8.6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
[目标]
理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角．
[重点]
异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．
[难点]
求两异面直线所成的角．
要点整合夯基础
知识点 异面直线所成的角
[填一填]
[答一答]
1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
提示：根据等角定理可知，异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.
提示：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
典例讲练破题型
类型一 异面直线所成的角
[例1] 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．
[分析] (1)PA、BC移至同一个三角形中．(2)找出PA和BC所成的角．
[解] 如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，
∵D是PC中点，F是AC中点，
∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2.
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
?2?证：证明作出的角就是要求的角；
?3?计算：求角的值，常利用解三角形得出.,可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°.
[变式训练1] 如图，在正方体ABCD?EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角．
(2)FO与BD所成的角．
解：(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，
EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，
所以四边形HFBD为平行四边形，
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，
即FO与BD所成的角为30°.
类型二 线线垂直的证明与应用
[例2] 直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1.证明：AB1⊥MN.
[分析] 先找到异面直线AB1与MN所成角，再利用勾股定理进行证明．
[证明] 由题得MN∥B1C，
所以∠AB1C就是异面直线AB1与MN所成角或补角．
由题得AC＝＝，
AB1＝，B1C＝，
因为()2＋()2＝()2，
∴∠AB1C＝，
所以AB1⊥MN.
证明空间中的异面直线的垂直问题，往往先作出异面直线所成的角，再利用勾股定理进行证明.
[变式训练2] 如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°
，若异面直线A1B和AD1相互垂直，试求AA1的长．
解：连接CD1，AC，如图．
由题意得四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1相互垂直，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，且侧面都是矩形，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin60°×2＝6，AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝＝.
课堂达标练经典
1．经过空间一点P作与直线a成60°角的直线，这样的直线有( D )
A．0条
B．1条
C．有限条
D．无数条
解析：这些直线可以是以P为顶点，以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线，共有无数条直线．
2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为( B )
A．0°
B．90°
C．60°
D．45°
解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE?CMFB，连接CD，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.
3．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，则异面直线AD、BC所成角的大小是
60°.
解析：设G为AC的中点，如图，连接EG，FG，因为E、F分别是AB、CD中点，∴EG∥BC，EG＝BC＝1，FG∥AD，FG＝AD＝1，所以∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)，∵EF＝，∴三角形EGF中，cos∠EGF＝－，∴∠EGF＝120°，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有8条．
解析：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有AB1，BA1，DC1，CD1，AD1，DA1，BC1，CB1共8条．
5.如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝，求AD，BC所成的角．
解：如图，取BD的中点H，连接EH，FH，
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.
同理FH∥BC，FH＝1，
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，
又因为EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
——本课须掌握的问题
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
PAGE
-
1
-8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
[目标]
1.掌握直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直．
[重点]
直线与平面垂直的证明．
[难点]
对直线与平面垂直定义的理解；对直线与平面所成角定义的理解．
要点整合夯基础
知识点一
直线与平面垂直的定义
[填一填]
1．如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
[答一答]
1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？
提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．
2．“任何直线”、“所有直线”、“无数条直线”表达的是同一意思吗？
提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．
3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？
提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．
知识点二
直线与平面垂直的判定定理
[填一填]
1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
2．图形语言：如右图所示．
符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.
[答一答]
4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？
提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．
5．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( C )
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC
知识点三
直线与平面所成的角
[填一填]
1．如右图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．
2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．
3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
[答一答]
6．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为45°.
解析：∵BB1⊥平面ABCD，∴∠B1AB是AB1与平面ABCD所成的角．又∠B1AB＝45°，所以AB1与平面ABCD所成的角为45°.
典例讲练破题型
类型一
直线与平面垂直的定义及判定定理
[例1] 下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确．
[答案] D
?1?对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
?2?判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
[变式训练1] 如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( C )
A．异面
B．平行
C．垂直
D．不确定
解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l?α，
所以BA⊥l，同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.
因为AC?平面ABC，所以l⊥AC.
类型二
直线与平面垂直的证明
[例2] 如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[分析] 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．
[证明] (1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
∴AE⊥PC.
∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.
[变式训练2] 如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：
(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA.
又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
(2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，
又因为F是PC的中点，所以GF綉CD，
所以GF綉AE.
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以AG∥EF.
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，
因为CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.
所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.
因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.
类型三
直线与平面所成的角
[例3] 在正方体ABCD?A1B1C1D1中．
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[解] (1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：?1?确定斜线与平面的交点?斜足?；?2?通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；?3?求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.
[变式训练3] 如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
解：解法1：(1)证明：如图，连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
解法2：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
在Rt△ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，AC＝BC，得DB＝3，BC＝2，所以＝＝，则△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC.
