(共27张PPT)
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
|MA|＝r?点M在圆A上
点M(x0，y0)在圆上?
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
|MA|点M(x0，y0)在圆内?
(x0－a)2＋(y0－b)2点在圆外
|MA|>r?点M在圆A外
点M(x0，y0)在圆外?
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
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A级 基础巩固
一、选择题
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，所以所求圆的圆心为(2，0)，易知所求圆的半径r＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
2．方程(x－1)＝0所表示的曲线是( )
A．一个圆
B．两个点
C．一个点和一个圆
D．一条直线和一个圆
解析：(x－1)＝0可化为，x－1＝0或x2＋y2＝3，
所以方程(x－1)＝0表示一条直线和一个圆．
答案：D
3．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，5)
C．(0，5)
D．[0，5]
解析：由题意知(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5.
又m＞0，所以0＜m＜5.
答案：C
4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2
B．1＋
C．2＋
D．1＋2
解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
答案：B
5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：设圆心坐标为(a，0)，
由题意知＝，所以|a|＝5.
因为圆C位于y轴左侧，所以a＝－5，
所以圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案：D
二、填空题
6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．
解析：C1(5，3)，C2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C1C2|＝＝5.
答案：5
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________________．
解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2，4)，从而r＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
8．若AB为圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的直径且直线AB的斜率为2，则AB垂直平分线的方程为_________________________________．
解析：易知A，B关于圆心(－2，1)对称，则线段AB的垂直平分线经过(－2，1)且斜率为－，
所以所求直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
答案：x＋2y＝0
三、解答题
9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，求该圆的标准方程．
解：因为圆心在第一象限，而且与x轴相切，
所以可设圆心坐标为(a，1)，a＞0，
且圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，
即＝1，得a＝2或a＝－(舍去)，
所以该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．
解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，
所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，
所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
B级 能力提升
1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．
因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，即方程x＋y－2＝0.
答案：A
2．已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为__________________．
解析：因为圆心C在弦AB的垂直平分线上，
因此设C(1，m)．
由于△ABC为等腰直角三角形，
所以|AC|＝＝，
因为m＞0，所以m＝1，
所以圆心坐标为(1，1)，圆的半径为.
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：(1)根据题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点，
因为AB中点为(1，2)，斜率为1，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3，
联立解得
所以圆心C(－3，6)，
半径r＝＝2，
所以所求圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)|AB|＝＝4，
圆心到AB的距离为d＝4，
因为P到AB距离的最大值为d＋r＝4＋2，
所以△PAB面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.
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A级 基础巩固
一、选择题
1．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
解析：两圆的圆心分别为(2，－3)，(3，0)，直线方程为y＝·(x－3)，即3x－y－9＝0.
答案：C
2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2
B.或
C．2或0
D．－2或0
解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得＝，得a＝0或a＝2.
答案：C
3．若圆(x－3)2＋(y＋3)2＝4关于直线l：Ax＋4y－6＝0对称，则直线l的斜率是( )
A．－
B.
C．－
D．6
解析：圆心坐标为(3，－3)，由题意知圆心在直线Ax＋4y－6＝0上，所以A×3＋4×(－3)－6＝0，解得A＝6，
则直线l的斜率k＝－＝－.
答案：A
4．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：根据题意，易知点A在以D为圆心、半径为3的圆上，其中D为原点．又因为A，B，C构成三角形，故点A的轨迹为x2＋y2＝9(y≠0).
答案：C
5．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
解析：设点M的坐标为(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.
答案：B
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．
解析：由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心，
则－1＋＋2＝0，得a＝－2.
答案：－2
7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，点P关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________．
解析：由题意圆心应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，符合D2＋E2－4F>0的条件．
答案：－10
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，
得＋(y＋1)2＝－k2＋1.
所以当－k2＝0，即k＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
三、解答题
9．已知定点A(4，0)，点P是圆x2＋y2＝4上一动点，点Q是AP的中点，求点Q的轨迹方程．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x′，y′)．
则x＝，y＝，即x′＝2x－4，y′＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x′2＋y′2＝4，将x′＝2x－4，y′＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
故所求点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
10．已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0.
(1)当a取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
(1)解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一条直线；
当a≠－1时，方程可化为＋＝，表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.
令
解得或
故曲线C过定点(0，0)和.
(3)解：因为圆恒过两定点，
所以以两定点为直径的圆面积最小．
则圆心为.
所以＝，解得a＝.
B级 能力提升
1．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A. B．5 C．2 D．10
解析：圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.
答案：B
2．已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．
解析：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得D＝－2，E＝－，F＝1.
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0.
所以圆心坐标为，
所以圆心到原点的距离为
＝.
答案：
3．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
解：(1)令x＝0，得二次函数图象与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，
故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，
代入得E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明如下：
将圆C的方程x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0变形为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0.因为圆C过的定点与b无关，所以必有x2＋y2＋2x－y＝0且1－y＝0，解得x＝0，y＝1或x＝－2，y＝1，即圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．
PAGE(共32张PPT)
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核心突破讲练互动
课
结
