAtanB＝1，
∵tanA＋tanB＋＝tanAtanB，
则tanA＋tanB＝0，∴tanA＝－tanB，
tan2B＝－1，不可能，故tanAtanB≠1.
由tanA＋tanB＋＝tanAtanB得
＝－，即tan(A＋B)＝－.
∴tanC＝－tan(A＋B)＝，从而C＝60°.
由sinA·cosA＝得sin2Acos2A＝化为
16cos4A－16cos2A＋3＝0，
∴cos2A＝或cos2A＝，
cosA＝±或cosA＝±.
又A∈(0，π)，∴A＝30°或150°或60°或120°.
当A＝150°或120°时不符合题意，舍去．
当A＝30°时，C＝60°，
∴B＝90°，与tanB有意义矛盾，舍去．
∴A＝60°，B＝60°，C＝60°，即
△ABC为正三角形．
判断三角形形状类题型的思路是得出边与角的特殊关系，同时注意挖掘三角形隐含条件，如A＋B＋C＝π，大边对大角，两边之和大于第三边等.
[变式训练5] 已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．
解：若tanBtanC＝1，
∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，则tanB＋tanC＝0，
∴tanB＝－tanC，∴tan2C＝－1，这不可能．
故tanBtanC≠1.
由tanB＋tanC＋tanBtanC＝得，＝，
∴tan(B＋C)＝.
同理tanAtanB≠1，
∵tanA＋tanB＝tanA·tanB－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又∵A，B，C为△ABC的内角，
∴B＋C＝60°，A＋B＝150°.
∴A＝120°，B＝C＝30°.
∴△ABC为顶角是钝角的等腰三角形．
1．若tanα＝3，tanβ＝，则等于( C )
A．－3
B．－
C．3
D．
解析：＝＝＝3.
2．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( A )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：由条件得tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3，所以选A．
3．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝( B )
A．m
B．(1－m)
C．(m－1)
D．(m＋1)
解析：tan(28°＋32°)＝tan60°＝＝＝，∴tan28°＋tan32°＝(1－m)．
4．若tan＝3，则tanα的值等于.
解析：tanα＝tan
＝＝＝.
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-8．2.3 倍角公式
[课程目标]
1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能运用这些公式进行简单的恒等变换．
[填一填]
1．倍角公式
sin2α＝2sinαcosα，(S2α)
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)
tan2α＝.(T2α)
上面三组公式，称作倍角公式．
2．倍角公式的推导
在公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令β＝α，得
sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；
cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan(α＋α)＝＝.
即sin2α＝2sinαcosα，简记为S2α；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，简记为C2α；
tan2α＝，简记为T2α.
[答一答]
1．应用倍角公式应注意哪些问题？
提示：(1)在S2α、C2α中，α是任意角．
(2)在T2α中，α≠kπ＋，且α≠＋(k∈Z)时公式成立(因为α＝＋kπ(k∈Z)时，tanα的值不存在；当α＝＋(k∈Z)时，tan2α的值不存在)．当α＝＋kπ(k∈Z)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的．这时求tan2α的值可以利用诱导公式，即tan2α＝tan2＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.
(3)倍角公式是和角公式的特例，且在一般情况下，sin2α≠2sinα，如sin≠2sin，当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα成立，同样，在一般情况下，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
(4)倍角公式不仅可运用于2α是α的2倍角的情况，还可以运用于诸如4α作为2α的2倍，α作为的2倍，3α作为的2倍，α＋β作为的2倍的情况等等．要熟练地利用倍角公式，必须熟悉什么样的两个角成2倍关系，例如：
sin＝2sincos，
cos＝cos2－sin2.
2．倍角公式有哪些方面的应用？
提示：(1)有了二倍角的三角函数公式，就可以用单角的三角函数来表示二倍角的三角函数．
(2)有了二倍角的三角函数公式，可以对某些类似的式子进行化简求值(角)、证明三角函数式．
(3)要熟悉这组公式的逆用．如
sin3αcos3α＝sin6α，
4sincos＝2·＝2sin，
＝tan2α，
cos22α－sin22α＝cos4α.
3．二倍角公式有哪些常见的变形形式？
提示：升幂公式：①1＋cosα＝2cos2，
1－cosα＝2sin2，
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，
1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
(sinα±cosα)2＝1±sin2α.
类型一 给角求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1
500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)
＝－tan60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝4.
根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征.
[变式训练1] 利用倍角公式求下列各式的值：
(1)sincos；(2)cos2－sin2；
(3)－sin2；(4).