又CD?平面ABC，所以PD⊥CD.
由PD?平面PAB，AO?平面PAB，
且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．
在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝＝，
所以tan∠CPD＝＝，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
课堂达标练经典
1．下列表述正确的个数为( A )
①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；
②若直线a?平面α，b?α，且a⊥b，则a⊥α；
③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；
④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①中b与平面α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与平面α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．
2．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( C )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.
解析：连接A1C1.∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角．∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴A1C1＝2，AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝＝.
4．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为4.
解析：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
5．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.
(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．
解：(1)证明：因为BD是底面圆的直径，所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AB⊥CD.因为AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.
(2)如图，取AC的中点E，连接BE，DE，
由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以BE⊥AC，所以BE⊥平面ACD，所以直线BD与平面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥平面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．
又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝2，BE＝，所以sin∠BDE＝＝，所以∠BDE＝30°.
——本课须掌握的三大问题
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．线线垂直的判定方法：
(1)异面直线所成的角是90°；
(2)线面垂直，则线线垂直．
3．求线面角的常用方法：
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；
(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
学科素养培优精品微课堂
正确找出直线与平面所成的角
开讲啦
找斜线在平面内的射影时，不能只说斜线在平面内的射影是哪条线，还要进而证明其正确性，才能说明
某个角就是斜线与平面所成的角．
[典例] 如图，已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
[分析] 抓信息，找思路．
[解] 取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于点O，连接AO，B1C.
由已知ABCD?A1B1C1D1为正方体，
又B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面AC1，D1C1?平面AC1，
∴B1C⊥平面AC1.
∵E，F分别为A1B1，CD的中点，
∴EF∥B1C.
∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为所求线面角．
在Rt△EOA中，EO＝EF＝B1C＝，
AE＝＝＝，
∴sin∠EAO＝＝.
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
[对应训练] 已知线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为60°.
PAGE
-
12
-第2课时 直线与平面垂直的性质
[目标]
1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题；2.会求直线到平面的距离．
[重点]
直线与平面垂直的性质定理及应用、直线到平面的距离．
[难点]
直线与平面垂直的性质定理的理解．
要点整合夯基础
知识点一
直线与平面垂直的性质定理
[填一填]
1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．简记为：若线面垂直，则线线平行．
2．符号语言：?b∥a.
3．图形语言：
[答一答]
1．两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？
提示：垂直．因为两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线，所以另一条直线也垂直于这两条相交直线，故另一条也垂直于这个平面．
2．分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行？
提示：平行．因为一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行．
3．垂直于同一条直线的两平面平行吗？
提示：平行．如右图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，
∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b.
∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′.
∴a∥a′，b∥b′.
又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β.
∴垂直于同一条直线的两个平面平行．
知识点二
直线到平面的距离
[填一填]
1．直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点这个到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
[答一答]
4．如果两个平面平行，则如何求这两个平面间的距离？
提示：将这两个平面间的距离转化为其中一个面上的一个点到另一个平面的距离.
典例讲练破题型
类型一
线面垂直性质定理的应用
[例1] 如图，正方体A1B1C1D1?ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
[分析] 要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.
[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1?平面BDD1，
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.
[变式训练1] 如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.
证明：A1C⊥平面BB1D1D.
证明：因为A1O⊥平面ABCD，
所以A1O⊥BD.
又底面ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，因为AC∩A1O＝O，
所以BD⊥平面A1OC，所以BD⊥A1C，
又OA1是AC的中垂线，
所以A1A＝A1C＝，且AC＝2，
所以AC2＝AA＋A1C2，
所以△AA1C是直角三角形，
所以AA1⊥A1C，
又BB1∥AA1，所以A1C⊥BB1，因为BB1∩BD＝B，
所以A1C⊥平面BB1D1D.
类型二
直线到平面的距离
[例2] 正方体ABCD?A1B1C1C1，棱长为a，求：
(1)直线A1A到平面B1BCC1的距离；
(2)直线A1A到平面D1DBB1的距离．
[解] (1)∵A1A∥平面B1BCC1，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，
∴直线A1A到平面B1BCC1的距离等于线段A1B1的长，
∵A1B1＝a，
∴直线A1A到平面B1BCC1的距离等于a.
(2)连接A1C1，B1D1，BD，A1C1与B1D1交于点O1，如图．A1A∥平面D1DBB1.
∵A1O1⊥平面D1DBB1，
∴直线A1A到平面D1DBB1的距离等于线段A1O1的长，∵A1O1＝a，
∴直线A1A到平面D1DBB1的距离为a.
求直线到平面的距离，前提是该直线和平面平行，在该直线上合理找点，过该点作出平面的垂线，即将线面距离转化为点面距离.
[变式训练2] 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.
