评估验收(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条直线( )
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．平行
解析：如图所示，a∥b∥c，则l与a相交，l与b，c异面．
答案：C
2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
则∠BDE＝60°.
答案：C
3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A．b⊥α
B．b?α
C．b∥α
D．b∥α或b?α
解析：当b?α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.
所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b?α.
答案：D
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是( )
A．DD1
B．A1D1
C．C1D1
D．A1D
解析：因为A1B1∥DC，A1B1＝DC，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以A1D∥B1C，
因为A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，
所以A1D∥平面AB1C.
答案：D
5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：若l∥α，l∥β，则平面α与β可能相交，可能平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，则根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能l?β，故D错误．
答案：B
6．在正四面体P?ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF.又DF?平面PDF，BC?平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故A成立．
由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，
所以DF⊥平面PAE，故B成立．
又DF?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAE，故D成立．
答案：C
7．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析：选项A符合题意；选项B中，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；选项C中，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；选项D中，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.
答案：A
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：由已知AC＝AB，E为BC的中点，
得AE⊥BC.
又因为BC∥B1C1，
所以AE⊥B1C1，选项C正确．
答案：C
9．如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
解析：显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF?α，BC?α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．
答案：C
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，连接BE，因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．
设正方体的棱长为2，则BE＝.
因为AB⊥平面BB1C1C，
所以AB⊥BE.
在Rt△ABE中，tan
∠BAE＝＝.
答案：C
11．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图所示，延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角．连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°.
答案：C
12．若P为△ABC所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设△ABC为直角三角形，过一锐角顶点PA⊥平面ABC，则4个三角形都是直角三角形．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知平面α∩平面β＝l，a?β，a∥α，则直线a与直线l的位置关系是________．
解析：如图所示，因为α∩β＝l，a?β，a∥α，所以a∥l.
答案：平行
14．在三棱锥P?ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．
解析：PA＝PB＝PC，则点P在底面ABC上的射影落在Rt△ABC斜边BC上，即为BC的中点设为点D，则∠PAD即为所求．
答案：60°
15.如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.
解析：如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
因为SC∥平面EBD，且平面EBD∩平面SAC＝EO，
所以SC∥EO.
所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.
答案：1∶2
16．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面共有________对．
解析：由题意知，直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面ACD，共有3对．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图所示，在四面体P?ABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：
(1)DE∥平面BCP；
(2)四边形DEFG为矩形．
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC.
又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形．
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形．
18.(2017·北京卷)(本小题满分12分)如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E?BCD的体积．
(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，
所以PA⊥平面ABC.
又因为BD?平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，AB⊥BC，
所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
所以三棱锥E?BCD的体积V＝×BD·DC·DE＝.
19.(本小题满分12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
(1)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，
所以CE＝＝3，
所以cos
∠CED＝＝.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明：如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，
则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，
FA?平面ABF，AB?平面ABF.
所以CD⊥平面ABF.
20．(本小题满分12分)如图所示，PA是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，PA＝AB＝2.
(1)求证：BC⊥PC；
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值，并写出此时三棱锥P-ABC外接球的表面积．
(1)证明：易知PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
因为AB是圆柱底面圆的直径，所以BC⊥AC，
又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，所以BC⊥PC.
(2)解：由已知得，三棱锥P-ABC的高PA＝2，故当直角△ABC的面积最大时，三棱锥PABC的体积最大，
易知当点C在弧AB的中点时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝1，
所以VP-ABC＝×2×1＝.
易知三棱锥PABC的外接球的直径为PB，且PB＝＝2.
所以外接球的半径R＝，故S外接球＝4πR2＝8π.
21.(2018·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解：当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：连接AC交BD于点O.
因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.
MC?平面PBD，OP?平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
22．(本小题满分12分)如图①，等边三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边上的点，且满足＝＝k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A?DC?B，如图②.
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角B?AC?D的正切值．
图① 图②
解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC上的点，
且满足＝＝k，
所以AB∥EF.
因为AB?平面DEF，EF?平面DEF，
所以AB∥平面DEF.
(2)如图，过点D作DG⊥AC于点G，连接BG.
因为AD⊥CD，BD⊥CD，
所以∠ADB是二面角A?DC?B的平面角．
所以∠ADB＝90°，即BD⊥AD.
所以BD⊥平面ADC.
所以BD⊥AC.
所以AC⊥平面BGD.
所以BG⊥AC.
所以∠BGD是二面角B?AC?D的平面角．
在△ADC中，AD＝a，DC＝a，AC＝2a，
所以DG＝＝＝.
在Rt△BDG中，tan∠BGD＝＝，
即二面角B?AC?D的正切值为.
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
提纲挈领复习知识
平行公理4及等角定理
两条直线
异面垂
柳异面直线所成的
直线在平面内
线与平面平行的判定
与平面平行的性质」
湎面角
司平面平
平面与平面平行的性质
面角
角的平面角
平面与平面垂直的判定
直的性
总结归纳专题突破
