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A级 基础巩固
一、选择题
1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A．垂直
B．平行
C．重合
D．平行或重合
解析：因为直线l1的斜率为tan
135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，所以直线l1与l2平行或重合．
答案：D
2．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
解析：因为kMN＝＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则＝－1，解得m＝－1.
答案：B
3．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是( )
A．20°，110°
B．70°，70°
C．20°，20°
D．110°，20°
解析：如图，因为l∥l1，所以l1的倾斜角为20°，
因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为90°＋20°＝110°.
答案：A
4．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )
A．60°
B．120°
C．45°
D．135°
解：设直线l的倾斜角为θ.
kMN＝＝－1.
因为直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，
所以klkMN＝－1，所以kl＝1，所以tan
θ＝1，
因为0°≤θ＜180°，所以θ＝45°.
答案：C
5．过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－5，0)的直线垂直，则m的值为( )
A．－2
B．2
C.
D．－
解析：由已知得直线PQ的斜率为＝，则直线AB的斜率存在．由两条直线垂直，得＝－3，解得m＝－2.
答案：A
二、填空题
6．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
解析：由题意得l1∥l2，所以k1＝k2.
因为k1＝，k2＝3，
所以＝3，所以a＝6.
答案：6
7．若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为________．
解析：由kPQ＝＝＝－1，
由题意知PQ⊥l，则kPQ·kl＝－1，得kl＝1，
所以直线l的倾斜角为45°.
答案：45°
8．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设点C的坐标为(x，0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，解得x＝1或x＝2.所以交点C的坐标是(1，0)或(2，0)．
答案：(1，0)或(2，0)
三、解答题
9．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°？
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？
解：(1)由kAB＝＝tan
135°＝－1，解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且＝3.
则＝－，解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，
解得m＝或m＝－1.
10．已知A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状．
解：由题意，可得kAB＝＝－1，kCD＝＝－1，kBC＝＝1，kDA＝＝1，因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA，所以四边形ABCD为平行四边形．
又因为kAB·kBC＝－1，所以直线AB与BC垂直，
即∠ABC＝90°，所以四边形ABCD为矩形．
B级 能力提升
1．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点A为直角顶点的直角三角形
D．以点B为直角顶点的直角三角形
解析：因为kAB＝＝－，kAC＝＝，
所以kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC.
答案：C
2．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1∥l2，则b＝________．
解析：由l1∥l2，知k1＝k2，
所以方程2k2－3k－b＝0有两个相等实根，
故Δ＝9＋8b＝0，得b＝－.
答案：－
3．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
解：如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan
60°＝.
又直线AB的斜率kAB＝＝
，
所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为
k2＝.
因为l1与l2平行，所以k1＝k2，
即＝，
解得m＝4＋.
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A级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列说法，正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
答案：A
2.如图所示，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k3＞k2＞k1
B．k1＜k2＜k3
C．k3＜k1＜k2
D．k2＜k1＜k3
解析：直线l3的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l1，l2的倾斜角均为锐角，斜率为正，且直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角，所以k2＞k1，所以k3＜k1＜k2.
答案：C
3．已知点A(1，2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为( )
A．(0，3)
B．(0，－1)
C．(3，0)
D．(－1，0)
解：由题意可设点P的坐标为(m，0)，则＝tan
135°＝－1，解得m＝3.故点P的坐标为(3，0)．
答案：C
4．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0，2]
B．[0，1]
C.
D.
解析：如图所示，当直线l在l1位置时，k＝tan
0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2]．
答案：A
5．斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为( )
A．4，0
B．－4，－3
C．4，－3
D．－4，3
解析：
由题意，得即
解得a＝4，b＝－3.
答案：C
二、填空题
6．经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．
解析：当m＝1时，倾斜角α＝90°；
当m＞1时，tan
α＝＞0，
所以0°＜α＜90°，故0°＜α≤90°.
答案：0°＜α≤90°
7．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．
解析：设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，
因为kPQ＝－，所以tan
θ＝－，则θ＝120°.
将直线绕点P顺时针旋转60°，
所得直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan
60°＝.
答案：
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________．
解析：因为A，B，C三点共线，所以＝.
所以(a－2)(b－2)＝4，即ab＝2a＋2b＝2(a＋b)．
所以＋＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知点A(n，－n－3)，B(2，n－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率是直线BC斜率的3倍，求n的值．
解：由题意知，直线AC的斜率为，
直线BC的斜率为，
所以＝3×，
整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝2或n＝1.
经检验，均符合题意．
10．若经过点A(1－a，1＋a)和点B(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．
解：因为直线AB的倾斜角为钝角，
所以直线AB的斜率存在，且为负值，
所以＝＜0，所以－2＜a＜1，
故a的取值范围是(－2，1)．
B级 能力提升
1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
解析：由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；又0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图所示)．
答案：D
2．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________．
解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，
故l的斜率k＝kPQ＝＝－.
答案：－
3．已知P(－3，2)，Q(3，4)，直线l过点A(0，－3)，斜率为－a.若直线l分别与PQ的延长线(不含点Q)、QP的延长线(不含点P)相交，试分别求出a的取值范围．
解：如图，过A作PQ的平行线．
易知PQ、AQ、AP的斜率分别为kPQ＝，kAQ＝，kAP＝－.
若l与PQ的延长线(不含点Q)相交，由图可知kPQ＜k1＜kAQ，
即＜－a＜，
所以－＜a＜－；
若l与QP的延长线(不含点P)相交，则kPQ＞k1＞kAP，
即＞－a＞－，所以－＜a＜.
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