(共31张PPT)
第16章
分式
16.1分式及其性质
第1课时
学习目标
1.了解分式的概念；
2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．（重点）
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．（难点）
导入新课
情境引入
第十届田径运动会
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（
）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（
）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（
）秒.
7
100
a
100
a+1
100
填空：乐乐同学参加百米赛跑
（4）后勤老师若把体积为200
cm3的水倒入底面积为33
cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为(
)cm；若把体积为V
的水倒入底面积为S
的圆柱形容器中，水面高度为(
).
V
S
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为
元.
（8a+b）
讲授新课
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
7
100
a
100
a+1
100
单项式：
多项式：
既不是单项式也不是多项式：
a
100
a+1
100
8a+b
8a+b
整
式
7
100
分式的概念
问题2
：式子
它们有什么相同点和不同点？
相同点
不同点
（观察分母）
从形式上都具有分数
形式
分母中是否含有字母
7
100
a
100
a+1
100
分子A、分母
B
都是整式
知识要点
分式的定义
形如
(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0
)
的式子，
叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
理解要点：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是 （其中A，B都是整式并且还要求B是含有字母的整式）
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
思考：（1）分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
整数
分数
整式
分式
有理数
有理式
数、式通性
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？
数的扩充
式的扩充
在分式中，分母的值不能为零.如果分母的值为零，则分式没有意义.例如，在分式
中，a≠0；在分式
中，m≠n.
例1
下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
解：
和
是整式，
和
是分式.
典例精析
注意
判一判：下面的式子哪些是分式？
分式:
1.判断时，注意含有
的式子，
是常数.
2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：
.
归纳总结
数学运动会
规则：
从本班选出6名同学到讲台选取自己的名牌:
1
,
a+1
,
c-3
,
π
,
2(b-1)
,
d2
再选1名学生发号指令，计时3秒钟
6名学生按要求自由组合
想一想：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式
中的分母应满足什么条件？
当B=0时，分式
无意义.
当B≠0时，分式
有意义.
分式有意义的条件
问题3.已知分式
,
(1)
当
x=3
时，分式的值是多少?
(2)
当x=-2时，你能算出来吗?
不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.
即当x______时，分式有意义.
(3)当x为何值时，分式有意义？
当
x=3
时，分式值为
一般到特殊思想
类比思想
≠-2
例2
(1)当x为何值时,分式
有意义?
(2)当x为何值时,分式
有意义?
解：（1）分母x－1≠0
，即x≠1.
所以，当x≠1时，分式
有意义.
（2）分母2x+3≠0
，即x≠
.
所以，当x≠
时，分式
有意义.
例3
已知分式
有意义，则x应满足的
条件是
( )
A.x≠1
B.x≠2
C.x≠1且x≠2
D.以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
C
（2）当x
时，分式
有意义；
（1）当x
时，分式
有意义；
x≠y
（3）当b
时，分式
有意义；
（5）当x
时，分式
有意义；
（4）当
时，分式
有意义.
做一做：
为任意实数
想一想：分式
的值为零应满足什么条件？
当
A=0而
B≠0时，分式
的值为零.
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
分式值为零的条件
解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.
的值为零.
∴当x
=
1时分式
∴
x
≠
-1.
而 x+1≠0，
∴x
=
±1，
则 x2
-
1=0，
例4
当x为何值时，分式
的值为零?
变式训练
（1）当
时，分式
的值为零.
x=2
【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零，
∴
解得x=2.
（2）若
的值为零，则x＝
．
【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，即
解得
－3
分式
的值为
.
（2）当
x
-2=0，
即
x=2
时，
解:
（1）当2x-3=0，即
时，
分式的值不存在；
例5:当x取什么值时，分式
的值.
（1）不存在；（2）等于0？
有2x-3=1
≠0，
例6:
求下列条件下分式
的值.
（1）x
=
3；
（2）x=－0.4.
解
（1）当
x
=
3
时，
（2）当x
=
－0.4时，
3.
填表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
0
1
-2
-1
练一练
填表：
当堂练习
1.下列代数式中，属于分式的有（
）
A.
