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A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
解析：如图所示，
因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m，
所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．
答案：B
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．
答案：B
3．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点
B．没有公共点
C．平行
D．平行或相交
答案：D
4.如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
解析：因为E，F分别是AA1，BB1的中点，
所以EF∥AB.
又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
所以AB∥GH.
答案：A
5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD且BF∶FC＝DG∶GC
解析：由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD且BF∶FC＝DG∶GC.
答案：D
二、填空题
6.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．
解析：因为AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，
所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
答案：5
7.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝____．
解析：因为MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
所以MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
答案：a
8．如图，ABCD?A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
解析：因为AC∥平面A1B1C1D1，根据线面平行的性质知l∥AC.
答案：平行
三、解答题
9．在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.求证：CD＝C1D.
证明：如图，连接AB1，设AB1与BA1交于点O，连接OD.
因为PB1∥平面BDA1，
PB1?平面AB1P，
平面AB1P∩平面BDA1＝OD，
所以OD∥PB1.
又AO＝B1O，所以AD＝PD.
又AC∥C1P，所以CD＝C1D.
10．如图所示，在直三棱柱ABC?A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
证明：法一 连接AB′，AC′，如图①所示．因为∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC?A′B′C′为直三棱柱，
图①
所以M为AB′的中点．
又N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
法二 取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图②所示，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，
图②
所以MP∥AA′，PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN?平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
B级 能力提升
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行
B．平行或异面
C．平行或相交
D．异面或相交
解析：由AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．
答案：B
2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，
EF∥BD，且EF＝BD.
又因为EF?平面BCD，BD?平面BCD，
所以EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，
所以HG∥BD且HG＝BD，
所以EF∥HG且EF≠HG.
答案：B
3.如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC.
(2)问：MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
(1)证明：因为BC∥AD，BC?平面PAD，
AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC.
(2)解：平行．证明如下：
如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N是PC的中点，
所以ENCD.
因为M为?ABCD边AB的中点，
所以AMCD.
所以ENAM，所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE.
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
PAGE(共25张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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A级 基础巩固
一、选择题
1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥β”的是( )
解析：A中不能正确表达b?β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．
答案：D
2．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案：B
3.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
解析：MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.
答案：B
4．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线a，b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确．
答案：D
5.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且＝，如图所示，则BC与平面α的关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．BC?α
解析：因为＝，所以ED∥BC，又DE?α，BC?α，
所以BC∥α.
答案：A
二、填空题
6．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________．
解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.又因为AC?平面DEF，EF?平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
答案：平行
7．如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，
所以MN∥平面ADE.
答案：平行
8．如图所示为某一正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM∥平面ADE；
②CN∥平面ABF；
③平面BMD∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
其中正确的序号是________．
解析：将平面图形折起，折成一个正方体，如图所示，利用线面、面面平行的判定定理可以证明①②③④都正确．
答案：①②③④
三、解答题
9.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，连接A′C，F为线段A′C的中点，连接BF.
求证：BF∥平面A′DE.
证明：取A′D的中点G，连接GF，GE，
由条件易知FG∥CD，FG＝CD，BE∥CD，BE＝CD，
所以FG∥BE，FG＝BE，
故四边形BEGF为平行四边形，
所以BF∥EG.
因为EG?平面A′DE，BF?平面A′DE，
所以BF∥平面A′DE.
10．如图所示，在正四棱锥P?ABCD中，点E在棱PC上运动．问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明．
解：当E为PC的中点时，PA∥平面EBD.
证明如下：
连接AC，且AC∩BD＝O，如图所示．
因为四边形ABCD为正方形，
所以O为AC的中点．
又E为PC的中点，
所以OE为△ACP的中位线．
所以PA∥EO.
又EO?平面EBD，PA?平面EBD，
所以PA∥平面EBD.
B级 能力提升
1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
① ②
③ ④
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
答案：B
2．已知a和b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l?β，
因为a∥β，所以a与l无公共点，
所以a∥l，所以l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案：平行
3．如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC.
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
(1)证明：如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F为AE的中点，
所以GF为△AEC的中位线，
所以GF∥AC.
又因为AC?平面ABC，
GF?平面ABC，
所以GF∥平面ABC.
(2)解：平面GFP∥平面ABC，
证明如下：
连接FP，GP.
因为点F，P分别为BD，CD的中点，
所以FP为△BCD的中位线，所以FP∥BC.
又因为BC?平面ABC，FP?平面ABC，
所以FP∥平面ABC.
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP?平面GFP，GF?平面GFP，
所以平面GFP∥平面ABC.
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A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
解析：两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a，b平行．
答案：A
2．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
解析：因为α∥β，B∈β，a?α，所以B?a，
所以点B与直线a确定一个平面γ，
因为γ与β有一个公共点B，
所以γ与β有且仅有一条经过点B的直线b，
因为α∥β，所以a∥b.
答案：D
3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．无法判断
解析：因为AD∥BC，所以ABCD共面，由面面平行的性质定理知AB∥CD.
答案：A
4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )
A．2∶25
B．4∶25
C．2∶5
D．4∶5
解析：根据题意画出图形，如图所示，
易知平面ABC∥平面A′B′C′，
所以AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.
所以△A′B′C′∽△ABC.
又因为PA′∶AA′＝2∶3，
所以＝＝.
所以＝.
答案：B
5.如图，不在同一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A．△ABC与△A′B′C′相似，但不全等
B．△ABC≌△A′B′C′
C．S△ABC＝S△A′B′C′，但两三角形不全等
D．以上结论均不正确
解析：由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，
所以AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
所以△ABC≌△A′B′C′.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，在三棱柱ABC?A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
解析：在三棱柱ABC?A′B′C′中，A′B′∥AB，
AB?平面ABC，A′B′?平面ABC，
所以A′B′∥平面ABC.
又A′B′?平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，
所以A′B′∥a.
答案：平行
7．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG.
同理EH∥FG，
所以四边形EFGH的形状是平行四边形．
答案：平行四边形
8．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
解析：由题意知，因平面α∥平面BC1E，
所以A1FBE，所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
所以B1E＝FA＝1.
答案：1
三、解答题
9．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D.
所以EC∥A1D.
10.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：四边形EFHG是平行四边形．
证明：因为AB∥α，
平面ABC∩α＝EG，
所以EG∥AB.同理FH∥AB.
所以EG∥FH，
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，
所以GH∥CD.同理EF∥CD.
所以GH∥EF.
所以四边形EFHG是平行四边形．
B级 能力提升
1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由题意可得截面为梯形，
且MN＝BC1＝，
MC1＝BN＝，
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为(＋2)×＝.
答案：B
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则MN＝________AC.
解析：因为平面MNE∥平面ACB1，
平面ABCD∩平面MNE＝MN，
平面ABCD∩平面ACB1＝AC，
所以MN∥AC.
同理可证EM∥AB1，EN∥B1C.
因为E是B1B的中点，
所以M，N分别是AB，BC的中点，
所以MN＝AC.
答案：
3.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明：如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为点G是EC的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.
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