解：(1)原式＝×2sincos
＝×sin＝×＝；
(2)原式＝cos＝cos＝；
(3)原式＝＝cos＝×＝；
(4)原式＝tan(2×15°)＝tan30°＝.
类型二 给值求值问题
[例2] (1)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，求cos2α；
(2)已知sin·sin＝，α∈，求sin4α.
[解] (1)由sinα＋cosα＝两边平方可得1＋sin2α＝，sin2α＝－.∵α是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα＝
－＝－＝－，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝×＝－.
(2)方法1：因为sin·sin
＝sincos＝，
所以sin＝，即cos2α＝.
因为α∈，则2α∈(π，2π)，
所以sin2α＝－＝－，
于是sin4α＝2sin2αcos2α＝－.
方法2：由条件得(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，
即(cos2α－sin2α)＝，所以cos2α＝.
由2α∈(π，2π)得sin2α＝－，
所以sin4α＝－.
对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论.应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要掌握拆角、拼角等技巧.
[变式训练2] 已知x∈，sin＝－，求cos2x的值．
解：方法一：由已知条件得cosx－sinx＝－，
将此式两边平方得2sinxcosx＝，
由此可得(cosx＋sinx)2＝.
因为x∈，所以sinx>0，cosx>0，
所以cosx＋sinx＝.
故cos2x＝cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)
＝×＝－.
方法二：cos2x＝sin
＝2sincos，
因为sin＝－，x∈，
所以－x∈，cos＝，
故cos2x＝2××＝－.
类型三 三角函数式的化简
[例3] (1)化简.
(2)已知π<α<π，化简＋
.
[解] (1)方法一：原式＝
＝
＝＝＝1.
方法二：原式＝
＝
＝＝＝1.
(2)∵π<α<π，∴<<π，
∴＝＝－cos，
＝＝sin.
∴＋
＝＋
＝＋
＝－cos.
?1?对于三角函数式的化简有下面的要求：,①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.,?2?化简的方法：,①弦切互化，异名化同名，异角化同角.,②降幂或升幂.,③一个重要结论：?sinθ±cosθ?2＝1±sin2θ.
[变式训练3] 化简：cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ.
解：cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ
＝＋－cos2θ
＝1＋[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－cos2θ.
＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°)－cos2θ
＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ
＝1＋cos2θ－cos2θ＝1.
类型四 三角恒等式的证明
[例4] 已知tan(α＋β)＝3tanα，
求证：2sin2β－sin2α＝sin(2α＋2β)．
[分析] 先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答．
[证明] tan(α＋β)＝3tanα，
可变为sin(α＋β)·cosα＝3sinα·cos(α＋β)
?sin(α＋β)·cosα－sinα·cos(α＋β)＝2sinα·cos(α＋β)
?sin[(α＋β)－α]＝2sinα·(cosαcosβ－sinαsinβ)
?sinβ＝2sinα·cosα·cosβ－2sin2α·sinβ
?(1＋2sin2α)·sinβ＝sin2α·cosβ.
两边同乘以2cosβ(∵cosβ≠0，否则由1＋2sin2α≠0得sinβ＝0，矛盾)，
得(1＋2sin2α)·sin2β＝sin2α·2cos2β
?sin2β＋(1－cos2α)·sin2β＝sin2α·(1＋cos2β)
?2sin2β－sin2α＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝sin(2α＋2β)．
∴命题成立．
证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异?角、函数、运算的差异?，从解决某一差异入手?同时消除其他差异?，决定从该等式的哪边证明?也可两边同时化简?，当差异不易消除时，可采用转换命题法或用分析法等方法作进一步的化简.
变式训练4] 求证：tan2x＋＝.
证明：左边＝tan2x＋
＝＋＝
＝＝
＝＝＝右边．
所以tan2x＋＝.
类型五 三角公式的综合应用
[例5] 已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x，x∈R.求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．
[分析] 形如y＝Asin2x＋Bsinxcosx＋Ccos2x的函数求周期性、单调性、最值等，可逆用倍角公式，化为一个一次式，从而使问题解决．
[解] f(x)＝－(1－2sin2x)＋×(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
本题是逆用二倍角公式，将已知函数化简成
从而使问题得以解决.在求形如y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋d函数的最值，应先降幂，再利用公式化成和角或差角的三角函数来求.
[变式训练5] 已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sinωxcosωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋.
由于ω>0依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
1．cos＝，则cos(π－2α)＝( C )
A．－
B.
C．－
D.
解析：cos(π－2α)＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
2．设α为钝角，且3sin2α＝cosα，则sinα等于( B )
A．－
B.
