8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
[目标]
1.能用基本事实4解决一些数学问题；2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题．
[重点]
基本事实4的应用．
[难点]
等角定理．
要点整合夯基础
知识点一 基本事实
4
[填一填]
[答一答]
1．如图，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC与A′B′平行吗？
提示：平行．
知识点二 等角定理
[填一填]
[答一答]
2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( C )
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．大小无法确定
解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.
3．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？
提示：相等．
典例讲练破题型
类型一 基本事实4的应用
[例1] 如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1?ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[分析] 平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．
[证明] 取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.
∴EQ綉B1C1(基本事实4)，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綉C1Q，
又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，
∴QD綉C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q綉DF.
又∵B1E綉C1Q，∴B1E綉DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
基本事实4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.
[变式训练1] 如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．
证明：连接AC.
∵M、N为CD、AD的中点，
∴MN綉AC.
由正方体性质可知AC綉A′C′.
∴MN綉A′C′.
∴四边形MNA′C′是梯形．
类型二 等角定理的应用
[例2] 如右图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.
[证明] 连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綉B1C.
又ABCD?A1B1C1D1为正方体，
所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本事实4知CD綉A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綉B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.
[变式训练2] 如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且＝＝，求证：△ABC∽△A1B1C1.
证明：∵AA1与BB1交于点O.
且＝，∴A1B1∥AB.
同理A1C1∥AC，B1C1∥BC.
又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，
∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1.
课堂达标练经典
1．和直线l都平行的直线a，b的位置关系是( C )
A．相交
B．异面
C．平行
D．平行、相交或异面
解析：由基本事实4可知，和直线l都平行的直线a，b的位置关系是平行．
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( D )
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或120°
解析：如图所示，因为空间两个角α，β的两边分别对应平行，所以这两个角相等或互补，故由α＝60°，得β＝60°或120°.
3．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面．
解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由图可知AC与A1C1可能平行、相交或异面．
4．如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A?BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，则EG＝1或.
解析：因为E，F，G，H分别是三棱锥A?BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF＝AC，
同理GH为△ACD的中位线，
故GH∥AC且GH＝AC，所以EF綉GH，
所以四边形EFGH是平行四边形且EF＝AC＝1.
同理FG∥BD且FG＝BD＝1.
因为AC与BD所成角为60°，所以∠EFG＝60°或120°，
当∠EFG＝60°时，EG＝1.
当∠EFG＝120°时，EG＝.
5．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB，△PBC的重心．
求证：DE∥AC，DE＝AC.
证明：如图，连接PD，PE并延长，分别交AB于点G，交BC于点H，则G，H分别是AB与BC的中点，连接GH，则GH∥AC，且GH＝AC.
在△PHG中，＝＝.
所以DE∥GH，且DE＝GH.
所以DE∥AC，DE＝AC.
——本课须掌握的三大问题
1．求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
2．求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
3．证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质．
(2)利用平行四边形的性质．
(3)利用平行线分线段成比例定理．
(4)利用基本事实4.
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-8.5.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定
[目标]
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理中“平面外”三个字的重要性；2.能利用判定定理证明线面平行问题．
[重点]
直线与平面平行的判定定理及应用．
[难点]
在应用时在平面内找到直线与已知直线平行．
要点整合夯基础
知识点 直线与平面平行的判定定理
[填一填]
[答一答]
1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？
提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．
2．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？
提示：不一定平行，有可能直线在平面内．
3．直线a∥直线b，直线a∥平面α，那么直线b与平面α的位置关系是什么？
提示：b∥α或b?α.
典例讲练破题型
类型一
线面平行判定定理的理解
[例1] 下列说法中正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b?α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
[解析] 选项A中，直线l?α时，l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.
[答案] D
正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法.
[变式训练1] 设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是( A )
A．b与α内一条直线平行
B．b与α内所有直线都无公共点
C．b与α无公共点
D．b不在α内，且与α内的一条直线平行
解析：A中b可能在α内；B、C显然是正确的；D是线面平行的判定定理，所以选A.
类型二 线面平行的证明
[例2] 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别为棱AC，A1B1的中点，求证：MN∥平面BCC1B1.
[分析] 要证明直线a与平面α平行的关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b.考虑是否有已知的平行线，若无已知的平行线，则根据已知条件作出平行线(有中点常作中位线)．
[证明] 取BC的中点P，连接B1P和MP，
因为M，P分别为棱AC，BC的中点，
所以MP∥AB，且MP＝AB，
因为ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以A1B1∥AB，A1B1＝AB，
因为N为棱A1B1的中点，
所以B1N∥AB，且B1N＝AB.
