INCLUDEPICTURE"课后作业+.tif"
INCLUDEPICTURE
"课后作业+.tif"
\
MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
解析：选项A，只有当m∥β或m?β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l?β，所以n⊥l；选项D，只有当m∥β或m?β时，m⊥n.
答案：C
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误；对于B，若m∥β，β⊥α则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故B错误；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．
答案：C
3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM、EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM、EN是异面直线
答案：B
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF?平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
解析：由于正方体中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．
答案：D
5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，则下列结论中正确的是( )
A．BD1∥B1C
B．A1D1∥平面AB1C
C．BD1⊥AC
D．BD1⊥平面AB1C
解析：连接BD(图略)．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，所以AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，因为BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.
答案：C
二、填空题
6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos
α∶cos
β＝________．
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，
则cos
α＝＝＝，cos
β＝＝，所以cos
α∶cos
β＝∶2.
答案：∶2
7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：
①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确的个数为________．
解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b?α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a?α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．
答案：4
8．已知直二面角α?l?β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：
如图，连接BC.因为二面角α?l?β为直二面角，AC?α，且AC⊥l，α∩β＝l，
所以AC⊥β.
又BC?β，所以AC⊥BC，
所以BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，所以CD＝＝.
答案：
三、解答题
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
10.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，
则由已知可得AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P?ABCD的体积VP?ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P?ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin
60°＝6＋2.
B级 能力提升
1.如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与②
B．①与③
C．②与③
D．③与④
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.
答案：B
2．在三棱锥P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
答案：2
3.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．
(1)证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
所以BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)解：取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，
所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，
所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan
∠CEF＝＝.
PAGE(共32张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
结(共32张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
结INCLUDEPICTURE"课后作业+.tif"
INCLUDEPICTURE
"课后作业+.tif"
\
MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )
A．相等
B．互补
C．不确定
D．相等或互补
答案：C
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.
又m?α，所以α⊥β.
答案：C
3．给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③
B．③
C．②③
D．①
解析：①由二面角的定义知①错误；②所作的射线不一定垂直于二面角的棱；③由等角定理，角的两边分别平行且方向相同，可知角是相等的，故二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关．
答案：B
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A?BCD，则在几何体A?BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.
答案：D
5．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角BADC的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：由已知得BD＝2CD，
翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
而AD⊥BD，CD⊥AD，
故∠BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60°.
答案：C
二、填空题
6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．
解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA?α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：面面垂直的判定定理
7．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
解析：m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
因为n⊥β，m⊥α，
所以该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，
所以α⊥β.
故答案为①③④?②.
答案：①③④?②
8．如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角B?PA?C的大小等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC.
所以∠BAC是二面角B?PA?C的平面角．
又∠BAC＝90°，
所以二面角B?PA?C的大小等于90°.
答案：90°
三、解答题
9.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.求证：
(1)DC⊥平面PAC；
(2)平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又AC∩PC＝C，
所以AB⊥平面PAC.
又因为AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC.
10.如图所示，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)证明：SO⊥平面ABC；
(2)求二面角A?SC?B的余弦值．
(1)证明：如图所示，由题设知AB＝AC＝SB＝SC＝SA.
连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OC＝SA，
且AO⊥BC.
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO＝SA.
从而OA2＋SO2＝SA2，
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO.
又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.
(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.
由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角A?SC?B的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，
得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM＝SA，AO＝SA，
故sin∠AMO＝＝＝.
所以二面角A?SC?B的余弦值为.
B级 能力提升
1.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析：因为PA⊥平面ABCD，BC，AD?平面ABCD，
所以PA⊥BC，PA⊥AD.
又因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，
得AD⊥平面PAB.
因为AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．
答案：A
2．若P是△ABC所在平面外一点，△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，PA＝，则二面角P?BC?A的大小为________．
解析：如图，由于△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，故取BC的中点O，连接PO，AO，所以PO⊥BC，AO⊥BC.由二面角的平面角的定义知，∠POA为二面角P?BC?A的平面角．分别在Rt△POB和Rt△AOB中求得PO＝AO＝.在△PAO中，PO2＋OA2＝6＝PA2，所以∠POA＝90°，即二面角P?BC?A的大小为90°.
答案：90°
3．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．
(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC.
又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
(2)解：存在．理由如下：
因为DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
所以DE⊥平面PAC.
又因为AE?平面PAC，PE?平面PAC，
所以DE⊥AE，DE⊥PE.
所以∠AEP为二面角ADEP的平面角．
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，所以∠PAC＝90°.
所以在棱PC上存在一点E，且E为PC的中点，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角．
PAGE(共31张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
结
线面垂直的定义
线
线
直线面垂直的判定定理
垂
线面垂
直
如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂
直,那么另外一条直线也与此平面垂直INCLUDEPICTURE"课后作业+.tif"
INCLUDEPICTURE
"课后作业+.tif"
\
MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；
③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α；
④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.
其中，正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．
答案：C
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
解析：∠ABO是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos
∠ABO＝，
即∠ABO＝60°.
答案：A
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
所以AD1⊥平面A1DB1.
答案：B
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案：C
5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.
答案：D
二、填空题
6．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则直线l和三角形的第三边AB的位置关系是________．
解析：因为l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，
所以l⊥平面ABC.
又AB?平面ABC，故l⊥AB.
答案：垂直
7．已知正三棱锥S?ABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．
解析：因为S?ABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，
AO＝·asin
60°＝a，SA＝a，
所以cos∠SAO＝＝.
答案：
8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
解析：因为EA⊥α，CD?α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，因为EB⊥β，CD?β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
所以CD⊥平面AEB.
又因为AB?平面AEB，所以CD⊥AB.
答案：垂直
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
证明：连接AB1，CB1，D1B1，OP，
PB1，BD，设AB＝1.
所以AB1＝CB1＝D1B1＝.
因为O为正方形ABCD的中心，
所以AO＝CO，所以B1O⊥AC.
因为OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
所以OB＋OP2＝PB，所以B1O⊥PO.
又因为PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，
所以BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF.
又因为BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
所以AE⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，所以AE⊥BE.
B级 能力提升
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．至多一个
C．有一个或无数个
D．不存在
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
答案：B
2．在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥平面BB1C1C.
所以AE⊥DE，
因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，
有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.
答案：60°
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
所以AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B.
又因为AB1?平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1.
又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.
(2)解：连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，
所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，
所以A1D＝×B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
所以sin
∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
PAGE