B.
C.
D.
C
2.当a＝－1时，分式
的值(
)
A.没有意义
B.等于零
C.等于1
D.等于－1
A
3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（
）
A.
B.
C.
D.
A
4.已知，当x=5时，分式
的值等于零，则k=
.
-10
5.列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40公顷,人均耕地面积
为
公顷；
（2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，高AD为
；
（3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为
_____千米/时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为
千米/时.
6.在分式
中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
答：当x
≠
3时，该分式有意义；当x=-3时，该分式的值为零.
7.分式
的值能等于0吗？说明理由．
答：不能.因为
必须x=-3，而x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.
课堂小结
分式
定义
值为零的条件
有意义的条件
一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子
叫做分式
，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
分式
有意义的条件是B
≠0.
分式
值为零的条件是A=0且B
≠0.(共34张PPT)
第16章
分式
16.1分式及其性质
第2课时
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质（重点）
2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
（难点）
导入新课
情境引入
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
2.这些分数相等的依据是什么？
1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
分数的
基本性质
讲授新课
思考：下列两式成立吗？为什么？
分式的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
即对于任意一个分数
有：
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
思考：
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式表示为：
其中A,B,C是整式.
知识要点
例1 填空：
看分母如何变化，想分子如何变化.
看分子如何变化，想分母如何变化.
典例精析
想一想：（1）中为什么不给出x
≠0,而（2）中却给出了b
≠0?
想一想:
运用分式的基本性质应注意什么?
(1)“都”
(2)
“同一个”
(3)
“不为0”
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
⑴
⑵
解：
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴
⑵
⑶
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
练一练
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分吗？
（
）
（
）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式.
分式的约分
例3 约分：
（1）
；
（2）
.
分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式.
解：（1）
（2）
先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分.
在化简分式
时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底,
使分子、分母没有公因式.
议一议
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
注意
知识要点
最简分式
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
例4
约分:
典例精析
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法:
（1）约去系数的最大公约数.
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：
(公因式是5ac2)
解：
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
约分:
做一做
解：
(公因式是ab)
解：
知识要点
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
试一试
找出下面各组分式的最简公分母：
最小公倍数
最简公分母
最高次幂
单独字母
类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.
通分
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.
找最简公分母:
x(x-5)（x+5）
(x+y)2
(x-y)
练一练
找最简公分母：
第一要看系数；第二要看字母(式子）.
分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
知识要点
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
例5
通分：
最简公分母：
通分：
最简公分母：
通分：
②
解：
分析：把异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的公式.确定最简公分母是通分的关键.
最简公分母：
解：
③
分析：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，即最简公分母
想一想：
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
约分
通分
分数
分式
依据
找分子与分母的
最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的
最小公倍数
找所有分母的
最简公分母
分数或分式的基本性质
当堂练习
2.下列各式中是最简分式的（
）
B
1.下列各式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
D
3.若把分式
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
的
x
和y
都扩大两倍,则分式
的值(
)
B
4.若把分式
中的
和
都扩大3倍,那么分式
的值(
).
A．扩大3倍
B．扩大9倍
C．扩大4倍
D．不变
A
5.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？
解：
最简分式：
不是最简分式：
解：
6.约分
7.通分：
解：最简公分母是2a2b2c
解：最简公分母是(x+5)(x-5)
课堂小结
分式的
基本性质
内容
作用
分式进行约分
和通分的依据
注意
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；
(4)同乘或同除的整式不等于零
进行分式运算的基础(共31张PPT)
第16章
分式
16.2分式的运算
第1课时
学习目标
1.掌握分式的乘除运算和乘方运算法则.（重点）
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．（难点）
导入新课
情境引入
问题1
一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的
时,水高多少?
长方体容器的高为
,
水高为
问题2
大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是
公顷/天,小拖拉
机的工作效率是
公顷/天,大拖拉机的工作效率
是小拖拉机的工作效率的(
)倍.