(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
解：(1)证明：因为ABCD?A1B1C1D1为长方体，
故AB∥C1D1，AB＝C1D1，
故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面D1AC.
(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，
考虑三棱锥D1?ABC的体积，以平面ABC为底面，可得
V＝×(×1×2)×1＝，
而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，cos∠ACD1＝，sin∠ACD1＝，故S△AD1C＝×××＝.
所以，V＝××h＝，故h＝，
即直线BC1到平面D1AC的距离为.
课堂达标练经典
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( C )
A．b∥α
B．b?α
C．b⊥α
D．b∩α＝A
2．下列命题正确的是( A )
①?b⊥α；②?a∥b；③?b∥α；④?b⊥α.
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②④
解析：由线面垂直的性质定理可得①②正确．
3．如图，线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为4.
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，连接A1B1，则四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
4．如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝1.
解析：在三棱锥P?ABC中，
因为PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面PAC.
因为EF?平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥平面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
5．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是.
解析：设三棱锥为P?ABC，由已知得PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，
∴PA⊥平面PBC.
又PB⊥PC，PB＝PC，BC＝2，∴PB＝PC＝.
∴VP?ABC＝VA?PBC＝PA·S△PBC＝××××＝.
——本课须掌握的两大问题
1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
2．判定线面垂直的方法主要有以下四种：
①直线与平面垂直的定义：
一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直．
②直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．
③直线和平面垂直的性质定理：
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，?b⊥α.
④平面与平面平行的性质定理：
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，?a⊥β.
PAGE
-
7
-8．6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
[目标]
1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义；3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题．
[重点]
两个平面垂直的判定定理及应用．
[难点]
二面角及其平面角的定义的理解；求二面角．
要点整合夯基础
知识点一
二面角及其平面角
[填一填]
1．二面角
2．二面角的平面角
(1)满足条件：如图，射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，则平面角∠AOB应满足的条件为：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.
(2)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．
(3)取值范围：二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
[答一答]
1．二面角是一个角吗？其平面角是否只有一个？
提示：不是，二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形．不是，其平面角有无数个．
知识点二
平面与平面垂直
[填一填]
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.
2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．
3．判定定理
文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言：l⊥α，l?β?α⊥β.
图形语言：如图所示．
[答一答]
2．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？
提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．
3．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直．
4．过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？
提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直．
典例讲练破题型
类型一
二面角的概念及求法
[例1] 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A?PD?C平面角的度数；
(2)求二面角B?PA?D平面角的度数；
(3)求二面角B?PA?C平面角的度数．
[分析] (1)证明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．
[解] (1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A?PD?C平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B?PA?D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B?PA?D平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B?PA?C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝45°，即二面角B?PA?C平面角的度数为45°.
清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.
[变式训练1] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求二面角B?A1C1?B1的正切值．
解：如图，取A1C1的中点O，
连接B1O、BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B?A1C1?B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a.
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B?A1C1?B1的正切值为.
类型二
平面与平面垂直的判定
[例2] 如图所示，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
[证明] ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
判定两平面垂直的常用方法：?1?定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；?2?判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；?3?性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
[变式训练2] 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．求证：平面DD1E⊥平面CD1E.
证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，
AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2，
因为CD＝4，所以CE⊥DE，
因为D1D⊥平面ABCD，
所以D1D⊥CE，因为D1D∩DE＝D，
所以CE⊥平面D1DE，又CE?平面CED1，
所以平面DD1E⊥平面CD1E.
类型三
线面垂直、面面垂直的综合应用
[例3] 如图所示，已知三棱锥P?ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D?AP?C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M?BCD的体积．
[分析] 本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解．
[解] (1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，
∴PD＝AB＝10，
∴△PAB为直角三角形且∠APB＝90°，∴AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又BC?平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D?AP?C的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
∴sin∠BPC＝＝.
(3)∵D为AB的中点，M为PB的中点，
∴DM∥PA，故DM＝5，
由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC.
∵S△BCM＝S△PBC＝2，
∴VM?BCD＝VD?BCM＝×5×2＝10.
本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直?线面垂直?面面垂直.
[变式训练3] 如图，在三棱锥P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
(3)若PC＝BC，求二面角P?AB?C的大小．
解：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA?平面PAC，DE?平面PAC，
所以DE∥平面PAC.
(2)证明：因为PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
所以PC⊥AB.
又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，
又因为PB?平面PBC，所以AB⊥PB.
(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，
所以∠PBC即为二面角P?AB?C的平面角，
因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，
所以二面角P?AB?C的大小为45°.