所以B1N∥PM，且B1N＝PM.
所以MNB1P是平行四边形，
所以MN∥PB1，又因为MN?平面BCC1B1，PB1?平面BCC1B1，
所以MN∥平面BCC1B1.
判定直线与平面平行有两种方法：一是用定义；二是用判定定理.使用判定定理时关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般是遵循先找后作的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
[变式训练2] 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.求证：MN∥平面SBC.
证明：如图，连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，
所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
类型三 线面平行判定定理的综合应用
[例3] 一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
[解] 在平面VAC内经过P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E.
在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．
在平面VBC内经过点F作FG∥VB，与BC交于点G.
连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线，即EF、FG、GH、HE就是应画的线．
利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
[变式训练3] 如图，设P，Q是正方体ABCD?A1B1C1D1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，证明：PQ∥平面ABB1A1.
证明：连接AB1，因为P，Q分别为AD1，B1D1的中点，所以PQ∥AB1，
AB1?平面ABB1A1，PQ?平面ABB1A1.
所以PQ∥平面ABB1A1.
课堂达标练经典
1．如果直线a平行于平面α，则( B )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a平行的直线
D．平面α内的任意直线与直线a都平行
2．能保证直线a与平面α平行的条件是( D )
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD
D．a?α，b?α，a∥b
3．已知l、m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是l?α.
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”．
4．一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是CD∥α或CD?α.
解析：在旋转过程中CD∥AB，由直线与平面平行的判定定理得CD∥α，或CD?α.
5．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是棱AB，AD，DD1，BB1的中点．求证：BC1∥平面EFPQ.
证明：如图，连接AD1，
由ABCD?A1B1C1D1是正方体，
知C1D1綉BA，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，
所以FP∥AD1，
所以BC1∥FP.
又FP?平面EFPQ，BC1?平面EFPQ，
所以BC1∥平面EFPQ.
——本课须掌握的问题
判断或证明线面平行的常用方法：
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
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-第2课时 直线与平面平行的性质
[目标]
1.理解线面平行的性质定理，并能应用定理解决有关问题；2.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理，并能证明一些空间位置关系的简单命题．
[重点]
直线与平面平行的性质定理及应用．
[难点]
线线平行与线面平行的转化．
要点整合夯基础
知识点 直线与平面平行的性质定理
[填一填]
[答一答]
1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？
提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．
2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？
提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．
3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？
提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面.
典例讲练破题型
类型一 线面平行性质定理的理解
[例1] 下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
[解析] ①根据线面平行的性质定理可知：直线与平面内的无数条直线平行，正确．
②根据线面平行的定义，直线与平面平行，则直线与平面内的任何直线无公共点，正确．
③可以作无数个平面与直线平行，错误．
④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β，则平面α与平面β的交线与直线l平行，且在平面α内，正确，所以选D.
[答案] D
[变式训练1] 若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a、b、c…，那么这些交线的位置关系为( A )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
类型二 线面平行性质定理的应用
[例2] 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
[证明] 因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
所以AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
所以四边形MNPQ为平行四边形．
应用线面平行的性质定理可以得到线线平行.解此类题的关键是找到过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需要作出辅助平面.必要时，可反复应用线面平行的判定定理和性质定理进行平行关系的转化
[变式训练2] 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
证明：如图，直线a、l，平面α、β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.
过a作平面γ交平面α于b.
∵a∥α，
∴a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c，则b∥c.
又∵b?β，c?β，
∴b∥β.
又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.
又∵a∥b，∴a∥l.
课堂达标练经典
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( C )
A．0条
B．1条
C．0或1条
D．无数条
解析：a∥α，在平面α内，n条相交直线中与直线a平行的直线可能有1条，也可能没有．
2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( C )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
解析：条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.
3．在三棱锥S?ABC中，E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( B )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
解析：如图，因为E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，
又因为EF?平面SBC，
平面SBC∩平面ABC＝BC，
所以EF∥BC.
4．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于.
解析：因为EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝AC＝.
5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
解：直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E、F分别是PA、PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，
所以l∥平面PAC.
——本课须掌握的两大问题
1．对线面平行性质定理的理解
(1)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线．
(2)线面平行的性质定理的条件有三：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a?β.三个条件缺一不可．
(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行．
2．利用线面平行的性质定理证明线线平行
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．解题过程中应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
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-8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
[目标]
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性.2.能利用判定定理解决有关面面平行问题．
[重点]
平面与平面平行的判定定理的理解及应用．
[难点]
定理应用条件中“相交”的理解．
要点整合夯基础
知识点 平面与平面平行的判定定理
[填一填]
[答一答]
1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？
提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．
2．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？
提示：不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交．
3．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面的位置关系是什么？
提示：平行.