C.
D.
解析：∵α为钝角，∴sinα>0，cosα<0.由3sin2α＝cosα，可得6sinαcosα＝cosα，∴sinα＝.
3．已知sin2α＝，则tanα＋等于( D )
A．1 B．2
C．4 D．3
解析：tanα＋＝＋＝＝3.故选D.
4．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tan2α＝.
解析：∵a∥b，∴＝＝tanα.
∴tan2α＝＝＝.
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-8．2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角公式
[课程目标]
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
[填一填]
1．半角公式
sin＝±(S
eq
\s\do8()
)；
cos＝±(C
eq
\s\do8()
)；
tan＝±(T
eq
\s\do8()
)．
2．半角公式的推导
在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α，cos2α＝2cos2α－1中，用代替α得cosα＝1－2sin2，cosα＝2cos2－1.
由此得cos＝±(C
eq
\s\do8()
)，
sin＝±(S
eq
\s\do8()
)．
上面两式的两边分别相除，可得
tan＝±(T
eq
\s\do8()
)．
3．半角正切公式的有理形式
根据正切函数的定义，得tan＝＝，tan＝＝，由此得到半角正切公式的有理形式：tan＝，tan＝.
[答一答]
1．应用半角的正弦、余弦公式时应注意哪些问题？
提示：(1)半角是相对于α而言的，＋＝2(＋)，即＋是＋的一半，α＋＝2(＋)＝4(＋)＝…，要正确理解倍角与半角的关系．
(2)C，S前的正负号是由所在的象限确定的，在没有给出决定符号的条件时，应在根号前保留正负两个符号；如果题目中给出角α的具体范围，则先求出所在的范围，然后再根据所在的范围确定符号．
2．应用半角的正切公式时应注意哪些问题？
提示：公式tan＝不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与公式tan＝±和tan＝的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k＋1)π(k∈Z)，而第一个公式除α≠(2k＋1)π(k∈Z)之外，还必须有α≠2kπ(k∈Z)．当然，这三个式子可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用．
C
eq
\s\do8()
，S
eq
\s\do8()
，T
eq
\s\do8()
可以变形为cos2＝，sin2＝，tan2＝，从左向右为降幂，从右向左为升幂．使用这些变形公式，可以进行角之间的转化，可以将三角函数的次数降低或升高，从而达到证明或化简的目的．
3．怎样确定半角公式中根号前的正负号？
提示：确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号原则：
(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
(2)若给出角α的具体范围(既某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围确定符号．
(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：
α
sin
cos
tan
第一象限
第一、三象限
＋、－
＋、－
＋
第二象限
第一、三象限
＋、－
＋、－
＋
第三象限
第二、四象限
＋、－
－、＋
－
第四象限
第二、四象限
＋、－
－、＋
－
4.什么是万能公式？
提示：sinα＝，cosα＝，
tanα＝.
类型一 三角函数式的求值
[例1] 求下列各式的值：
(1)tan＋；
(2)·.
[分析] 运用半角正切公式tan＝±＝＝，为避免符号的选择，最好选用后面的两个公式．
[解] (1)原式＝＋
＝＋＝＋
＝1＋＋.
(2)解法1：原式＝·
＝－2··tan10°＝－2.
解法2：原式＝·
＝·
＝－·＝－2.
解法3：原式＝·
＝·
＝·＝－2.
[变式训练1] (1)求值：sincos；
(2)设π<θ<2π，cos＝a，求
①sinθ的值；②cosθ的值；③sin2的值．
解：(1)sincos＝sin＝
＝＝＝.
(2)①∵π<θ<2π，∴<<π，
又cos＝a，∴sin＝＝，
∴sinθ＝2sincos＝2a.
②cosθ＝2cos2－1＝2a2－1.
③sin2＝＝.
类型二 三角函数式的化简
[例2] 化简＋
.
[解] ∵π<α<2π，∴π<<π，
∴＝＝sin，
＝＝－cos，
＝＝－，
＝＝sin－cos.
∴原式＝＋
＝
＝＝＝2tanα.
[变式训练2] 已知π<α<，化简
＋.
解：因为π<α<，所以<<，利用半角公式可得，
＝＝－cos，
＝＝sin.
所以原式＝＋
＝＋
＝－cos.
类型三 三角函数式的证明
[例3] 求证＝sin2α.
[分析] 从函数名称上看可以先切化弦．在切化弦时，用tan＝，也可用tan＝＝进行．
[证明] 证法1：左边＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
故原式成立．
证法2：左边＝
＝
＝＝＝sin2α＝右边．
故原式成立．
证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等.
