(共35张PPT)
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
课
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"课后作业+.tif"
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MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2＝5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设点Q(x，y)，则x＝2a，y＝a＋2，所以x－2y＋4＝0.所以点Q在直线x－2y＋4＝0上．由于圆心(2，0)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝，所以PQ长度的最小值为d－＝－＝.
答案：A
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.
答案：B
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
解析：将x2＋y2－2x－5＝0化为圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1，0)．两圆的方程相减得公共弦AB所在直线方程为4x－4y＋1＝0.又线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，且其斜率为－1，故所求直线方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：A
4．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( )
A．9
B．14
C．14－6
D．14＋6
解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心为(－2，1)，r＝3，
而x2＋y2＝[
]2.
所以x2＋y2的最大值为[＋3]2＝14＋6.
答案：D
5．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意知点M到直线的距离为d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以二者相交．
答案：B
二、填空题
6．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
解析：C1(1，2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，
|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，
因此两圆外切．
答案：外切
7．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
解析：由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1.
因为两圆外离，所以＞＋1，
则a2＋b2＞3＋2.
答案：a2＋b2＞3＋2
8．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
解析：因为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以从村庄外围到小路的最短距离为－2.
答案：－2
三、解答题
9．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点，求：
(1)公共弦AB所在直线的方程；
(2)圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程；
(3)经过A，B两点且面积最小的圆的方程．
解：(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的公共弦AB所在直线的方程为x2＋y2＋2x＋2y－8－(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0，即x－2y＋4＝0.
(2)由
解得或
所以A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(0，2)，
线段AB的中点坐标为(－2，1)．
则|AB|＝＝2，
故所求圆的圆心为(－2，1)，半径为.
所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
(3)经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与(2)所求的圆是相同的，则所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
解：由
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
再由
联立得两圆交点坐标(－1，2)，(5，－6)．
因为所求圆以公共弦为直径，
所以圆心C是公共弦的中点(2，－2)，
半径为
＝5.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
B级 能力提升
1．台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
解析：如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心、30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形．因为AB＝40
km，所以BE＝20
km.在Rt△BEN中，NE＝＝10
km，则MN＝20
km，所以时间为1
h.
答案：B
2．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
解析：由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1，0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3.
所以圆C1与圆C2的公共弦长为2eq
\r(r－d2)＝
2＝2.
答案：2
3.如图某圆拱桥的示意图，水面跨度EF＝4
m，拱高OM＝6
m，现有一艘船宽为4
m，水面以上高4.5
m(平顶)，这艘船能否从桥下通过？
解：如图，以EF所在直线为x轴，以OM所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
则有F(2，0)，M(0，6)．
由于圆心在y轴上，
所以设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
因为F(2，0)，M(0，6)在圆上，
所以解得b＝－2，r2＝64，
所以圆的方程是x2＋(y＋2)2＝64，
当x＝2时，(y＋2)2＝36.
因为y＞0，所以y＝4＜4.5，所以这艘船不能从桥下通过．
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预习导学思维启动
核心突破讲练互动
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A级 基础巩固
一、选择题
1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
解析：因为直线ax－y＋2a＝0恒过定点P(－2，0)，
又点P(－2，0)在圆x2＋y2＝9内部，
所以直线与圆相交．
答案：B
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：设圆心为C(a，－a)，
则＝，解得a＝1，
所以r＝＝，
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0
D．x＋y－3＝0
解析：由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.
故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
答案：A
4．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为( )
A.
B．4－
C.＋4
D．0
解析：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，
即＋4.
答案：C
5．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1
B．2
C．0
D．－2
解析：因为四边形OAMB为平行四边形，且点M在圆C上，
所以四边形OAMB为菱形．
所以△OAM为等边三角形，且边长为2.
所以弦AB的长为2.又直线过定点N(0，1)，且过点N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行于x轴，即k＝0.
答案：C
二、填空题
6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得圆心为(0，－1)，半径为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
所以|AB|＝2＝2.
答案：2
7．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是________．
解析：因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，
所以x＋y＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为eq
\f(|R2|,\r(x＋y))＜＝R，所以直线与圆相交．
答案：相交
8．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
解：法一 依题意，点P的坐标为(0，m)．
因为直线MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)．
从而圆的半径长r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
法二 设所求圆的半径长为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
10．设圆上的点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.
因为点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，所以圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
所以a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又因为直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2.
所以r2－d2＝r2－＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组．
得或
所以所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
B级 能力提升
1．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为
＝＝.
因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为.
答案：C
2．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：x2＋y2－2ay－2＝0化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离d＝＝.
又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，得a2＝2，
所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案：4π
3．如图所示，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，点Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r.
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以r＝＝2，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，
直线l的方程为x＝－2，经检验符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，AM，如图所示，
则AQ⊥MN.
因为|MN|＝2，
|AM|＝2，
所以|AQ|＝＝1，
则由|AQ|＝＝1，得k＝.
所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
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