(共28张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
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"课后作业+.tif"
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MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．经过平面外到平面距离相等的两点与这个平面平行的平面( )
A.
只有一个
B．至少有一个
C．可能没有
D．有无数个
解析：这样的两点可能在平面的同侧，此时有一个平面，也可能在平面的两侧，此时没有平面．
答案：C
2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
解析：将三棱台恢复成三棱锥(延长三侧棱)，则三棱台的一条侧棱所在直线与其对面相交．
答案：A
3．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在
B．有1条
C．有2条
D．有无数条
解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行．
答案：D
4．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b?α
B．b∥α
C．b?α或b∥α
D．b与α相交或b?α或b∥α
解析：通过观察正方体，可知b与α相交或b?α或b∥α.
答案：D
5．平面α与平面β平行且a?α，下列三种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β平行；③a与β内的无数条直线平行，其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为α∥β，a?α，所以a与β无公共点，所以a∥β，故②正确，所以a与β内的所有直线都没有公共点，所以a与β内的直线平行或异面，故①不正确，③正确．
答案：C
二、填空题
6．在长方体ABCD?A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
答案：3
7．若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．
解析：当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个．
答案：1
8．若平面α与平面β平行，a?α，b?β，则a与b的位置关系是________．
解析：由两平面平行的定义可知，a与b没有公共点，所以a与b平行或异面．
答案：平行或异面
三、解答题
9.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系．
解：B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是：B1C在平面BB1C1C内，B1C∥平面AA1D1D，B1C与平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD，平面A1B1C1D1都相交．
D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交．
10．如图所示，ABCD?A1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
证明：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连接NB并延长，交EF的延长线于点M，连接AM，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，
因此EF与BN相交，交点为M.
因为M∈EF，且M∈NB，
而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，
所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．
又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，
所以AM为这两平面的交线．
B级 能力提升
1．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )
A．只有一条且不在平面α内
B．有无数条且不一定在平面α内
C．只有一条且在平面α内
D．有无数条且一定在平面α内
解析：过点P和直线a可确定唯一的平面，在这个平面内，过点P可作唯一的直线与直线a平行．又P∈α，a∥α，所以这条直线在平面α内．
答案：C
2．已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
④若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
其中正确的序号是________．
解析：①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，因为α∥β，所以α与β无公共点，又因为a?α，b?β，所以a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行．
答案：③
3.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．
证明：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，
所以EC与B1B不平行，则延长CE与BB1必须相交于一点H，
所以H∈EC，H∈B1B.
又知B1B?平面ABB1A1，CE?平面CDFE，
所以H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，
故平面ABB1A1与平面CDFE相交．
PAGE(共18张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
结(共31张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
序号
正误
理由
(1)
不正确
平面是无限延展的
(2)
不正确
平面是无厚度的
(3)
不正确
平面是无限延展的，不可度量
(4)
正确
平面是平整、无厚度、无限延展的
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
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"课后作业+.tif"
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A级 基础巩固
一、选择题
1．空间两条直线a、b与直线l成异面直线，则a、b的位置关系是( )
A．平行或相交
B．异面或平行
C．异面或相交
D．平行或异面或相交
解析：a与b可能平行或相交或异面．
答案：D
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角，不一定在同一平面上，如图①.
图①
此时OB与O1B1不平行．
若这两个角在同一平面上时，如图②，OB∥O1B1且方向相同；如图③，OB与O1B1不平行．
图② 图③
综上所述，OB与O1B1不一定平行．
答案：D
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与DC1所成角为( )
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
解析：连接AB1和B1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角即为直线AB1与AD1所成的角．
又△AB1D1为等边三角形，
所以∠B1AD1＝60°，即异面直线AD1与DC1所成的角为60°.
答案：C
4．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.