[变式训练3] 求证：sin2－1＝－.
证明：由sin＝±，
知sin＝±，
∴sin2＝，
∴sin2－1＝－1＝－，
原等式得证．
类型四 半角公式的综合应用
[例4] 设a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，其中α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，其中θ1，θ2∈(0，)，且θ1－θ2＝，求sin的值．
[分析] 通过向量的夹角公式表示出θ1，θ2的余弦值，并用α，β表示θ1，θ2，结合条件及半角的正弦公式即可求解．
[解] a＝
＝2cos，
b＝
＝2sin.
∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，
∴∈，∈，
故|a|＝2cos，|b|＝2sin，
cosθ1＝＝＝cos，
cosθ2＝＝＝sin＝cos.
∵0<<，0<－<，
∴θ1＝，θ2＝－.
又θ1－θ2＝，∴－＋＝，故＝－，
∴cos＝cos＝，
∴sin＝－＝－.
[变式训练4] 已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα，tanβ，且α，β∈，求tan的值．
解：∵由根与系数的关系可知
且a>1，∴＝.∴tan(α＋β)＝.
又∵－<α<0，－<β<0，
∴－π<α＋β<0，
∴sin(α＋β)＝－，cos(α＋β)＝－，
∴tan＝＝－2.
1．tan15°＋等于( C )
A．2 B．2 C．4 D.
解析：tan15°＋＝＋＝2－＋2＋＝4.
2．cosθ＝－，<θ<3π，则sin＝( D )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵<θ<3π，∴<<，∴是第三象限角，
∴sin＝－＝－＝－.
3．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于( D )
A．－
B.
C.
D．－
解析：∵5π<θ<6π，∴<<3π，<<，∴sin＝－＝－.
4．设π<α<3π，cosα＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式中正确的是①.
①n＝－；②n＝；③p＝；
④p＝－.
解析：由题得<<，∴cos＝－，
即n＝－.∵<<，∴cos的符号不能确定．
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-第2课时 积化和差、和差化积公式
[课程目标]
1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程；了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力．
2．掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
[填一填]
1．三角函数的积化和差公式
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
2．积化和差公式的推导
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(Sα－β)，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(Cα－β)，
(Sα＋β)＋(Sα－β)，(Sα＋β)－(Sα－β)，
(Cα＋β)＋(Cα－β)，(Cα＋β)－(Cα－β)，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ，
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ，
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④
公式①②③④叫做积化和差公式．
3．三角函数的和差化积公式
sinx＋siny＝2sincos，
sinx－siny＝2cossin，
cosx＋cosy＝2coscos，
cosx－cosy＝－2sinsin.
4．和差化积公式的推导
在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.
把这些值代入积化和差的公式①中，就有
sin·cos
＝
＝(sinθ＋sinφ)．
∴sinθ＋sinφ＝2sin·cos.⑤
同样可得，
sinθ－sinφ＝2cos·sin，⑥
cosθ＋cosφ＝2cos·cos，⑦
cosθ－cosφ＝－2sin·sin.⑧
公式⑤⑥⑦⑧叫做和差化积公式．
[答一答]
1．积化和差与和差化积公式有哪些特点？
提示：(1)积化和差公式的特点
①同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半；
②等式左边为单角α、β，等式右边是它们的和(差)角；
③如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负．
(2)和差化积公式的特点
①余弦函数的和或差化为同名函数之积；
②正弦函数的和或差化为异名函数之积；
③等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式；
④只有余弦差一组的符号为负，其余均为正．
2．三角恒等变换的基本原则是什么？
提示：(1)化异角为同角：利用三角函数公式把不同的角化为相同的角．
(2)化异次为同次：利用升降幂公式把异次化为同次．
(3)化异名为同名：利用诱导公式把不同名的三角函数化为同名三角函数．
(4)三角函数式化简的原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低(正整数指数幂)，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应求出其值．
类型一 积化和差公式
[例1] 运用积化和差公式计算或化简下列各式：
(1)sin·cos；
(2)2cos35°sin55°；
(3)cos(x－y)cos(x＋y)．
[分析] 本题主要考查积化和差公式，所给形式均符合公式形式，按公式化积即可．
[解] (1)原式＝
＝
＝×
＝－.
(2)原式＝sin(35°＋55°)－sin(35°－55°)
＝sin90°＋sin20°
＝1＋sin20°.
(3)原式＝{cos[(x－y)＋(x＋y)]＋cos[(x－y)－(x＋y)]}
＝[cos2x＋cos(－2y)]
＝cos2x＋cos2y.