想一想：
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
讲授新课
填空：
类比探究
分式的乘除
类似于分数，分式有：
乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
除法法则：
两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
归纳法则
例1
计算:
解：
典例精析
先把除法转化为乘法
约分
注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
解：（1）原式
（2）原式
（1）
（2）
做一做
方法归纳
分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：
(1)符号运算；
(2)按分式的乘法法则运算．
例2
计算：
解：原式=
分子、分母是多项式时，先分解因式
便于约分.
约分
解：原式=
先把除法转化为乘法.
整式与分式
运算时，可以把整式看成分母是1的分式．
负号怎么得来的？
(1)
解：原式
做一做
解：原式
(2)
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
要点归纳
分式乘除法的解题步骤
当x=1999,y=－2000时,得
根据乘方的意义计算下列各式：
分式的乘方
类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
10个
想一想：
一般地，当n是正整数时，
n个
n个
n个
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
想一想：目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？
(1)
am·an
＝am+n
；
(2)
am÷an＝am-n；
(3)
(am)n＝amn；
(4)
(ab)n＝anbn；
知识要点
分式的乘方法则
理解要点：
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把
写成
.
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.
×
√
例4
“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，
“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克.
（1）哪种小麦的单位面
积产量高？
（2）高的单位面积产量
是低的单位面积产量的
多少倍？
1m
am
（a-1）m
分式的乘除法应用
am
1m
（a-1）m
∵a>1,∴0＜（a－1）2,
a
2-1>0，
由图可得（a－1）2＜
a
2-1.
∴
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a
2-1）m2，单位面积产量是
kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是（a－1）2m2，单位面积产量是
kg/m2.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（2）
所以
“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的
倍.
一条船往返于水路相距100
km的A,B两地之间，已知水流的速度是2
km/h，船在静水中的速度是x
km/h（x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为
（x-2）km/h，由题意得
做一做
当堂练习
1.计算
等于（
）
A.
B.
C.
D.
C
2.化简
的结果是（
）
B
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
对
4.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
解：设花生的总产量是1，则
解：（1）原式
（1）
（2）
5.计算：
（2）原式
解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值．
6.先化简，再求值：
解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
课堂小结
分式乘除运算
乘除法运算
注意
(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式
除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算
(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行
(3)运用法则时要注意符号的变化(共31张PPT)
第16章
分式
16.2分式的运算
第2课时
学习目标
1.掌握异同分母分式的加减运算，并能正确应用法则进行计算;(重点)
2.对比异同分母分式的加（减）法与异同分母分数的加（减）法则，体会类比的数学思想;(难点)
3.理解分式的混合运算顺序，并能正确进行分式的混合运算.
1.同分母分数的加减法则是什么？
2.计算：
1
2
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
导入新课
回顾与思考
思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？
a
1
a
2
+
猜一猜：同分母的分式应该如何加减？
讲授新课
类比探究
观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？
请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减?
同分母分式的加减
知识要点
同分母分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
上述法则可用式子表示为
例1
计算:
；
解：
原式
典例精析
=4
把分子看成一个整体，先用括号括起来！
注意：结果要化为最简分式！
小试牛刀
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
例2
计算：
典例精析
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
（去括号）
（合并同类项）
注意：当分子是
多项式时要加括号！
注意：结果要化为最简形式！
做一做
问题：
请计算
(
)，
(
).
异分母分数相加减
分数的通分
依据：分数的基本性质
转化
同分母分数相加减
异分母分数相加减，先通分，
变为同分母的分数，再加减
.
异分母分式的加减
请计算
(
)，
(
);
请思考
b
d
b
d
类比：异分母的分式应该如何加减?
异分母分式相加减
分式的通分
依据:分式基本性质
转化
同分母分式相加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
知识要点
异分母分式的加减法则
异分母分式相加减，先通分，变同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表示为
解：原式=
=
=
注意：(1-x)=-(x-1)
例3
计算：
分母不同，先化为同分母.
（2）
（2）原式
解：原式=
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
解：原式=
=
=
注意：分母是多项式先分解因式
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
=
知识要点
分式的加减法的思路
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
例4.计算：
法一：
原式=
法二：
原式=
把整式看成分母为“1”的分式
阅读下面题目的计算过程.