答案：A
5.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，l?平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是( )
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与BD垂直
D．l与CD所成的角为30°
解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．
答案：A
二、填空题
6．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
解析：由题意可知BC∥B1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°.则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
答案：60°
7．下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．
解析：题干图①中，GH∥MN，因此，GH与MN共面．图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面．图③中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面．图④中，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，所以GH与MN异面．所以②④中GH与MN异面．
答案：②④
8．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
解析：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝＝a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题
9.如图，已知长方体的长和宽都是4
cm，高是4
cm.
(1)求BC和A′C′所成的角的度数．
(2)求AA′和BC′所成的角的度数．
解：(1)在长方体中，BC∥B′C′，
所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角．
因为A′B′＝B′C′＝4
cm，∠A′B′C′＝90°，
所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.
(2)在长方体中，AA′∥BB′，
所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角．
因为BB′＝4
cm，B′C′＝4
cm，
所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.
10.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，
所以EQA1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
所以EQB1C1(平行公理)．
所以四边形EQC1B1为平行四边形．
所以B1EC1Q.
又因为Q，F是DD1，C1C两边的中点，
所以QDC1F.
所以四边形QDFC1为平行四边形，
所以C1QDF，所以B1EDF.
所以四边形B1EDF为平行四边形．
B级 能力提升
1．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中( )
A．NC与DE相交
B．CM与ED平行
C．AF与CN平行
D．AF与CM异面
解析：根据题意得到直观图如图所示：
NC与DE异面，CM与ED平行，
AF与CN异面，AF与CM相交．
答案：B
2.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
解析：如图所示，取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
所以∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
所以MN＝5.
答案：5
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A级 基础巩固
一、选择题
1．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：A中图形没有画出两平面的交线，故不正确；B、C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画，也不正确．
答案：D
2．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α
B．M∈a，a?α
C．M?a，a?α
D．M?a，a∈α
解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．
答案：B
3．下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行直线确定三个平面．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：根据公理及推理知①，②不正确，对于③中，若每三点共线，则四点共面，因此③正确，三条平行直线可能确定一个或三个平面，④不正确．
答案：A
4．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α
B．l?α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
解析：因为M∈l，N∈l，且M∈α，N∈α，所以l?α.
答案：A
5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．
答案：D
二、填空题
6．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
7．已知平面α，β，点A，B，M，N，直线a，下列推理错误的是________(填序号)．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
③A∈α，A∈β?α∩β＝A
④A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
解析：因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.
由平面的基本性质，α∩β为经过点A的一条直线而不是点A，故α∩β＝A错误．
答案：③
8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么Q在直线________上．
解析：若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以Q∈AC.
答案：AC
三、解答题
9.如图所示，已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝M，BC∩α＝N，AC∩α＝P.求证：M，N，P三点共线．
证明：因为直线AB∩α＝M，
所以M∈AB，M∈α.
又因为AB?平面ABC，所以M∈平面ABC.
所以点M是平面ABC与α的公共点．
所以点M在平面ABC与α的交线上．
同理可证，点N，P也在平面ABC与α的交线上．
所以M，N，P三点共线．
10．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．
证明：如图，连接EF，D1C，A1B.
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF∥A1B，且EF＝A1B，
又因为A1B∥D1C，且A1B＝D1C，
所以EF∥D1C，且EF＝D1C，
所以E，F，D1，C四点共面．
B级 能力提升
1．下列四个命题：
(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
(2)两条直线可以确定一个平面；
(3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这三个公共点共线，或这两个平面重合；
(2)错，两条平行或相交直线可以确定一个平面；
(3)对；
(4)错，空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内．
答案：A
2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
解析：因为AC∥BD，
所以AC与BD确定一个平面，
记作平面β，则α∩β＝直线CD.
因为l∩α＝O，所以O∈α.
又因为O∈AB?β，
所以O∈直线CD，
所以O，C，D三点共线．
答案：三点共线
3．如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．
由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
因为E∈AC，AC?平面SAC，
所以E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．
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