[变式训练1] sincos化成和差为( B )
A.sin＋sin
B.cos(α＋β)＋sin
C.sin(α－β)＋sin
D.cos(α＋β)＋sin
解析：原式＝＝cos(α＋β)＋sin.
类型二 和差化积公式
[例2] 将sin2α－cos2β化为积的形式．
[分析] 解此题可以先因式分解，再和差化积或先降幂再和差化积．
[解] 方法一：sin2α－cos2β＝(sinα＋cosβ)(sinα－cosβ)
＝
＝2sin·cos·2cos·sin
＝sin·sin
＝－cos(α＋β)·cos(α－β)．
方法二：sin2α－cos2β＝－
＝－(cos2α＋cos2β)＝－cos(α＋β)cos(α－β)．
[变式训练2] 把下列各式化为积的形式：
(1)cosx－；
(2)1＋2sinx.
解：(1)原式＝cosx－cos
＝－2sinsin
＝－2sinsin.
(2)原式＝2＝2
＝4sincos
＝4sincos.
类型三 三角函数式的化简、求值与证明
命题视角1：运用公式对三角函数式化简求值
[例3] 化简并求值．
(1)sin10°sin30°sin50°sin70°；
(2)cosπ＋cosπ＋cosπ.
[分析] 利用形式的变化以及特殊值求解，注意积与和差的转化．
[解] 解法1：(1)sin10°sin30°sin50°sin70°
＝－(cos60°－cos40°)sin70°
＝－sin70°＋sin70°cos40°
＝－sin70°＋(sin110°＋sin30°)
＝－sin70°＋sin70°＋＝.
(2)cosπ＋cosπ＋cosπ
＝2coscos＋2cos2－1
＝2cos－1
＝－4coscoscos－1
＝－1
＝－1
＝－－1＝－－1
＝－1＝－.
解法2：(1)sin10°sin30°sin50°sin70°
＝cos20°cos40°cos80°
＝
＝＝
＝＝＝.
(2)cos＋cos＋cos
＝
＝
＝－＝－.
对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止.“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的.试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα，sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解.
[变式训练3] 求下列各式的值．
(1)sin54°－sin18°；
(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.
解：(1)sin54°－sin18°
＝2cossin
＝2cos36°sin18°＝2×
＝＝＝＝.
(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°
＝2cos120°cos26°＋2×(cos120°＋cos26°)
＝2××cos26°＋＋cos26°
＝－cos26°＋＋cos26°
＝－.
命题视角2：运用公式证明三角函数式
[例4] 求证：tan－tan＝.
[证明] 方法1：tan－tan＝－
＝
＝＝
＝
＝.
方法2：＝
＝＝－
＝tan－tan.
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练4] 在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos.
证明：因为A＋B＋C＝π，
所以C＝π－(A＋B)，＝－.
因此sinA＋sinB＋sinC
＝2sin·cos＋sin(A＋B)
＝2sincos＋2sincos
＝2sin
＝2sin·2cos·cos
＝2cos·2cos·cos
＝4cos·cos·cos.
类型四 在解三角形中的应用
[例5] 在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
[解析] 由已知等式得[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝(1＋cosC)，
又A＋B＝π－C，
所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，
所以cos(A－B)＝1.
又因为在三角形中，所以A－B＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．
[答案] B
判定三角形形状的基本思路：对已知三角恒等式化简变形，把三角函数关系式最终化成角之间的关系，利用角之间的关系判定形状，在变形时注意合理利用内角和定理及其变形
[变式训练5] 已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值．
解：∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∴原式可化为cosA＋cosC＝－2cosAcosC.
∴2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
由A＋C＝120°，代入上式得
cos＝－cos(A－C)＝－2cos2＋，
即2cos2＋cos－＝0，
∴(2cos＋3)(cos－)＝0，
∵2cos＋3≠0，∴cos＝.
1．给出下列四个关系式：
①sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]
②sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
③cosαcosβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
④cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
其中不正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．cos15°sin105°＝( A )
A.＋
B.－
C.＋1
D.－1
解析：cos15°sin105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝(sin120°＋sin90°)＝＝＋.
3．已知α－β＝且cosα－cosβ＝，则cos(α＋β)等于( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由cosα－cosβ＝，得－2sin·sin＝，
即sin＝－，
∴cos(α＋β)＝1－2sin2＝1－2×2＝.
4．函数y＝的最小正周期是.
解析：∵y＝＝
＝tan(2x＋)，
∴y的最小正周期为.
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