典例讲练破题型
类型一 面面平行判定定理的理解
[例1] 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是( )
A．AD1∥平面EFGH
B．BD1∥GH
C．BD∥EF
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
[解析] 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；
在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，
故BD1不可能平行于GH，故B错误；
在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，
故BD与EF不可能平行，故C错误．
在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B，
EF∩FG＝F，
所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确．
[答案] D
解决此类问题的关键有两点：?1?借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.?2?把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.
[变式训练1] 下列命题中，错误的命题是
( A )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
解析：如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，
BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.
类型二 平面与平面平行的证明
[例2] 如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
[证明] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB.
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线.
[变式训练2] 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明：(1)连接B1D1，如图．
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，
∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E、F、B、D四点共面．
(2)由题知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF.
又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
类型三 线面平行、面面平行的综合应用
[例3] 已知底面是平行四边形的四棱锥P?ABCD，点E在PD上，且PE?ED＝2?1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．
[分析] 解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．
[解] 存在．证明：如图所示，连接BD、AC交于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，
OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，
又BG∩GF＝G，
∴平面BGF∥平面AEC.
又∵BF?平面BGF，∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，
∴E是GD中点．
又∵PE?ED＝2?1，
∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
?1?要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.,?2?解决此类问题时，可应用平面中直线平行的判定自行构造一个与目标平面平行的平面，再根据性质判断目标点的位置.
[变式训练3] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB.
∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，
EG?平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
课堂达标练经典
1．在长方体ABCD?A′B′C′D′中，下列结论正确的是( D )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
解析：
长方体ABCD?A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D.
2．设直线l，m和平面α，β，下列条件能使α∥β的有( D )
①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?β且l∥m；
③l∥α，m∥β且l∥m.
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
解析：①②③都不正确．
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( C )
A．MN∥AP
B．MN∥BD1
C．MN∥平面BB1D1D
D．MN∥平面BDP
解析：由题意，取B1C1的中点E，连接EM，NE，B1D1，BD，如图．
M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，
所以BB1∥NE，B1D1∥EM，
EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1，
所以平面EMN∥平面BB1D1D，
那么MN∥平面BB1D1D.
4．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．
①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；
④?α∥β；⑤?a∥α；⑥?a∥α，
其中正确的命题是①④.(填序号)
解析：①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a?α；⑥也是忽略了a?α的情形．
5.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG?S△ACD.
解：(1)证明：如图，连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H三点，
∵M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心，
∴＝＝＝2，
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD，
∴△MNG∽△DCA，
∴S△MNG?S△ACD＝(NG?AC)2
＝(1?3)2＝1?9.
??
——本课须掌握的两大问题
1．证明面面平行的方法：
①利用定义：两个平面没有公共点；
②判定定理：归纳为线面平行?面面平行；
③利用平行平面的传递性；
④推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．
2．要证明面面平行需证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．在判断相关命题时要把握好定理的条件，可结合常见几何模型，比如长方体(正方体)等帮助理解．
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平行中的探究性问题
开讲啦
(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．解答此类问题，先观察与尝试给出条件再给出证明．
(2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．解答此类问题，常从条件出发，探索出要求的结论是什么．对于探索的结论是否存在问题，求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．
[典例] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．
[解] 如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C，则平面EMN为符合要求的平面．
证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.
∵C1N＝C1C，∴C1N＝C1H.
又E为B1C1的中点，∴EN∥B1H.
又CF∥B1H，∴EN∥CF.
又EN?平面A1FC，CF?平面A1FC，
∴EN∥平面A1FC.
同理MN∥D1H，D1H∥A1F，∴MN∥A1F，
∴MN∥平面A1FC.
又EN∩MN＝N，∴平面EMN∥平面A1FC.
[对应训练] 如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，E，F分别为PC，PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
解：存在．
如图，分别取AD，BC的中点G，H，连接FG，HE，GH.
因为F，G分别为PD，AD的中点，
所以FG∥PA.
因为FG?平面PAB，
PA?平面PAB，所以FG∥平面PAB.
因为E，F分别为PC，PD的中点，
所以EF∥CD，因为AB∥CD，所以EF∥AB.
因为EF?平面PAB，AB?平面PAB.
所以EF∥平面PAB，因为EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面PAB.
又GH∥CD，所以GH∥EF.
所以平面EFG即平面EFGH.
