(共32张PPT)
第三章
直线与方程
提纲挈领复习知识
斜角值线向上方间与x轴的正向所成的角
要素
倾斜角a的正切值其中a≠90
相交特例:垂直
存
都存
率都存
直线与方程
两条直线
:标」[邂方程细
两点间的距离
为
建立坐标系,用坐标表示有关的量
坐标法[骤
关
算结果“制译”成几何关系
总结归纳专题突破评估验收(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：由x＋y＋1＝0，知直线的斜率为－，
所以tan
α＝－，则倾斜角α＝120°.
答案：D
2．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )
A．(1，3)
B．(－1，3)
C．(3，1)
D．(3，－1)
解析：直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由
解得
即定点为(3，－1)．
答案：D
3．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B.
C．2
D.
解析：由kAB＝1，得b－a＝1，
所以|AB|＝＝＝.
答案：D
4．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝( )
A.
B．－1
C．2
D．－1或2
解析：由a×1＋2×(a－1)＝0，得a＝.
答案：A
5．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0
B．3x＋2y＋7＝0
C．2x＋3y＋5＝0
D．2x－3y＋8＝0
解析：因为直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，故可设l的方程为3x＋2y＋b＝0，又因为直线l过点(－1，2)，
所以－3＋4＋b＝0，即b＝－1.
故所求直线l的方程为3x＋2y－1＝0.
答案：A
6．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥或k≤－4
B．－4≤k≤
C．－≤k≤4
D．以上都不对
解析：易知kPA＝－4，kPB＝，
画图观察可知k≥或k≤－4.
答案：A
7．已知直线x－2y＋m＝0(m＞0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：由题意知所给两条直线平行，所以n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，
得d＝＝＝.
解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝0.
答案：B
8．已知定点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2
B.
C.
D．2
解析：把直线l的方程化为x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，
则直线l过直线x＋y－2＝0与3x＋2y－5＝0的交点．
设两直线的交点为Q，
由解得Q(1，1)，
所以点P到直线l的距离d≤|PQ|＝＝.
故点P到直线l的距离的最大值为.
答案：B
9．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x＋y－7＝0
解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x＝3的对称点(6，1)在直线PB上，所以直线PB的方程为x＋y－7＝0.
答案：D
10．直线l1与直线l2：2x－3y－10＝0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是( )
A．5
B．－5
C.
D．－
解析：依题意得直线l2：2x－3y－10＝0与x轴的交点为(5，0)，斜率kl2＝.因为l1⊥l2，所以直线l1的斜率kl1＝－.于是直线l1的方程为y＝－(x－5)，即3x＋2y－15＝0.令x＝0，得y＝，即直线l1在y轴上的截距是.
答案：C
11．若在直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和B(5，－1)的距离之和最小，则该最小值为( )
A．2
B．4
C．5
D．10
解析：如图所示，点B
(5，－1)关于直线y＝－2的对称点为B′(5，－3)，设AB′交y＝－2于点P，因为|PB|＝|PB′|，所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|.
所求最小值即为|AB′|，
|AB′|＝＝4.
答案：B
12．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2
B．6
C．3
D．2
解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．
于是|A1A′|＝＝2.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
解析：设P(x，1)，则Q(2－x，－3)，
将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.
所以x＝－2，所以P(－2，1)，
所以kl＝－.
答案：－
14．由点P(2，3)发出的光线射到直线x＋y＝－1上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线所在直线的一般式方程为________________．
解析：设点P关于直线x＋y＝－1的对称点为P′(x0，y0)，
则P′(x0，y0)满足条件
解得所以点P′的坐标为(－4，－3)．
所以由直线的点斜式方程可求得反射光线所在直线方程为y－1＝·(x－1)，
即4x－5y＋1＝0.
答案：4x－5y＋1＝0
15．已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边长，若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．
解析：设P(m，n)，原点为O，则|OP|2＝m2＋n2，显然|OP|的最小值即为点O到直线ax＋by＋2c＝0的距离d，且d＝＝＝＝2.
所以m2＋n2的最小值为4.
答案：4
16．已知平面上一点M(5，0)，若在某一直线上存在点P使得|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝1；③y＝x；④y＝2x＋1.
解析：看所给直线上的点到定点M的距离能否取4，可通过各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析；①d＝＝3＞4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点P，该直线不是“切割型直线”；②d＝1＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点P，使之到M的距离等于4，该直线是“切割型直线”；③d＝＝4，所以直线上存在一个点P，到点M的距离等于4，该直线是“切割型直线”；④d＝＝＞4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点P，该直线不是“切割型直线”．
答案：②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1满足下列条件？
(1)倾斜角为45°；
(2)在x轴上的截距为1.
解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.
所以－＝1，解得m＝－1或m＝1(舍去)．
直线方程为2x－2y－5＝0，符合题意，所以m＝－1.
(2)当y＝0时，x＝＝1，
解得m＝－或m＝2，
当m＝－或m＝2时都符合题意，
所以m＝－或m＝2.
18．(本小题满分12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
证明：(1)由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2，1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．
若当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，
则需满足即
解得－≤k≤1.
故实数k的取值范围是.
19．(本小题满分12分)已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1，3)和点B(5，2)的距离相等，求直线l的方程．
解：法一 由得交点为(3，－1)．
设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．
即kx－y－3k－1＝0.
则＝，解得k＝－.
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋4y＋1＝0.
又当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，也满足题意，故所求的直线l的方程为x＋4y＋1＝0或x＝3.
法二 同法一求得两直线的交点为(3，－1)．由直线l与A，B的距离相等，可知l∥AB或l过AB的中点，所以由l∥AB，得l的方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋4y＋1＝0.
由l过AB的中点，得l的方程为x＝3.
故x＋4y＋1＝0或x＝3为所求．
法三 设直线l的方程为3x－y－10＋λ(x＋y－2)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y－10－2λ＝0，
由题意，得
＝
.
解得λ＝－或λ＝1.
故所求的直线l的方程为x＋4y＋1＝0或x＝3.
20．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．
解：由解得
所以点A的坐标为(－1，0)．
因为直线y＝0为∠A的平分线，
故kAC＝－kAB＝－＝－1.
于是，直线AC的方程为x＋y＋1＝0.
因为BC边上的高所在直线的斜率为，
所以kBC＝－2.
于是BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－4＝0.
由解得
所以点C的坐标为(5，－6)．
21．(本小题满分12分)直线l经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点．
(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；
(2)点A(3，1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．
解：由解得
所以两直线的交点M(－2，2)．
(1)设直线l的方程为3x＋y＋c＝0(c≠－1)，
把点(－2，2)代入方程，得c＝4，
所以直线l的方程为3x＋y＋4＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－2，
此时点A(3，1)到直线l的距离为5，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋2＝0，
则点A(3，1)到直线l的距离d＝＝＝5，
所以k＝，则直线l的方程为12x－5y＋34＝0.
故直线l的方程为x＝－2或12x－5y＋34＝0.
22．(本小题满分12分)已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0，0)，M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．
解：如图，设点O(0，0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点O′(x，y)，
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MERGEFORMAT
则·2＝－1，且2·－＋1＝0，由此得O′，
则直线MO′的方程为y－3＝x，
由得
即P的坐标为，
||PO|－|PM||≤|MO′|＝，
即||PO|－|PM||的最大值为.
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