①
= ②
=
③
=
④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；
（2）错误原因___________；
（3）本题的正确结果为：
.
②
漏掉了分母
做一做
例5
计算：
解：原式
从1、-3、3中任选一个合适的m值代入求值
当m=1时，原式
∵m2-9≠0，∴m≠+3和-3.
先化简，再求值：
,其中
．
解：
做一做
例6
已知下面一列等式：
(1)请你从这些等式的结构特征写出它的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立；
(3)利用等式计算：
解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；
(2)根据分式的运算法则即可验证；
(3)根据(1)中的结论求解．
A.
B．
C．－1
D．2
当堂练习
1.
计算
的结果为（
)
C
2.填空：
4
3.计算:
解：(1)原式=
(2)原式=
4.先化简，再求值：：
，其中x＝2016.
课堂小结
分式加减运算
加减法运算
注意
(1)分式的分子和分母是多项式时，在进行运算时要适时添加括号
异分母分式相加减先转化为同分母分式的加减运算
(2)整式和分式之间进行加减运算时，则要把整式看成分母是1的分式，以便通分
(3)异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母(共32张PPT)
第16章
分式
16.3可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
学习目标
1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）
2.理解分式方程可能无解的原因.（难点）
导入新课
问题引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程
.
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次
方程有什么区别？
讲授新课
问题1
一艘轮船在顺水时航行80千米和在逆水时航行60千米用的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，问轮船在静水中的速度x千米/时应满足怎样的方程.
分式方程的概念
问题2
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？
思考
由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
分母中都含有未知数.
分式方程的概念
分式方程的特征
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
知识要点
判一判
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
“去分母”
讲授新课
分式方程的解法
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得
检验：将x=6代入原分式方程中，左边=
=右边，
因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
解得
x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
归纳总结
下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得
x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程
的解，实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而
去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时,
(x+5)(x-5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验？
这个整式方程的解是不是原分式的解呢？
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤
例1
解方程：
解
：方程两边都乘最简公分母x(x－2)，得
解这个一元一次方程，得
x
=
－3.
检验：把
x=－3
代入最简公分母，得
因此
x
=
－3
是原分式方程的解．
典例精析
解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，
得
x+2=4.
解得
x=2.
检验：把x=2代入原方程，最简公分母为0，分式无意义.
因此x=2不是原分式方程的解，从而原方程无解.
提醒：在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现使最简公分母（或分母）为零的根是增根.
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x
=a
检验
x
=a是分式
方程的解
x
=a不是分式
方程的解
x
=a时
最简公分母是
否为零？
否
是
例2
关于x的方程
的解是正数，则a的取值范围是____________．
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程
的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
a＜－1且a≠－2
若关于x的分式方程
无解，求m的值．
例3
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
方法总结
当堂练习
D
2.
要把方程
化为整式方程，方程两边可以同乘以（
）
A.
3y-6
B.
3y
C.
3
(3y-6)
D.
3y
(y-2)
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
A.
B.
C.
D.
D
3.
解分式方程
时，去分母后得到的整式方程是（
）
A.2（x-8)+5x=16(x-7)
B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7)
D.2(x-8)-5x=8
A
4．若关于x的分式方程
无解，则m的值为
(
)
A．－1，5
B．1
C．－1.5或2
D．－0.5或－1.5
D
5.解方程
解：
方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)
≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
6.解方程
解：
方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时，
(x-1)(x+2)
=0,
因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
7.
解方程：
解：去分母，得
解得
检验：把
代入
所以原方程的解为
8.若关于x的方程
有增根，求m的值.
解：方程两边同乘以x-2，
得2-x+m=2x-4,
合并同类项,得3x=6+m,
∴m=3x-6.
∵该分式方程有增根，
∴x=2，
∴m=0.