所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
所以点Q∈GH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上．
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-第2课时 平面与平面平行的性质
[目标]
1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题．
[重点]
平面与平面平行的性质定理及应用．
[难点]
线线平行、线面平行、面面平行关系的转化．
要点整合夯基础
知识点 平面与平面平行的性质定理
[填一填]
[答一答]
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？
提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．
2．如果α∥β，a?α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？
提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.
3．若α∥β，a?α，b?β，下列几种说法中正确的是( C )
①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a∥β.
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①③
解析：①a?α，b?β，α∥β，则a与b可能平行，也可能异面，故①错误；②过a且与β相交的平面有无数个，因此会有无数条交线，a与这些交线都平行，因此②正确；③因为a?α，α∥β所以a∥β，因此③正确．综上所述，说法正确的是②③.
典例讲练破题型
类型一 面面平行性质定理的理解
[例1] (1)平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，下面三种情形：
①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．0种
(2)给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α.
其中正确说法的序号是________．
[解析] (1)因为平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，所以直线a与直线b无公共点．
当直线a与直线b共面时，a∥b；
综上知，①②都有可能出现，共有2种情形．故选B.
(2)①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.
②正确．若直线a与平面β平行或直线a?β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a?α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
③正确．如图(2)，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ?γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a?α，所以PQ?α.
[答案] (1)B (2)①②③
面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.
[变式训练1] 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( D )
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
解析：当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行．
类型二 平面与平面平行性质定理的应用
[例2] 如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
[分析] 利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．
[证明] 如图，过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.
∵AE∥CD，
∴AE，CD确定平面AEDC，
则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，
∵α∥β，∴AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥DE，PN?α，DE?α，
∴PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE，且MP?α，BE?α，
∴MP∥α.∴平面MPN∥平面α.
又MN?平面MPN，∴MN∥α.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[变式训练2] 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在?A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为A′B′?平面C′D′DC，C′D′?平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
因为平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
所以AB∥CD.同理AD∥BC.
所以四边形ABCD是平行四边形．
类型三 平行关系的综合应用
[例3] 在三棱柱ABC?A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
[解] (1)＝1时，BC1∥平面AB1D1，理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形．
所以AD1∥DC1.
又因为DC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1?平面BC1D，DC1?平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
?1?在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
?2?要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
[变式训练3] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN，
∴＝，∴＝，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
课堂达标练经典
1．已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是( D )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
2．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是
( A )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
解析：根据两个平面平行的性质可知，这两个平面平行．
3．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为24或.
解析：由α∥β得AB∥CD，
若P在α，β的外侧，
则＝，∴PB＝，BD＝；
若P在α，β之间，
则有＝，
∴PB＝16，BD＝24.
4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形．
解析：∵平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.
同理EH∥FG，
∴四边形EFGH的形状是平行四边形．
5．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若＝，求的值．
解：∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.
同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.
∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB，
∴△A′B′C′∽△ABC.
又PA′?A′A＝2?3，∴PA′?PA＝2?5.
∴A′B′?AB＝2?5，∴S△A′B′C′?S△ABC＝22?52，
即＝.
——本课须掌握的两大问题
1．对面面平行性质定理的理解
(1)面面平行的性质定理的条件有三个：
①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.
三个条件缺一不可．
(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
2．线与面、面与面平行性质定理的综合应用
(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．
(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：
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证明平行关系因推理不严密致误
开讲啦
空间中的平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行，其中证明线面平行常采用如下两种方法：(1)利
用直线与平面平行的判定定理，即由“线线平行”推出“线面平行”；(2)利用面面平行的性质定理，即由“面面平行”推出“线面平行”．证明面面平行的方法主要有：(1)面面平行的判定定理；(2)证明两个平面垂直于同一条直线．总之，将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的重要策略，其关键在于选择或添加适当的平面或辅助线．
[典例] 如右图所示，已知E，F分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．
[错解] 因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，平面A1ADD1∩平面BFD1E＝D1E，平面B1BCC1∩平面BFD1E＝BF，所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB，所以四边形EBFD1是平行四边形．
[错因分析] 错解中盲目地认为E，B，F，D1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到．
[正解] 在棱BB1上取一点G，使得B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綉B1C1綉A1D1，所以四边形GFD1A1为平行四边形，所以A1G綉D1F.
因为A1E＝AA1－AE＝B1B－B1G＝BG，
所以A1E綉BG，
所以四边形EBGA1为平行四边形，
所以A1G綉EB，所以D1F綉EB，
所以四边形EBFD1为平行四边形．
[对应训练] 如右图，直三棱柱ABC?A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
证明：取A′B′中点P，连接MP，NP.因为点M，N分别为A′B与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.又MN?平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.
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