课堂达标练经典
1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α?l?β的平面角，则必须具有条件( D )
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
2．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则二面角A?B1D1?B的余弦值为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，连接AC交BD于点O，取B1D1的中点E，连接AE，OE，则AE⊥B1D1，OE⊥B1D1，所以∠AEO是二面角A?B1D1?B的平面角．又正方体的棱长为1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝，所以AE＝.又OE＝BB1＝1，所以cos∠AEO＝＝，即二面角A?B1D1?B的余弦值为，故选A.
3．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( D )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
4.在三棱锥P?ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P?ABC的四个面中，互相垂直的面有3对．
解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，
∴PA⊥平面PBC.
∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.
同理可证：平面PAB⊥平面PAC.
5．如图，在四面体A?BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：如图，取BD的中点E，连接AE，CE.由AB＝AD＝CB＝CD，知AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC为二面角A?BD?C的平面角．
在△ABE中，AB＝a，BE＝BD＝a，
所以AE2＝AB2－BE2＝a2，
同理CE2＝a2，
所以AE2＋CE2＝a2＝AC2，
所以∠AEC＝90°.
所以平面ABD⊥平面BCD.
——本课须掌握的三大问题
1．证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
3．求二面角的大小关键是要找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．
学科素养培优精品微课堂
不能正确找出二面角的平面角而致错
开讲啦
求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等．
[典例] 在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，求二面角P?CD?B的大小．
[分析] 抓信息，找思路．
[错解] 如图所示，过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE，AC.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵PA∩AE＝A，
∴CD⊥平面PAE.
又∵PE?平面PAE，∴CD⊥PE，
∴∠PEA为二面角P?CD?B的平面角．(以下略)
[错因分析] 点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按垂线法作二面角的平面角．
[正解] 过点A作AF⊥BC于点F，
可求BF＝，AF＝，CF＝，
则AC＝＝，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵PC?平面PAC，∴CD⊥PC，
∴∠PCA为二面角P?CD?B的平面角．
∵在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝，AC＝，
∴∠PCA＝45°.故二面角P?CD?B的大小为45°.
[对应训练] 三棱锥P?ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC＝，则二面角A?PB?C的大小为60°.
PAGE
-
12
-第2课时 平面与平面垂直的性质
[目标]
1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题；2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题．
[重点]
平面与平面垂直的性质定理及应用．
[难点]
平面与平面垂直的性质定理的理解．
要点整合夯基础
知识点
平面与平面垂直的性质定理
[填一填]
1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
2．符号语言：?a⊥β.
3．图形语言：
[答一答]
1．应用定理若分别去掉以下两个条件，探究定理是否成立．
(1)将条件a?α去掉，结论是否成立？
(2)将条件a⊥l去掉，结论是否成立？
提示：(1)不成立，如下图让a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．
(2)不成立，如下图直线a?α，但a与直线l不垂直，显然a与β不垂直．
2．若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？
提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.
∴l∥β或l?β，即直线l与平面β平行或在平面β内．
典例讲练破题型
类型一
面面垂直性质定理的应用
[例1] 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.
[分析] 解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．
[证明] 连接BD，
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：?1?两个平面垂直；?2?直线必须在其中一个平面内；?3?直线必须垂直于它们的交线.
[变式训练1] 如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求证：
(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAB.
证明：(1)因为BC∥平面PAD，而BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因为AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.
(2)如图，自P点作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.
因为BC?平面ABCD，
所以BC⊥PH.
因为∠PBC＝90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，
即PB∩PH＝P.
因为PB，PH?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
因为BC?平面PBC，
故平面PBC⊥平面PAB.
类型二
垂直关系的综合应用
[例2] 如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[证明] (1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键.由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直?面面垂直的判定?.因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽.
[变式训练2] 如图所示，四棱锥P?ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．
解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：
假设平面EBD垂直于平面ABCD，
过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO.
∵EO?平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA.
∵A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，
∴P、E、C三点的投影均在直线AC上，
∴A、O、C三点共线．
又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．
又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
这与CD＝2AB矛盾，
∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD.
课堂达标练经典
1．设两个平面互相垂直，则
( C )
A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上
C．一个平面内过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
解析：由面面垂直的性质可知，选C.
2.如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( A )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
解析：
若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC.
因为PA⊥平面ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.
3．三棱锥P?ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的垂心．
解析：由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．
4.如图，在三棱锥P?ABC内，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝.
解析：∵平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
5．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.
证明：方法1：如图1，在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β.
∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.
又PA∩PB＝P，且PA?γ，PB?γ，
∴l⊥γ.
方法2：如图2，在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.
∴m∥n.又n?β，∴m∥β.
又m?α，α∩β＝l，∴m∥l.∴l⊥γ.
——本课须掌握的两大问题
1．垂直关系之间的相互转化
2．平行关系与垂直关系之间的相互转化
PAGE
-
1
-