课堂小结
分式
方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
注意
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘
步骤
(去分母法)
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（解整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验(共37张PPT)
第16章
分式
16.3可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
学习目标
1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点）
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点）
导入新课
问题引入
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
分式方程
整式方程
去分母
转化
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有4种：
（1）行程问题：
路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）数字问题：
在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题：
工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（4）利润问题：
批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价；利润率=利润÷进价.
讲授新课
例1
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（月）
工作效率
工作总量（1）
甲队
乙队
设乙单独完成这项工程需要x天.
列分式方程解决工程问题
等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是
，根据题意得
即
方程两边都乘以2x,得
解得
x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
设乙单独完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是
,甲队的工作效率是
，合作的工作效率是
.
工作时间（月）
工作效率
工作总量（1）
甲单独
两队合作
此时方程是：
1
表格为“3行4列”
知识要点
工程问题
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2.通常间接设元，如××单独完成需
x（单位时间），则可表示出其工作效率；
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
4.解题方法：可概括为“321”，3指工程问题中的三量关系，即工作效率，工作时间，工作量；2指工程问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指工程问题中的一个等量关系，即两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
1.抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
做一做
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得
.
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
2.
用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操纵员各输入一遍，比较两人的输入是否一致.两人各
输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用
2小时输完.这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
解：设乙每分钟输入x个数据，则甲每分钟输入2x
个数据.
依据题意，得
解得
x=11.
经检验：x=11是原方程的解.
当x=11时2x=22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用120分钟，符合题意.
答：甲每分钟输入22个数据，乙每分钟输入11个数据.
例2
朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200km时，发现小轿车只行驶了180km，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,问面包车，小轿车的速度分别为多少？
0
180
200
列分式方程解决行程问题
路程
速度
时间
面包车
小轿车
200
180
x+10
x
分析：设小轿车的速度为xkm/h
面包车行驶的时间=小轿车行驶的时间
等量关系：
列表格如下：
解：设小轿车的速度为xkm/h，则面包车的速度为(x+10)km/h，依题意得
解得x＝90
经检验，x＝90是原方程的解，
且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100km/h，
小轿车的速度为90km/h.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
做一做
1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200km，小轿车行驶了180km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，结果他们正好同时到达距离出发点300km的地方，请问小轿车提速多少？
0
180
200
300
解：设小轿车提速为xkm/h，依题意得
解得x＝30
经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.
答：小轿车提速为30km/h.
2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200km，小轿车行驶了180km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，结果他们正好同时到达距离出发点skm的地方，请问小轿车提速多少？
0
180
200
s
路程
速度
时间
面包车
小轿车
s-200
s-180
100
90+x
解：设小轿车提速为xkm/h，依题意得
解得x＝
3.小轿车平均提速xkm/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车的平均速度为多少？
0
S
S+50
路程
速度
时间
提速前
提速后
s
s+50
v
x+v
解：设小轿车提速为xkm/h，
依题意得
知识要点
行程问题
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确行程问题中两个“主人公”，如小轿车和面包车；行程问题中的三个量，即路程、速度和时间，分别用代数式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常是抓住“时间线”来建立.
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面
:(1)是否是分式方程的根；
(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
例3
某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3.
列分式方程解决商业问题
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的水价为
元/m3,根据题意，得
解得
经检验，
是原方程的根.
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
例4
佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
解：(1)设第一次购买的进价为x元，则第二次的进价为1.1x元，
根据题意得
，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝
－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
当堂练习
1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为( )
A
2.一轮船往返于A、B两地，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度.
x=－18（不合题意，舍去），
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得
解得
x=±18.
检验得：x=18.
答：船在静水中的速度为18千米/时.
方程两边同乘（x-2)(x+2)得
80x+160
－80x+160=x2
－4.
3.
农机厂职工到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得：
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得
解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
课堂小结
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二设三找四列五解六验七写
321法(共17张PPT)
16.4
零指数幂与负整数指数幂
第16章
分
式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
八年级数学下（HS）
教学课件
1.零指数幂与负整数指数幂
1.理解零指数幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算;（重点，难点）
学习目标
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
即
问题
同底数幂的除法法则是什么？
导入新课
回顾与思考
若m≤n时同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
根据分式的基本性质，如果a≠0，m是正整数，那么
等于多少？
讲授新课
零指数幂
一
问题引导
如果把公式
（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）推广到
m=n
的情形，那么就会有
这启发我们规定
即任何不等于零的数的零次幂都等于1.
总结归纳
例1
已知(3x－2)0有意义，则x应满足的条件是________．
解析：根据零次幂的意义可知：(3x－2)0有意义，则3x－2≠0，
.
方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于0，所以解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可．
典例精析
例2：若(x－1)x＋1＝1，求x的值．
解：①当x＋1＝0，即x＝－1时，原式＝(－2)0＝1；
②当x－1＝1，x＝2时，原式＝13＝1；
③x－1＝－1，x＝0时，0＋1＝1不是偶数．故舍去．
故x＝－1或2.
方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶次幂等于1，即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0；考虑底数等于1或－1.
负整数指数幂
二
问题：计算：a3
÷a5=?
(a
≠0)
解法1
解法2
再假设正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n
(a≠0,m,n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到：
由于
因此
特别地，
总结归纳
如果在公式
中m=0，那么就会有
例3
计算：
解：
典例精析
例4
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
B
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
例5
把下列各式写成分式的形式：
解:
例6
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
1.计算：
1
1
64
当堂练习
2.把下列各式写成分式的形式：
3.比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3
（2）3.01×10－4________3.10×10－4
<
<
4.计算：－22＋(－
)－2＋(2016－π)0－|2－
π|.
解：－22＋(－
)－2＋(2016－π)0－|2－
π|
＝－4＋4＋1－2＋
π
＝
π－1.
课堂小结
整数
指数幂
1.零指数幂：当a≠0时，a0=1.
2.负整数指数幂：当n是正整数时，a－n=
整数指数幂的运算性质：
（1）am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）（ab）m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）（am）n=amn（m，n为整数，a≠0）(共13张PPT)
第16章
分式
16.4零指数幂与负整数指数幂
第2课时
学习目标
1.理解用科学记数法表示绝对值较小的数；
2.能正确地用科学记数法表示绝对值较大（小）的数.
科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
忆一忆：
例如，864000可以写成
.
怎样把0.0000864用科学记数法表示？
8.64×105
想一想：
导入新课
回顾和思考
探一探：
因为
所以，
0.0000864=8.64
×0.00001=8.64
×10-5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-
n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
讲授新课
用科学计数法表示绝对值小于1的数
算一算：
10－2=
___________;
10－4=
___________;
10－8=
___________.
议一议：
指数与运算结果的0的个数有什么关系？
一般地，10的-n次幂，在1前面有_________个0.
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？
1前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么:
n
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1
≤
|a|<10.
n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
知识要点
例1
用小数表示下列各数：
(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
1.用科学记数法表示：
（1）0.000
03；
（2）-0.000
006
4；
（3）0.000
0314；
2.用科学记数法填空：
（1）1
s是1
μs的1
000
000倍，则1
μs＝______s；
（2）1
mg＝______kg；（3）1
μm
＝______m；
（4）1
nm＝______
μm
；（5）1
cm2＝______
m2
；
（6）1
ml
＝______m3.
练一练
例2
纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.
解：
1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍.
中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为__________.
1.5×10-6米
练一练
1.用科学记数法表示下列各数:
（1）0.00003
(2)0.000506
(3)-0.000063
解：(1)0.00003
=
3×10-5;
(2)0.000506
=
5.06×10-4;
(3)-0.000063
=
-6.3×10-5.
当堂练习
2.某人体中成熟的红细胞的平均直径约为0.0000077m，试用科学计数法表示该数.
解:
0.0000077=7.7×10-6m
3.下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）2×10－8
（2）7.001×10－6
答案:（1）0.000
000
02
（2）0.000
007
001
4.用科学记数法把0.000
009
405表示成
9.405×10n，那么n=
.
-6
课堂小结
0.00…01
n个0
利用10的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成
a×10-n
的形式，其中n是正整数，1≤
<10.这里用科学记数法表示时，关键是掌握公式：
